第2章 第11节 函数模型的应用(课时作业Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

**基本信息** 聚焦函数模型应用与实际问题解决，通过典例系统提炼函数选择、最值计算、分段处理等解题方法，构建从数学模型到实际应用的知识逻辑链，培养数学建模与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数模型选择|第1题|单调性分析+增长速率比较|一次/二次/对数/幂函数图像与性质的应用| |函数最值应用|第2题|消元法+二次函数单调性|实际问题中函数关系式构建与最值求解| |分段函数综合|第8题|待定系数法+分段最值比较|分段函数连续性与不同区间函数性质的综合应用| |对数指数运算|第13题|对数方程求解+实际应用转化|对数函数模型在声压级问题中的建模与运算|

限时规范训练(十九) (建议用时：60分钟　分值：104分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． 1．用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.0418 7.5 12 18.01 A．y＝2x－2 B．y＝(x2－1) C．y＝log2 x D．y＝ 解析：B　由题中表格可知函数在区间(0，＋∞)上单调递增，且y随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合．故选B. 2．某新能源汽车公司设计充电桩布局，要求每个充电区的长度为a米，宽度为b米．根据城市规划要求，a＋b＝12米，且充电桩间隔距离需满足a≥3b.为使充电区有效面积最大，应选择的尺寸是(　　) A．a＝9米，b＝3米 B．a＝8米，b＝4米 C．a＝10米，b＝2米 D．a＝7.5米，b＝4.5米 解析：A　建立面积函数S＝ab，通过消元法转化为S＝a(12－a)，结合附加条件a≥3(12－a)，得a∈[9，12)．注意到函数y＝a(12－a)＝－(a－6)2＋36在区间[9，12)上单调递减，则当a＝9，b＝3时取最大值．故选A. 3．异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y＝kxα，其中k和α为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则α为(　　) A． B． C． D． 解析：D　设该动物初始体重为x1，对应的新陈代谢率为y1，体重增长到初始状态的16倍后的体重为x2，对应的新陈代谢率为y2，则x2＝16x1，y2＝8y1，又y1＝，即8y1＝k(16x1)α＝.故选D. 4．某山区加强了对环境的保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　) 解析：D　设山区第一年绿色植被的面积为a，则y＝＝(1＋10.4%)x，易知其定义域为[0，＋∞)，值域为[1，＋∞)，且随x的增大，y增大的速度越来越快．故选D. 5．某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增．已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025年1月为第1个月，第n(n∈N*)个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元，则n的最小值是(　　) (参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：C　由题意可得20×(1＋20%)n-1≥40，则1.2n-1≥2，所以(n－1)lg 1.2≥lg 2，所以n－1≥≈3.810，则n≥4.810，又因为n∈N*，所以n的最小值为5.故选C. 6．一种细胞的分裂速度v(单位：个/秒)与其年龄t(单位：岁)的关系可以用下面的分段函数来表示：v(t)＝其中a，b∈R.而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的．若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则a≈(　　) (参考数据：log23≈1.585) A．6.402 B．6.463 C．6.502 D．6.522 解析：B　由题意知这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，即v(5)＝v(60)，所以0.5×5＝，整理得b＝－log2.又分裂速度变化是连续的，所以0.5×10＝，整理得b＝－log2，所以－log2－log2，得＝log2－log2＝log26＝1＋log23，解得a≈6.463.故选B. 7．(5分)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元． 解析：由题意，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足x＝3－，即t＝－1(1<x<3)，所以月利润为y＝x－32x－3－t＝16x－＝45.5－≤45.5－2 ＝37.5，当且仅当16(3－x)＝时，即x＝时取等号，即最大月利润为37.5万元． 