重难点专训02 函数性质的综合应用（单调性+奇偶性+周期性+对称性综合）（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“性质关联-方法转化-分层突破”为主线，系统构建函数单调性、奇偶性、周期性、对称性综合应用的解题体系，突出跨性质推导逻辑与变式迁移能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|/|四性质转化策略、导数构造法|性质内在关联（奇偶性→对称性→周期性）| |题型1-5（单调性等）|5典例+10变式|定义法/导数法/图象法等通法，核心口诀+易错警示|从单一性质判断到多性质综合应用，由具体到抽象| |分层过关练|15题（巩固10+提升5）|性质综合应用与创新情境迁移|基础巩固→能力提升，覆盖高考高频考法|

重难点专训02 函数性质的综合应用 （单调性+奇偶性+周期性+对称性综合） 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 函数单调性的判断 2 题型2 值域与最值 4 题型3 函数的奇偶性 6 题型4 函数的周期性 9 题型5 函数的对称性 12 重难专题分层过关练 16 巩固过关 16 创新提升 21 解题方法及技巧提炼 1、函数性质综合应用的基本思路是： （1）准确识别题目所给条件中隐含的单调性、奇偶性、周期性或对称性信息； （2）利用性质间的内在联系，将抽象条件转化为具体的函数特征（如由对称性推出周期性，由奇偶性简化函数值等）； （3）结合定义域，将比较大小、解不等式、求参数范围等问题转化为利用函数图象或代数推理的熟悉问题； （4）灵活运用数形结合、等价转化、构造函数等思想方法，完成求解。 2、单调性、奇偶性、周期性、对称性四者之间的核心关联是： 奇偶性本质是图象关于原点或y轴的对称，对称性可推广到任意直线或点；若函数有两条对称轴（或两个对称中心，或一条对称轴和一个对称中心），则必具有周期性。抓住“对称轴之间、对称中心之间、对称轴与对称中心之间”的距离与周期的倍数关系，是解决综合性问题的关键。 3、综合应用中的常用转化技巧： （1）利用奇偶性将负自变量转化为正自变量，利用周期性将大自变量转化为小自变量，利用对称性将不同区间上的函数值相互沟通； （2）解抽象不等式时，先根据单调性脱去“f”，再结合定义域求解，注意奇偶性可能改变不等号方向； （3）比较函数值大小时，先通过周期性和对称性将自变量变换到同一单调区间内，再运用单调性判断。 4、导数背景下性质综合的构造策略： 当条件中出现含导数的不等式时，往往需要根据结构构造辅助函数（如构造 、 等），利用导数判断所构造函数的单调性，再将原问题转化为新函数的单调性问题，从而实现性质间的综合运用。构造时要紧扣导数运算法则的逆用，目标明确，避免盲目尝试。 题型通法及变式提升 题型1 函数单调性的判断 【典例1-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合一次、二次函数，以及指数函数与对数函数的性质，结合复合函数单调性的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，函数在上单调递减，在上单调递增，所以A不符合题意； 对于B，函数，因为函数和在上都是单调递增函数， 所以函数在上是单调递增函数，所以B符合题意； 对于C，函数， 根据指数函数的性质，可得在上单调递减，所以C不符合题意； 对于D，因为函数在上单调递减，且在上单调递增， 根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上是单调递减函数， 所以D不符合题意； 核心口诀：定义作差判符号，导数快捷图直观，复合内外同增异减。 高分技巧： 定义法（作差法）：设 ，计算 或 ，判断符号。若 恒成立，则为增函数；若 恒成立，则为减函数。选填中只需取区间内两个特殊点验证即可快速排除选项； 导数法：对具体函数求导， 则单调递增， 则单调递减。选填中直接求导代入区间端点或特殊点判断符号； 四则运算单调性：增函数 + 增函数 = 增函数；增函数 - 减函数 = 增函数；正值增函数 × 正值增函数 = 增函数。选填中可直接组合判断； 分段函数单调性：各段分别判断后，需验证分段点处左侧函数值 右侧函数值（增函数）或 （减函数），即“左不高于右”或“左不低于右”； 易错警示：定义法判断单调性时，需确保 在同一个单调区间内；复合函数“同增异减”需先明确内外函数的定义域和单调区间；分段函数单调性不能只看各段，必须验证分段点处的衔接。 