第2章 第4节 函数的对称性(课时作业Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

**基本信息** 聚焦函数对称性与奇偶性综合应用，以定义法为核心，构建“概念辨析-性质推理-实际迁移”的解题体系，强化逻辑推理与数学抽象素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础对称判断|5题（1-5）|轴对称f(a+x)=f(b-x)、中心对称f(a+x)+f(b-x)=0|从平移变换切入，建立函数图象与对称关系的直接联系| |综合性质应用|5题（6-8、11-12）|奇偶性+对称性推周期、单调性与对称结合|整合函数奇偶性、周期性，形成性质链推理框架| |实际情境迁移|5题（9-10、13-15）|新定义转化（然诺点）、交点对称求和|将对称性质迁移至实际问题，体现数学建模与应用意识|

限时规范训练(十一) (建议用时：45分钟　分值：78分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． 1．设函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2026)是偶函数，则f(x)图象(　　) A．关于点(2026，0)中心对称 B．关于点(－2026，0)中心对称 C．关于直线x＝2026对称 D．关于直线x＝－2026对称 解析：C　因为f(x＋2026)为偶函数，所以f(x＋2026)＝f(－x＋2026)，所以函数f(x)图象关于直线x＝2026对称．故选C. 2．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于(　　) A．1 B．2 C．0 D．－2 解析：B　函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，可得f(2＋x)＝f(2－x)，即2|2+x－a|＝2|2-x－a|，即有|2＋x－a|＝|2－x－a|(*)恒成立，可得2＋x－a＝2－x－a或2＋x－a＋2－x－a＝0，解得x＝0或a＝2，检验可得a＝2时(*)式恒成立．故选B. 3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1，0)对称，则b等于(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 解析：A　因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)＋f(2－x)＝0，又f(2－x)＝(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b＝－x3＋(a＋6)x2－(4a＋13)x＋10＋4a＋b，所以f(x)＋f(2－x)＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝0，所以解得a＝－3，b＝1.故选A. 4．定义在R上的函数y＝f(x)在区间(－∞，2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝1对称，则(　　) A．f(1)＜f(5) B．f(1)＞f(5) C．f(1)＝f(5) D．f(0)＝f(5) 解析：C　因为y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x＋3)＝f(－x＋3)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，故f(1)＝f(5)．又函数y＝f(x)在区间(－∞，2)上单调递增，所以f(5)＝f(1)＞f(0)．故选C. 5．已知函数f(x)＝若y＝f(x)的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则实数a的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞) 解析：D　由函数解析式可得，函数图象如图所示．要使y＝f(x)的图象上存在两个点A，B关于原点对称，只需1＋a＞0，则a＞－1，所以实数a的取值范围是(－1，＋∞)．故选D. 6．若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，则下列说法错误的是(　　) A．f(x)＝f(－x) B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0 C．f(3)＝f(5) D．f(x＋2)＝f(x－2) 解析：D　因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确；因为f(x)的图象关于点(2，0)对称，对于f(x)图象上的点(x，y)，关于点(2，0)对称的点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x，得到f(4－(2＋x))＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确；由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＝1，则f(3)＝－f(1)，令x＝3，则f(5)＝－f(－1)＝－f(1)，则f(3)＝f(5)，故C正确；由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误．故选D. 7．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，则下列说法正确的是(　　) A．若f(x＋2)＝－f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 B．函数y＝－f(2－x)与函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 C．函数y＝f(－1＋x)－f(1－x)的图象关于点(1，0)对称 D．函数y＝f(1＋x)－f(1－x)的图象关于点(1，0)对称 解析：ABC　若f(x＋2)＝－f(－x)，即f(x＋2)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，故A正确；若点(x，y)在y＝f(x)上，则点(2－x，－y)在y＝－f(2－x)的图象上，且点(x，y)与点(2－x，－y)关于点(1，0)对称，则函数y＝－f(2－x)与函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，故B正确；设g(x)＝f(－1＋x)－f(1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f(1－x)－f(x－1)＋f(－1＋x)－f(1－x)＝0，故函数y＝f(－1＋x)－f(1－x)的图象关于点(1，0)对称，故C正确；设f(x)＝2x，则y＝f(1＋x)－f(1－x)＝4x，其图象不关于(1，0)对称，故D错误．