第2章 第8节 对数函数(课时作业Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

**基本信息** 聚焦对数函数核心素养，以题载法构建从概念到综合应用的递进训练体系，强化数学思维与数形结合能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题（如第1题反函数）|反函数定义法、定义域求解|从对数函数定义出发，关联指数函数反函数关系| |性质应用|6题（如第2题比较大小）|复合函数单调性分析、单调性比较法|以单调性为核心，拓展值域、最值及大小比较| |综合问题|6题（如第7题方程根、第15题新定义）|数形结合、换元法、方程思想|整合函数性质与方程，提升复杂问题解决能力|

限时规范训练(十六) (建议用时：60分钟　分值：102分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． 1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A．log2x B． D．2x-2 解析：A　由题意得，f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，因为f(2)＝1，所以loga2＝1.所以a＝2，所以f(x)＝log2x.故选A. 2．(2025·山东济宁三模)已知函数f(x)＝|log2x|，设a＝f，b＝f，c＝f(5)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．b<c<a 解析：B　当x>1时，函数f(x)＝|log2x|＝log2x在区间(1，＋∞)上单调递增，而a＝＝log24＝2，b＝f＝log23∈(1，2)，c＝f(5)＝log25>2，所以b<a<c.故选B. 3．已知a＞0，且a≠1，则函数y＝loga的图象一定经过(　　) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 解析：D　当x＝0时，y＝loga＝－1.当0＜a＜1时，函数图象经过第二、三、四象限；当a＞1时，函数图象经过第一、三、四象限．所以函数y＝loga的图象一定经过第三、四象限．故选D. 4．设a，b，c均为正数，且2a＝b＝c＝log2 c，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c 解析：A　因为a，b，c均为正数，将a，b，c分别看成是函数图象的交点的横坐标．在同一平面直角坐标系内分别画出y＝2x，y＝ ，y＝log2x，y＝的图象如图． 由图可知a<b<c.故选A. 5．已知函数f(x)＝loga(3－x)＋loga(x＋1)(0<a<1)，若f(x)的最小值为－2，则a等于(　　) A． B． C． D． 解析：C　由＝loga[(3－x)(x＋1)]由外层函数y＝logat(0<a<1)和内层函数t＝(3－x)(x＋1)复合而成，当－1<x<1时，内层函数单调递增，外层函数单调递减，所以f(x)单调递减；当1<x<3时，内层函数单调递减，外层函数单调递减，所以f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝loga4＝－2，又因为0<a<1，所以a＝.故选C. 6．(多选)已知函数f(x)＝log4(2x＋1)－log4(2x－1)，则(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为减函数 C．f(x)的值域为(0，＋∞) D．不等式f(x)≥的解集为 解析：BCD　依题意解得x>，所以f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数，故A错误；f(x)＝log4＝log4，因为y＝1＋为减函数，所以f(x)为减函数，故B正确；又2x－1>0，所以1＋>1，所以log4>log41＝0，故f(x)>0，所以f(x)的值域为(0，＋∞)，故C正确；由f(x)≥得log4＝log42，故解得<x≤，故不等式的解集为，故D正确．故选BCD. 7．(5分)若关于x的方程x＋log5x＝4与x＋5x＝4的根分别为m，n，则m＋n的值为________． 解析：由题意，可知log5x＝－x＋4，5x＝－x＋4，且函数y＝log5x与y＝5x互为反函数，对应的图象关于直线y＝x对称，如图，直线y＝x与y＝－x＋4垂直，所以两函数的图象与直线y＝－x＋4的交点A，B关于直线y＝x对称，设直线y＝x与y＝－x＋4的交点为C，则C(2，2)，A，B两点的横坐标分别为m，n，因此m＋n＝4. 答案：4 8．(13分)设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2. (1)求实数a的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)在区间上的最大值． 解：(1)因为f(1)＝2，所以loga4＝2.又a＞0，且a≠1，所以a＝2. 由得－1＜x＜3， 所以函数f(x)的定义域为(－1，3)． (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，所以当x∈[0，1]时，f(x)单调递增；当x∈时，f(x)单调递减，故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝2. 9．(2025·江西南昌一模)若函数f(x)＝log0.1(12－ax)在区间(3，6)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(－2，0) C．(0，2) D．