【变式1-1】（25-26高三上·北京丰台·期末）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义以及基本初等函数的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数为偶函数，且在上单调递减，A不符合题意； 对于B选项，函数的定义域为，， 所以函数为偶函数， 当时，，故该函数在上单调递增，B符合题意； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数，C不符合题意； 对于D选项，函数的定义域为，， 函数为奇函数，D不符合题意. 故选：B. 【变式1-2】（2026·北京·模拟预测）下列函数中，在上单调递增的偶函数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式直接判断奇偶性，单调性即可求解. 【详解】对于A，为指数函数， 是非奇非偶函数且在定义域内单调递减，故A选项错误； 对于B，，故为偶函数， 当时，， 由对数函数性质可知在内单调递增，故B选项正确； 对于C，为正切函数，是奇函数， 由正切函数性质可知在区间上单调递增，但在定义域内不具有单调性， 如，，但，故C选项错误； 对于D选项，，， 因为，所以为奇函数， 根据幂函数的相关性质得在定义域内单调递增，故D选项错误. 题型2 值域与最值 【典例2-1】（2026·北京房山·一模）设，函数则（    ） A．是偶函数，且有最大值 B．是偶函数，且没有最大值 C．是奇函数，且有最大值 D．是奇函数，且没有最大值 【答案】B 【分析】根据分段函数节点，结合函数奇偶性的定义分类讨论可以判断函数为偶函数；结合分段函数在不同区间的单调性和最值即可判断是否有最大值. 【详解】函数定义域为，关于原点对称，对任意可得： 若，则，代入得： 若，则，代入得： 若，代入得： 对所有都满足，因此是偶函数. ①当时，，，函数单调递增，因此，开区间取不到，因此无法达到； ②当时，，，函数单调递减， 所以，同理开区间也无法取得； ③当时，，由得：，即，所以中间段最大值也小于, 综上所述，所有函数值都小于，且不存在使得，所以没有最大值. 【变式2-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数，若函数的最大值是2，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】当时，，则当时，，利用导数研究函数的单调性和最大值即可求解. 【详解】由题意有：当时，，所以当时，， 当时，，所以， 令有：或，由或， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 又，令，即， 解得或，所以，    要使当时，，只需，即， 故答案为：. 【变式2-2】（25-26高三上·北京东城·阶段检测）已知函数，当时，的值域是______；若没有最大值，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用一次函数和二次函数在各自区间，先求值域，再取并集即可；利用分类讨论，来分析一次函数和二次函数在各自区间的值域，再结合题意作出判断即可. 【详解】当时，， 则当时，， 当时，， 所以根据二次函数和一次函数的值域可知：的值域是； 当时，由一次函数在区间上单调递增，故无最大值， 当时，，可得有最大值，故不符合题意， 当时，二次函数对称轴为， 故二次函数在区间上有最大值， 一次函数在区间上单调递减，即， 所以必有最大值，故不符合题意， 综上的取值范围是， 故答案为：， 题型3 函数的奇偶性 【典例3-1】（2026·北京大兴·三模）设函数，则“”是“的图象关于轴对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】函数图象关于轴对称，等价于该函数是偶函数．先根据求出参数应满足的条件，再判断两个命题之间的推出关系； 【详解】函数的图象关于轴对称，当且仅当对任意，都有 即 展开得即 上式对任意恒成立，则得，则有． 反过来，当该式成立时，，上述等式也恒成立，因此这是图象关于轴对称的充要条件． 若的图象关于轴对称，则． 所以“”是“的图象关于轴对称”的必要条件． 反之，若取，有，此时，显然其图象不关于轴对称，故充分性不成立. 综上，“”是“的图象关于轴对称”的必要不充分条件． 核心口诀：定义域先对称， 判关系，运算性质记分明。 高分技巧： 定义法：先看定义域是否关于原点对称，若不对称直接为非奇非偶函数。若对称，计算 ： 为偶函数， 为奇函数，两者均不满足则为非奇非偶，两者均满足则为既奇又偶函数（如常函数 ）； 图象法：奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于 轴对称。