故选ABC. 8．(多选)定义在R上的函数f(x)，f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，恒有f(x－1)＝f(3－x)，且f(x)在[1，2]上单调递减，则下列结论正确的是(　　) A．直线x＝1是f(x)的图象的对称轴 B．周期T＝2 C．函数f(x)在[4，5]上单调递增 D．f(5)＝0 解析：AC　因为f(x－1)＝f(3－x)，所以直线x＝1是f(x)的图象的对称轴，故A正确；因为f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，所以函数f(x)的图象关于点(0，0)对称，又因为f(x)的对称轴为x＝1，所以f(x)的周期T＝4，故B错误；直线x＝1是f(x)的对称轴，且函数f(x)在[1，2]上单调递减，所以函数f(x)在[0，1]上单调递增，又f(x)的周期T＝4，所以函数f(x)在[4，5]上单调递增，故C正确；因为f(x)的周期T＝4，f(4)＝f(0)＝0，则f(5)＞f(4)＝0，故D错误．故选AC. 9．(5分)函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝________． 解析：因为f(x)＝，所以该函数图象的对称中心为(b，1)，由题可知该函数的图象关于点(3，c)中心对称，所以有b＝3，c＝1⇒b＋c＝4. 答案：4 10．(5分)函数f(x)＝|2x－2026|＋2027的图象的对称轴方程为____________． 解析：因为f(x)＝|2x－2026|＋2027＝2|x－1013|＋2027，所以f(2026－x)＝2|2026－x－1013|＋2027＝2|1013－x|＋2027＝f(x)，所以其图象的对称轴方程为x＝1013. 答案：x＝1013 11．已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有＜0(x1≠x2)，则不等式f(ln x)＞f(1)的解集为(　　) A．(－∞，e)∪(e3，＋∞) B．(1，e2) C．(e，e3) D．(e，＋∞) 解析：C　因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，因为f(x)在[2，＋∞)上恒有⇒1＜ln x＜3，解得e＜x＜e3.故选C. 12．设函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则(　　) A．f＝0 B．f(－1)＝0 C．f(2)＝0 D．f(4)＝0 解析：B　法一(通法)：因为f(x＋2)是偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，f(x)的图象关于直线x＝2对称，又因为f(2x＋1)是奇函数，所以f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以易知函数f(x)的周期为4，由F(x)＝f(2x＋1)是奇函数，可得F(0)＝f(1)＝0，所以f(－1)＝－f(3)＝－f(1)＝0，且其他几个不一定为0，B正确．故选B. 法二(构造特殊函数)：由f(x＋2)是偶函数，f(2x＋1)是奇函数，可构造f(x)＝符合题意，f＝－，f(－1)＝0，f(2)＝1，f(4)＝－1.故选B. 13．(5分)已知函数f(x)满足f(x＋2)是偶函数，若函数y＝|x2－4x－5|与函数y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则横坐标之和x1＋x2＋…＋xn＝________． 解析：因为f(x＋2)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，因为y＝|x2－4x－5|＝|(x－2)2－9|，所以函数y＝|x2－4x－5|的图象也关于直线x＝2对称，所以x1＋x2＋…＋xn＝·4＝2n. 答案：2n 14．“肝胆两相照，然诺安能忘．”(《承左虞燕京惠诗却寄》，明·朱察卿)若A，B两点关于点P(1，1)成中心对称，则称(A，B)为一对“然诺点”，同时把(A，B)和(B，A)视为同一对“然诺点”．已知a∈Z，f(x)＝的图象上有两对“然诺点”，则a等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：C　当x＞1时，f(x)＝ax－2关于点P(1，1)对称的函数为y＝ax－2a＋4(x＜1)，由题知y＝ax－2a＋4与y＝(x－2)e－x在x∈(－∞，1)上有两个交点，由消y得到ax－2a＋4＝(x－2)e－x，又x＜1，得到＋a＝e－x，即a＝e－x－，令g(x)＝e－x－(x＜1)，y＝a，则g(x)的图象与直线y＝a有两个不同的交点，g′(x)＝－e－x＋，令h(x)＝g′(x)＝－e－x＋，则h′(x)＝e－x－＞0(x＜1)， 所以h(x)在区间(－∞，1)上单调递增，即g′(x)在区间(－∞，1)上单调递增，因为g′(0)＝－1＋1＝0，所以当x＜0时，g′(x)＜0，当0＜x＜1时，g′(x)＞0，所以g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，1)上单调递增，所以g(x)≥g(0)＝3，当x→－∞时，g(x)→＋∞，g(1)＝e-1＋4，所以g(x)的大致图象如图所示，由图可知当3＜a＜4＋e-1时，g(x)的图象与直线y＝a有两个不同的交点，因为a∈Z，所以a＝4.故选C. 15．(多选)已知函数y＝f(x＋1)－2为定义在R上的奇函数，又函数g(x)＝，且f(x)与g(x)的函数图象恰好有2026个不同的交点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P2026(x2026，y2026)，则下列叙述中正确的是(　　) A．f(x)的图象关于点(2，2)对称 B．g(x)的图象关于点(1，2)对称 C．x1＋x2＋…＋x2026＝2026 D．y1＋y2＋…＋y2026＝2026 解析：BC　函数y＝f(x＋1)－2为定义在R上的奇函数，则有f(－x＋1)－2＝－f(x＋1)＋2，即f(－x＋1)＋f(x＋1)＝4，又＝2，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1，2)对称，无法判断是否关于点(2，2)对称，故A错误；函数g(x)＝，结合反比例函数的性质和函数图象的平移可知，g(x)的函数图象也关于点(1，2)对称，故B正确；f(x)与g(x)的函数图象的交点关于点(1，2)对称，不妨设x1<x2<…<x2026，则有x1＋x2026＝x2＋x2025＝…＝x1013＋x1014＝2，y1＋y2026＝y2＋y2025＝…＝y1013＋y1014＝4，所以x1＋x2＋…＋x2026＝2026，故C正确；y1＋y2＋…＋y2026＝4052，故D错误．故选BC. 学科网（北京）股份有限公司 $