答案：37.5 8．(13分)某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y(y值越大产品的性能越好)与这种新合金材料的含量x(单位：克)的关系：当0≤x＜7时，y是x的二次函数；当x≥7时，y＝x－m.测得的部分数据如表所示． x 0 2 6 10 … y －4 8 8 … (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该新合金材料的含量x为何值时产品的性能达到最佳． 解：(1)当0≤x＜7时，y是x的二次函数，设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意，得解得即y＝－x2＋8x－4(0≤x＜7)．当x≥7时，y＝x－m，由x＝10，y＝可得m＝8，即y＝x-8(x≥7)．综上可得，y＝ (2)当0≤x＜7时，y＝－x2＋8x－4＝－(x－4)2＋12，即当x＝4时，y取得最大值12； 当x≥7时，y＝x-8单调递减，即当x＝7时，y取得最大值3. 综上所述，该新合金材料的含量x为4时，产品的性能达到最佳． 9．被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：C＝Wlog2，其中C为最大数据传输速率，单位为bit/s；W为信道带宽，单位为Hz；为信噪比．香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用．当＝99，W＝2000 Hz时，最大数据传输速率记为C1；当＝9999，W＝3000 Hz时，最大数据传输速率记为C2，则为(　　) A． B． C． D．3 解析：D　根据题意，将＝99，W＝2000 Hz代入可得C1＝2000log2(1＋99)＝2000log2100＝2000×2log210＝4000log210；将＝9999，W＝3000 Hz代入可得C2＝3000log2(1＋9999)＝3000log210 000＝3000×4log210＝12 000log210；所以可知＝3.故选D. 10．(多选)某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部正在研究如何定价．进一步调研了解到销售单价与日均销售量的关系如表： 销售单价/元 8 9 10 11 12 13 日均销售量/桶 240 220 200 180 160 140 已知该经营部每天的房租、人工工资等固定成本为300元，每桶水的进价是5元，销售单价必须是整数．根据以上信息，下列说法正确的是(　　) A．为使该经营部盈利，每桶水的售价不应低于7元 B．为使该经营部每天获得的利润不少于100元，每桶水的售价不应低于8元 C．为使该经营部获得的利润最大，每桶水的售价应该定为12元或13元 D．通过合理定价，该经营部每日获得的利润可达800元以上 解析：ACD　根据题中表格可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少20桶．设每桶水的价格为(8＋x)元，该经营部日利润为f(x)元，则f(x)＝(8＋x－5)(240－20x)－300＝20[(3＋x)(12－x)－15]＝20(－x2＋9x＋21)，当每桶水定价低于7元，即x<－1时，有x≤－2，故f(x)≤f(－2)＝－20，当每桶水定价为7元，即x＝－1时，f(－1)＝220，故A正确，B错误；x＝4.5是f(x)的对称轴，距离4.5最近的整数是4和5，此时每桶水的售价是12元或13元，故C正确；由f(4)＝f(5)＝820知D正确．故选ACD. 11．(多选)某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费．已知抽奖结果共分5个等级，等级x与购物卡的面值y(元)的关系式为y＝eax＋b＋k，三等奖比四等奖的面值多100元，比五等奖的面值多120元，且四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，则(　　) A．a＝－ln 5 B．k＝15 C．一等奖的面值为3130元 D．三等奖的面值为130元 解析：ACD　由题意可知，四等奖比五等奖的面值多20元，所以＝e－a＝＝5，则a＝－ln 5，故A正确；由(e3a＋b＋k)－(e4a＋b＋k)＝e3a＋b(1－ea)＝100，可知e3a＋b＝125.因为四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，所以e4a＋b＋k＝3(e5a＋b＋k)，解得k＝5，故B错误；因为ea＋b＋k＝e3a＋b·e-2a＋k＝125×25＋5＝3130，故一等奖的面值为3130元，故C正确；三等奖的面值为e3a＋b＋k＝125＋5＝130(元)，故D正确．故选ACD. 12．(13分)随着电动汽车研发技术的日益成熟，电动汽车的普及率越来越高．某型号电动汽车在封闭路段进行测试，限速80 km/h(不含80 km/h)．