选填中可直接通过图象特征快速判断； 运算法则：奇 ± 奇 = 奇；偶 ± 偶 = 偶；奇 × 奇 = 偶；偶 × 偶 = 偶；奇 × 偶 = 奇；奇函数与奇函数的复合为奇函数，偶函数与任意函数的复合为偶函数；绝对值使奇函数变为偶函数（如 ， 为奇函数）； 导数关系：可导的奇函数的导函数为偶函数；可导的偶函数的导函数为奇函数； 抽象函数奇偶性判定：令 代入抽象关系式，化简后观察 与 的关系（详见抽象函数篇）； 利用奇偶性求值：若已知函数为奇函数，则 （定义域含0时）且 ；若已知为偶函数，则 ，可将负自变量转化为正自变量求解。 易错警示：判断奇偶性前必须先验证定义域是否关于原点对称——这是前提条件； 是奇函数的必要条件，但不能据此判定奇函数；既奇又偶函数只有 （定义域关于原点对称）；选填中注意区分“奇函数”与“图象关于原点对称”的等价性。 【典例3-2】（2026·北京·三模）能说明命题“若是奇函数，则”为假命题的一组的值可以是______，______，______． 【答案】 1 0 1 【分析】根据奇函数的定义得出即可求解． 【详解】因为是上奇函数，所以， 当时，，， 则， 由得， 所以满足的即为奇函数， 所以可取． 【变式3-1】（2026·北京昌平·二模）已知函数，则是（） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 【答案】D 【分析】先确定定义域为且关于原点对称,求出判定为奇函数,再将函数变形为,由在上递增推出在上递减,从而选出答案D. 【详解】已知函数，定义域为，关于原点对称. .满足，故是奇函数. .因为且在上单调递增. 所以在上单调递增，进而在上单调递减. 故在上单调递减. 综上，是奇函数，且在上是减函数. 【变式3-2】（2026·北京顺义·三模）已知函数的定义域为，则“函数为奇函数”是“存在，使得”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若函数为奇函数，则，都有，故充分性成立； 若，，则有， 但不为奇函数，故必要性不成立， 故“函数为奇函数”是“存在，使得”的充分不必要条件. 题型4 函数的周期性 【典例4-1】（25-26高三上·北京西城·阶段检测）设是定义在上的偶函数，且，当时，，则____________． 【答案】0 【分析】由函数为偶函数和函数具有的对称性，确定函数周期，进而可求解. 【详解】是定义在上的偶函数，有， 由，设，则，， 得，则函数周期为2， 所以， 故答案为：0 核心口诀：定义 找周期，递推算循环，性质组合推结论。 高分技巧： 定义法：若存在非零常数 ，使得 对定义域内任意 恒成立，则 为周期。最小正周期为所有周期中最小的正数； 基本函数周期公式： 周期为 ； 周期为 ； 周期为 ； 周期为 ； 周期为 ； 抽象函数周期公式直接套用： 条件式 周期 递推数列找周期法：对定义在整数集上的函数，给定递推式（如 ），赋值算前5~6项找循环节。必须算到连续两项与前期连续两项完全对应才算找到周期； 对称性推周期：两条对称轴间距的2倍为周期；两个对称中心间距的2倍为周期；一条对称轴与一个对称中心间距的4倍为周期； 奇偶性+对称性推周期：奇函数+对称轴 → ；偶函数+对称轴 → ； 周期函数的四则运算：若 周期为 ， 周期为 ，则 、 的周期为 与 的最小公倍数（须验证）。 易错警示：周期函数的定义域必须是无限区间且平移后仍在定义域内；最小正周期需验证是否有更小周期； 的正负均可，习惯取正数；含绝对值的周期函数需画出图象重新判断周期。 【典例4-2】（2026·北京通州·一模）已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数．关于有下列四个结论： ①的图象关于对称； ②是周期函数； ③若，则； ④若时，，则函数的零点个数为10． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】②③ 【分析】由函数是偶函数，是奇函数可得函数关于对称以及是以4为周期的周期函数，由此求解即可. 【详解】因为是偶函数，所以，即，所以关于直线对称，故①错误； 又因为是奇函数，所以，又因为，可得， 进而，所以是以4为周期的周期函数，故②正确； 因为，因为是以4为周期的周期函数，所以，所以，所以，故③正确； 因为时，，因为函数关于对称，所以时，，因为函数的周期为4，可得时，， 时，，当时，交点横坐标为，，且在区间，，，内各有一个交点， 当，交点在区间，，，内各有一个交点，共9个交点，故④错误. 【变式4-1】（2026·北京·三模）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数与偶函数的定义可知，是奇函数，是偶函数，那么，，通过代换计算出函数的周期及特殊点的函数值即可求解. 【详解】根据奇函数与偶函数的定义可知，是奇函数，是偶函数， 那么，， 又函数的定义域为， 所以，令，得 ， 即， 令，得 即，所以，， 又，所以，， 令，得，所以， 令，得 ，即 由可得 ，故函数周期为4, ，故选项D正确， 对于选项A，构造函数,，周期为4，但， 选项A不一定成立，故A错误； 对于选项B，同样构造函数，， 选项B不一定成立，故B错误； 对于选项C，，结合选项A可知，不一定成立，故C错误. 