(0，2] 解析：D　f(x)＝log0.1(12－ax)在区间(3，6)上单调递增，令t＝12－ax，y＝log0.1t单调递减，则t＝12－ax在区间(3，6)上单调递减且恒为正，所以a＞0且g(6)＝12－6a≥0，所以0＜a≤2.故选D. 10．(2025·全国一卷T8)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(　　) A．x>y>z B．x>z>y C．y>x>z D．y>z>x 解析：B　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以令m＝2，则x＝1，y＝3-1＝，此时x>y>z，A有可能；令m＝5，则x＝8，y＝9，z＝1，此时y>x>z，C有可能；令m＝8，则x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y>z>x，D有可能．故选B. 11．(5分)如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝，y＝x的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若点A的纵坐标是2，则点D的坐标是________． 解析：由题意，知点A在函数y＝的图象上，所以2＝，故点A坐标为，因为点B在函数y＝的图象上，AB∥x轴，所以2＝，x＝8，因为C在函数y＝x的图象上，BC∥y轴，所以y＝8＝，则点C坐标为，所以点D的坐标是. 答案： 12．(13分)已知函数f(x)＝loga(ax2－x)(a＞0，且a≠1)． (1)若a＝，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在区间[2，4]上单调递增，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝时，f(x)＝.由x2－x＞0，得x2－2x＞0，解得x＜0或x＞2，所以函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，利用复合函数的单调性可得函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(2，＋∞)． (2)令g(x)＝ax2－x，因为a＞0且a≠1，所以函数g(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝. ①当0＜a＜1时，要使函数f(x)在区间[2，4]上单调递增，则g(x)＝ax2－x在区间[2，4]上单调递减，且g(x)min＝g(4)＞0，即此不等式组无解． ②当a＞1时，要使函数f(x)在区间[2，4]上单调递增，则g(x)＝ax2－x在区间[2，4]上单调递增，且g(x)min＝g(2)＞0，即解得a＞，又a＞1，所以a＞1. 综上，实数a的取值范围为(1，＋∞)． 13．(15分)已知函数f(x)＝log2是奇函数． (1)求a的值与函数f(x)的定义域； (2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)＞m恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)＝log2是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以log2＝－log2，即log2＝log2，由，解得a＝1或a＝－1(不合题意，舍去)，所以f(x)＝log2，令x＜－1或x＞1}． (2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，当x＞1时，x＋1＞2，所以log2(1＋x)＞log22＝1.因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)＞m恒成立，所以m≤1，所以实数m的取值范围是(－∞，1]. 14．设a＝log20262025，b＝log20252024，c＝log0.20260.2025，则(　　) A．c<a<b B．b<c<a C．b<a<c D．a<b<c 解析：C　由对数函数的性质知c＝log0.20260.2025>log0.20260.2026＝1，0＝log20261<log20262025<log20262026＝1，0＝log20251<log20252024<log20252025＝1，所以c>1，0<a<1，0<b<1；由对数型糖水不等式logn＋1n<logn＋2(n＋1)(n>1，n∈N*)，得log20252024<log20262025，即b<a，综上，b<a<c.故选C. 15．(5分)函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f(x)在[a，b]上的值域为，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a＞0，且a≠1)是“半保值函数”，则实数t的取值范围为____________． 解析：f(x)的定义域为R，当a＞1时，z＝ax＋t2在R上单调递增，y＝logax在区间(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数；当0＜a＜1时，f(x)仍为R上的增函数，所以f(x)在定义域R上为增函数，因为函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a＞0，且a≠1)是“半保值函数”，所以方程loga(ax＋t2)＝有两个不同的根，所以ax＋t2＝，即ax－＋t2＝0，令u＝，u＞0，则u2－u＋t2＝0有两个不同的正根，可得1－4t2＞0，且t2＞0，解得t∈∪. 答案：∪ 学科网（北京）股份有限公司 $