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量M(单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的数据如下表所示． v 0 10 30 70 M 0 1325 3375 9275 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：M(v)＝v3＋bv2＋cv，M(v)＝1000·v＋a，M(v)＝300logav＋b(a>0，且a≠1)． (1)当0≤v<80时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)在本次测试报告中，该电动汽车的最长续航里程为400 km.若测试过程为匀速运动，请计算本次测试时的车速为何值时，该电动汽车电池所需的容量(单位：Wh)最小？并计算出最小值． 解：(1)对于M(v)＝300logav＋b，当v＝0 时，它无意义，所以不符合题意；对于M(v)＝1000· ＋a，它显然是个减函数，所以不符合题意，故选M(v)＝v3＋bv2＋cv.根据提供的数据，则有 解得b＝－2，c＝150，当0≤v<80 时，M(v)＝v3－2v2＋150v. (2)设车速为v km/h，所用时间为 h，所耗电量f(v)＝＝10(v2－80v＋6000)＝10(v－40)2＋44 000(0≤v<80)，要使耗电量达到最小，则v＝40 km/h.所以当车速为40 km/h时，该电动汽车电池所需的容量最小，最小容量为44 000 Wh. 13．(15分)我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变，物理学中称为“声压”，用P表示(单位：Pa)，声压级SPL(单位：dB)表示声压的相对大小，已知SPL＝(k是常数)．当声压级SPL提高60 dB时，声压P会变为原来的1000倍． (1)求声压级SPL关于声压P的函数解析式； (2)已知两个不同的声源产生的声压P1，P2叠加后得到的总声压P＝ ，一般当声压级SPL＜45 dB时人类是可以正常的学习和休息的．现窗外同时有两个声压级为40 dB的声源，在不考虑其他因素的情况下，请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？请说明理由．(参考数据：lg 2≈0.3) 解：(1)由题意可得，k lg ＋60＝，则k lg ＋60＝k，所以3k＝60，解得k＝20，故声压级SPL关于声压P的函数解析式为SPL＝20lg . (2)不会干扰我们正常的学习，理由如下： 当SPL＝40时，由20lg ＝40，即＝2，可得P1＝P2＝2×10-3，所以P＝ ＝ P1＝2 ×10-3，将其代入SPL＝20lg 可得SPL＝＝20lg ＝40＋10lg 2≈43＜45，故不会干扰我们正常的学习． 14．如图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，厚度为α(单位：mm)的带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，厚度变为β(单位：mm)．若α＝10，β＝5，每对轧辊的减薄率r不超过4%，则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为(一对轧辊减薄率r＝×100%，lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)(　　) A.14 B．15 C．16 D．17 解析：D　厚度为α＝10 mm的带钢从一端输入经过减薄率为4%的n对轧辊后厚度为，经过各对轧辊逐步减薄后输出，厚度变为β＝5，则10(1－4%)n≤5⇒(1－4%)n≤，因为(1－4%)n>0，>0，所以≤lg ⇒n lg (1－4%)≤－lg 2，因为lg (1－4%)<0，所以n≥⇒n≥≈16.8156.故选D. 15．(多选)常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录数据和小数记录数据，把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，现有两个函数模型：①y＝5＋2lg x；②y＝5－lg .根据如图所示的标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是(　　) (参考数据：10-0.2≈0.6，10-0.15≈0.7，10-0.1≈0.8，10-0.05≈0.9) A．选择函数模型① B．选择函数模型② C．小明去检查视力，医生告诉他视力为5，则小明视力的小数记录数据为0.9 D．小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8 解析：BD　将x＝0.1 代入①y＝5＋2lg x，②y＝5－lg ，分别可得y＝5－2＝3，y＝5－1＝4，所以标准对数视力表对应函数模型②，故A错误，B正确；令y＝5－lg ＝5，解得x＝1，所以小明视力的小数记录数据为1，故C错误；令y＝5－lg ＝4.9，得lg ＝0.1，解得x＝10-0.1≈0.8，故D正确．故选BD. 学科网（北京）股份有限公司 $