【变式4-2】（25-26高三上·北京石景山·期末）关于定义域为的函数是偶函数，且，，给出下列四个结论： ①函数的图象关于对称； ②函数的图象关于对称； ③函数是以6为周期的周期函数； ④函数是以4为周期的周期函数． 其中正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【分析】利用已知条件以及函数的对称性、周期性的定义逐项推导，可得出合适的选项. 【详解】对于①，因为为偶函数，所以， 由，可得，则， ，所以函数的图象关于直线对称，故①正确； 对于②，因为，所以， 又，可得， 所以函数的图象关于点对称，故②正确； 对于③，由，且，所以， 所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数，故③错误； 对于④，因为，且，所以， 由，所以，又， 所以，所以， 所以，因此，函数是周期为4的周期函数，故④正确. 故答案为：①②④. 题型5 函数的对称性 【典例5-1】（24-25高三上·北京·阶段检测）已知定义在R上的函数满足下列条件：①；②；③图象关于点对称，则______． 【答案】/ 【分析】求出函数的对称轴，再利用对称中心求出周期，然后可得. 【详解】因为，所以图象关于对称，即 又图象关于点对称，所以，即， 令代替代入上式可得，即， 所以函数的周期为8， 所以， 又，即. 故答案为：. 核心口诀：括号相加除以2定轴，中心看正负号对应。 高分技巧： 轴对称判定： → 对称轴 ； → 对称轴 ； → 对称轴 ；二次函数 的对称轴为 ； 中心对称判定： → 对称中心 ； → 对称中心 ； → 对称中心 ； 基本初等函数的对称性： 对称轴 ，对称中心 ； 对称轴 ，对称中心 ； 对称中心 ； 对称中心 ； 对称性求值：若函数关于 对称，则 ，可据此将未知点的函数值转化为已知点的函数值； 对称性的代数意义：轴对称等价于“函数值关于某直线成镜像”，中心对称等价于“函数图象绕某点旋转180°后重合”； 对称性与周期性互推（详见题型4周期表）； 多个对称性综合：若函数同时具有两条对称轴或两个对称中心或一轴一中心，则函数必为周期函数，周期分别对应 、、（ 为两特征之间的距离）； 导数与对称性关系：若 关于 对称，则其导函数 关于 中心对称；若 关于 中心对称，则 关于 轴对称。 易错警示：区分轴对称和中心对称的定义； 与 本质相同（令 即可互化）；对称轴和对称中心必须在定义域内才有意义；注意区分“对称轴”与“对称中心”的表达式特征——等式右侧为 是轴对称，为 是中心对称（纵坐标为0时）。 【典例5-2】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数为定义在R上的奇函数，又函数，且与的函数图象恰好有2026个不同的交点，，…，，则下列叙述中正确的有________ ①的图象关于点对称     ②的图象关于点对称 ③          ④ 【答案】②③ 【分析】根据题意，先判断函数与函数的图象有相同的对称中心，再依次判断各个选项即可. 【详解】选项①:函数为定义在R上的奇函数，则有，即， 又，所以函数的图象关于点中心对称，无法判断是否关于点对称，所以选项①错误； 方法二：函数为定义在R上的奇函数，则函数的图象关于坐标原点对称. 函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， 因此函数的图象关于点对称.无法判断是否关于点对称，所以选项①错误； 选项②:函数，因此函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位， 再向上平移2个单位得到.因为反比例函数的图象关于坐标原点对称， 所以函数的图象关于点对称，所以选项②正确； 选项③④:函数与函数的图象都关于点对称，且函数的图象不过点， 所以它们的所有交点关于点对称，不妨设， 则有，， 所以，，所以选项③正确；④选项错误． 故答案为：②③. 【变式5-1】（2026·北京东城·二模）已知函数与的图象关于轴对称，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】A 【详解】函数图象上任意一点关于轴对称的点为， 代入中得，即，得. 【变式5-2】（25-26高三下·北京·开学考试）已知函数．则下列结论中错误的是（   ） A．函数为单调减函数 B．函数的对称中心为 C．若对恒成立，则 D．函数与函数的图象所有交点纵坐标之和为20 【答案】A 【分析】去绝对值分类讨论可得函数解析式，易知在以及上是分别单调递减的，即A错误；易知满足，可知B正确；再利用函数单调性以及不等式恒成立计算可得C正确；画出两函数在同一坐标系下的图象根据周期性和对称性计算可得D正确. 