第2章 培优增分2 抽象函数的性质(课时作业Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

**基本信息** 聚焦函数性质综合应用，通过奇偶性、周期性、单调性、对称性的交叉命题，构建“性质推导-区间转化-问题解决”的逻辑链条，强化数学思维的推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |奇偶性与周期性|4题(1,5,9,10)|周期性转化自变量，奇偶性化归|周期定义→奇偶性化简→函数值求解| |奇偶性与单调性|1题(2)|奇函数单调性判断，解抽象函数不等式|奇偶性→单调性→不等式转化| |对称性与单调性|3题(3,6,7)|轴对称/中心对称与单调区间关系分析|对称性→单调区间判断→比较大小/解不等式| |多性质综合|2题(4,8)|奇偶性+周期性+对称性复合应用|多性质推导→周期确定→对称中心/单调区间判断|

限时规范训练(十二) (建议用时：45分钟　分值：52分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． 1．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－3) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 解析：D　因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D. 2．已知定义在R上的奇函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，若f(－2)＝1，则满足|f(2x)|≤1的x的取值范围是(　　) A．[－1，1] B．[－2，2] C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：A　根据奇函数的性质，得f(x)在R上单调递减，且f(2)＝－1；由|f(2x)|≤1，得－1≤f(2x)≤1，即f(2)≤f(2x)≤f(－2)，所以－2≤2x≤2，解得－1≤x≤1.故选A. 3．定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1，2]上单调递减，则函数f(x)(　　) A．在区间[0，1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递减 B．在区间[0，1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递增 C．在区间[0，1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递减 D．在区间[0，1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递增 解析：B　因为f(x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，因为f(x)在区间[1，2]上单调递减，所以f(x)在区间[0，1]上单调递增，又因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，所以f(2－x)＝f(－x)，所以f(x)是周期为2的函数，所以f(x)在区间[－2，－1]上也单调递增．故选B. 4．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(2－x)＝f(x)，且f(x)在(－1，1)上单调递增，则(　　) A．f(－5.3)＜f(5.5)＜f(2) B．f(－5.3)＜f(2)＜f(5.5) C．f(2)＜f(－5.3)＜f(5.5) D．f(5.5)＜f(2)＜f(－5.3) 解析：B　根据题意，函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(2－x)＝f(x)，则有f(2－x)＝－f(－x)，变形可得f(x＋2)＝－f(x)，则有f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，易得f(x)的图象关于直线x＝1对称，因为f(x)在区间(－1，1)上单调递增，所以f(x)在区间(1，3)上单调递减，f(5.5)＝f(1.5)，f(－5.3)＝f(2.7－8)＝f(2.7)，因为1＜1.5＜2＜2.7＜3, 所以f(1.5)＞f(2)＞f(2.7)，即f(－5.3)＜f(2)＜f(5.5)．故选B. 5．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且满足f(x＋1)＋f(3－x)＝0，且当x∈(2，4)时，f(x)＝＋m，若＝f(－1)，则m等于(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：C　因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数，因为f(x＋1)＝－f(3－x)＝f(x－3)，故函数f(x)的周期为4，则f(2025)＝f(1)，而f(－1)＝－f(1)，所以由＝f(－1)可得f(1)＝，而f(1)＝－f(3)＝－m＝，解得m＝.故选C. 6．已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋4)是偶函数，f(6)＝3，f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，则不等式f(2x－4)<3的解集为(　　) A．(4，6) B．(－∞，4)∪(6，＋∞) C．(－∞，3)∪(5，＋∞) D．(3，5) 解析：D　因为f(x＋4)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝4对称，则f(6)＝f(2)＝3.因为f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，所以f(x)在区间[4，＋∞)上单调递增，故f(2x－4)<3等价于f(2x－4)<f(6)＝f(2)，即2<2x－4<6，解得3<x<5.故选D. 7．(多选)已知函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，且f(x)的图象关于直线x＝1对称，则(　　) A．f(－1)＜f(3) B．f(2x＋1)＜f(1) C．f(x＋1)为偶函数 D．任意x∈R且x≠0，都有f(2x)＜f(3x) 解析：CD　对于A，因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(－1)＝f(3)，故A错误；对于B，因为2x＞0，所以2x＋1＞1，又因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以f(2x＋1)＞f(1)，故B错误；对于C，因为f(x)的图象向左平移一个单位即f(x＋1)的图象，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，则f(x＋1)的图象关于y轴对称，f(x＋1)是偶函数，故C正确；对于D，函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，且函数图象关于直线x＝1对称，则函数在区间(－∞，1]上单调递减，当x＜0时，3x＜2x＜1，所以f(2x)＜f(3x)，当x＞0时，1＜2x＜3x，所以f(2x)＜f(3x)，综上，∀x∈R且x≠0，都有f(2x)＜f(3x)，故D正确．故选CD. 8．(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝f(x－2)，下列说法正确的是(　　) A．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 B．y＝f(x)的图象关于点对称 C．y＝f(x)在[0，6]内至少有5个零点 D．若y＝f(x)在区间[0，1]上单调递增，则它在区间[2024，2025]上也单调递增 解析：BCD　因为f(x＋1)＝f(x－2)且y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x＋3)＝f(x)，故函数f(x)是周期为3的周期函数，且f(x＋3)＝f(x)＝－f(－x)，所以f(3＋x)＋f(－x)＝0，故函数y＝f(x)的图象关于点对称，A错误，B正确；由题意可知，f(6)＝f(3)＝f(0)＝0，因为f(x)＝f(x＋3)＝－f(－x)，令x＝－，可得f＝f＝，所以f＝0，从而f＝f＝0，故函数y＝f(x)在[0，6]内至少有5个零点，C正确；因为f(2024)＝f(3×675－1)＝f(－1)，f(2025)＝f(3×675)＝f(0)，且函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，则函数f(x)在区间[－1，0]上也单调递增，故函数f(x)在区间[2024，2025]上也单调递增，D正确．故选BCD. 9．(5分)已知f(x)为定义在R上的奇函数，且是最小正周期为T的周期函数，则sin [＋]的值为________． 解析：因为f(x)的最小正周期为T，故f＝f＝f，又f(x)为奇函数，故f＝－f，故f＝－f，即2f＝0，解得f＝0，故sin [＋f]＝sin . 答案： 10．(5分)已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x＋6)－f(x)＝3f(3)，若y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，且f(－1)＝3，则f(985)＝________． 解析：因为y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1 对称，所以f(x)的图象关于y 轴对称，所以f(x)为偶函数．令x＝－3，则f(－3＋6)－f(－3)＝3f(3)，所以f(3)－f(－3)＝3f(3)，又f(－3)＝f(3)，则f(3)＝0，所以f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期为6，因为985＝164×6＋1，所以f(985)＝f(1)＝f(－1)＝3. 答案：3 学科网（北京）股份有限公司 $