【详解】对于A，易知当时，，时， 因此可得在以及上分别为单调递减函数，即A错误； 对于B，因函数满足，可得关于对称，即B正确； 对于C，由，即， 即在时恒成立，易知在上恒成立， 所以可得，解得，即C正确； 对于D，画出函数以及的图象如下图所示： 因， 即也关于对称，又的周期为， 由图知，在一个周期内该函数与有两个交点，则5个周期有10个交点， 则与在内共20个交点， 则，故D正确. 故选：A. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·天津河西·三模）下列函数中，在内单调递增的偶函数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A：，定义域为，，为奇函数； 选项B：，定义域为，，为偶函数， ，求导可得， 设函数，求导可得， 设函数，求导可得， 当时，，单调递增，所以， 所以当时，，单调递增，所以， 因此当时，，在内单调递增； 选项C：，定义域为，，为奇函数； 选项D：，定义域为，，为偶函数， 当时，令，则，函数变为，根据对勾函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，即函数在上单调递减，在上单调递增. 2．（2026·云南昆明·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【分析】先得出定义域，再应用偶函数定义判断偶函数，再结合对数复合函数单调性即可求解. 【详解】的定义域为， 因为，所以，即为偶函数， 当时，则， 由复合函数的单调性质得：在上单调递增，单调递增， 所以在上单调递增. 3．（25-26高三上·湖北·期中）已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】C 【分析】根据对称性定义计算判断各个选项． 【详解】对于A选项，若的图象关于直线对称，则，而，，二者不相等，故A错误； 对于B选项，若的图象关于点对称，则， 而，故B错误” 而， 所以的图象关于点对称，C选项正确，D选项错误． 故选：C． 4．（2026·福建南平·二模）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据函数的周期性和奇偶性即可求解. 【详解】已知是定义在上且周期为的奇函数，所以有， 令，得， 由于是奇函数，有，所以，即，解得， 当时，，由于，所以， 因此，故B正确. 5．（25-26高三上·陕西商洛·期末）设函数，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的单调性，根据单调性和定义域求解不等式即可. 【详解】令，则. 因为是减函数，是增函数，所以函数在上单调递减； 因为是减函数，所以在上单调递减. 因为，，所以函数在上单调递减。 因为，所以，所以，解得． 故选：A. 6．（2026·安徽合肥·一模）已知函数为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性定义确定函数的奇偶性，进而得到函数的奇偶性，再借助余弦型函数的奇偶性求出参数值. 【详解】函数的定义域为，令函数， ，即函数是奇函数， 而函数是偶函数，则函数是奇函数， 因此，解得，又， 所以当时，取得最小值. 故选：C 7．（2026·安徽六安·模拟预测）若是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合指数函数单调性求出在上的值域，再利用偶函数的性质求出指定区间上的值域. 【详解】当时，，，函数在上单调递减， 当时，，又函数是上的偶函数， 则当时，，所以函数在上的值域为. 故选：A 8．（2026·吉林长春·二模）已知函数，若，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，利用函数性质求的范围即可. 【详解】已知函数，则， 是奇函数， 是增函数，是增函数， 是增函数， 因为 ， ，即， 是单调递增函数， ，解得． 所以的取值范围是. 9．（2026·河南郑州·模拟预测）函数的图象关于点对称，且，则______． 【答案】 【详解】已知函数的图象关于点对称， 则对任意有，则 ， 化简得， ，解得， 若，则，与题设矛盾，舍去； 若，则，解得， ． 10．（2026·湖南长沙·三模）已知函数的定义域为R，的图象关于点对称， ，且的图象关于点对称，则______. 【答案】99 【分析】先利用函数的对称性找到等式关系，再用赋值法得到，从而求出. 【详解】因为 关于点 对称，所以, 即， 因为 关于点 对称，所以, 因为 ，所以 即， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 因此， 在，令，得， 因此. 创新提升 11．（25-26高三下·安徽芜湖·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得曲线关于某点对称 B．存在，使得曲线关于某直线对称 C．存在，使得曲线关于某点对称 D．存在，使得曲线关于某直线对称 【答案】D 【详解】由，得或， 则函数的定义域为 若曲线存在对称轴或对称中心，则对称轴或对称中心必在直线上. 因为， 当时，，所以此时关于直线对称. 又因为不可能恒等于某个常数， 所以不可能关于某个点对称. 12．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的定义可知为奇函数，结合导数可判断单调递增，进而原问题化为恒成立，即恒成立，令，借助导数可得最大值进而即得. 【详解】，， 故，单调递增. 又，所以恒成立，等价于，等价于恒成立，即恒成立. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以当时，取得最大值， 故 13．（2026·安徽·模拟预测）已知函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分、和三种情况讨论，结合函数单调性求值域即可. 【详解】因为函数， 当时，则，可得， 即，则，可得， 因为在上单调递增，所以； 当时，则，，不可能成立，不合题意； 当时，则， 设，对任意，且， 则，且，可得，即， 可知在上单调递增，则，即； 综上所述：的取值范围是. 14．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知函数，，则的解集为________；与图象的交点横坐标之和为________. 【答案】 2 【分析】先将代入不等式，再根据对数函数的性质求解不等式；先分析函数和的对称性，再根据对称性求出交点横坐标之和. 【详解】由题意得，，即，又在单调递增， ，解得，故的解集为. ，则， ， 故函数的图象关于点对称， ，则， ， 故函数的图象关于点对称， 两个函数的图象都关于点对称， 两个函数的图象交点也关于点对称， 因为，可知单调减区间为，图象关于点对称，时，时， 函数，可知函数单调增区间为，值域为且图象关于点对称， 可画出两个函数的大致图象，两个函数的图象有两个交点且关于点对称， 所以交点横坐标之和为. 故答案为：；2 15．（2026·上海静安·二模）设，函数，给出下列三个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，，则． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③ 【分析】对①：结合的单调性，令即可得反例；对②：利用函数性质判断的单调性，则可求出各段的上界，再令计算即可得；对③：分及进行讨论，当时，利用点到直线的距离公式计算即可得解；当时，计算出即可得解. 【详解】对①：若，即时，有， 则在区间上单调递增，故①错误； 对②：由， 则当时，单调递增，当时，单调递增， 当时，单调递减，当时，单调递减， 则时，，当时，， 当时，， 要使得存在最大值，则，解得，故②正确； 对③：由题意可得，若，则在上， 则， 由，则； 若，则， 有，故； 综上可得：恒成立，故③正确. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训02 函数性质的综合应用 （单调性+奇偶性+周期性+对称性综合） 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 函数单调性的判断 2 题型2 值域与最值 3 题型3 函数的奇偶性 3 题型4 函数的周期性 4 题型5 函数的对称性 6 重难专题分层过关练 7 巩固过关 7 创新提升 8 解题方法及技巧提炼 1、函数性质综合应用的基本思路是： （1）准确识别题目所给条件中隐含的单调性、奇偶性、周期性或对称性信息； （2）利用性质间的内在联系，将抽象条件转化为具体的函数特征（如由对称性推出周期性，由奇偶性简化函数值等）； （3）结合定义域，将比较大小、解不等式、求参数范围等问题转化为利用函数图象或代数推理的熟悉问题； （4）灵活运用数形结合、等价转化、构造函数等思想方法，完成求解。 2、单调性、奇偶性、周期性、对称性四者之间的核心关联是： 奇偶性本质是图象关于原点或y轴的对称，对称性可推广到任意直线或点；若函数有两条对称轴（或两个对称中心，或一条对称轴和一个对称中心），则必具有周期性。抓住“对称轴之间、对称中心之间、对称轴与对称中心之间”的距离与周期的倍数关系，是解决综合性问题的关键。 3、综合应用中的常用转化技巧： （1）利用奇偶性将负自变量转化为正自变量，利用周期性将大自变量转化为小自变量，利用对称性将不同区间上的函数值相互沟通； （2）解抽象不等式时，先根据单调性脱去“f”，再结合定义域求解，注意奇偶性可能改变不等号方向； （3）比较函数值大小时，先通过周期性和对称性将自变量变换到同一单调区间内，再运用单调性判断。 4、导数背景下性质综合的构造策略： 当条件中出现含导数的不等式时，往往需要根据结构构造辅助函数（如构造 、 等），利用导数判断所构造函数的单调性，再将原问题转化为新函数的单调性问题，从而实现性质间的综合运用。构造时要紧扣导数运算法则的逆用，目标明确，避免盲目尝试。 题型通法及变式提升 题型1 函数单调性的判断 【典例1-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 核心口诀：定义作差判符号，导数快捷图直观，复合内外同增异减。 高分技巧： 定义法（作差法）：设 ，计算 或 ，判断符号。若 恒成立，则为增函数；若 恒成立，则为减函数。选填中只需取区间内两个特殊点验证即可快速排除选项； 导数法：对具体函数求导， 则单调递增， 则单调递减。选填中直接求导代入区间端点或特殊点判断符号； 四则运算单调性：增函数 + 增函数 = 增函数；增函数 - 减函数 = 增函数；正值增函数 × 正值增函数 = 增函数。选填中可直接组合判断； 分段函数单调性：各段分别判断后，需验证分段点处左侧函数值 右侧函数值（增函数）或 （减函数），即“左不高于右”或“左不低于右”； 易错警示：定义法判断单调性时，需确保 在同一个单调区间内；复合函数“同增异减”需先明确内外函数的定义域和单调区间；分段函数单调性不能只看各段，必须验证分段点处的衔接。 【变式1-1】（25-26高三上·北京丰台·期末）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·北京·模拟预测）下列函数中，在上单调递增的偶函数为（     ） A． B． C． D． 题型2 值域与最值 【典例2-1】（2026·北京房山·一模）设，函数则（    ） A．是偶函数，且有最大值 B．是偶函数，且没有最大值 C．是奇函数，且有最大值 D．是奇函数，且没有最大值 【变式2-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数，若函数的最大值是2，则的取值范围是__________． 【变式2-2】（25-26高三上·北京东城·阶段检测）已知函数，当时，的值域是______；若没有最大值，则的取值范围是______． 题型3 函数的奇偶性 【典例3-1】（2026·北京大兴·三模）设函数，则“”是“的图象关于轴对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 核心口诀：定义域先对称， 判关系，运算性质记分明。 高分技巧： 定义法：先看定义域是否关于原点对称，若不对称直接为非奇非偶函数。若对称，计算 ： 为偶函数， 为奇函数，两者均不满足则为非奇非偶，两者均满足则为既奇又偶函数（如常函数 ）； 图象法：奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于 轴对称。选填中可直接通过图象特征快速判断； 运算法则：奇 ± 奇 = 奇；偶 ± 偶 = 偶；奇 × 奇 = 偶；偶 × 偶 = 偶；奇 × 偶 = 奇；奇函数与奇函数的复合为奇函数，偶函数与任意函数的复合为偶函数；绝对值使奇函数变为偶函数（如 ， 为奇函数）； 导数关系：可导的奇函数的导函数为偶函数；可导的偶函数的导函数为奇函数； 抽象函数奇偶性判定：令 代入抽象关系式，化简后观察 与 的关系（详见抽象函数篇）； 利用奇偶性求值：若已知函数为奇函数，则 （定义域含0时）且 ；若已知为偶函数，则 ，可将负自变量转化为正自变量求解。 易错警示：判断奇偶性前必须先验证定义域是否关于原点对称——这是前提条件； 是奇函数的必要条件，但不能据此判定奇函数；既奇又偶函数只有 （定义域关于原点对称）；选填中注意区分“奇函数”与“图象关于原点对称”的等价性。 【典例3-2】（2026·北京·三模）能说明命题“若是奇函数，则”为假命题的一组的值可以是______，______，______． 【变式3-1】（2026·北京昌平·二模）已知函数，则是（） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 【变式3-2】（2026·北京顺义·三模）已知函数的定义域为，则“函数为奇函数”是“存在，使得”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型4 函数的周期性 【典例4-1】（25-26高三上·北京西城·阶段检测）设是定义在上的偶函数，且，当时，，则____________． 核心口诀：定义 找周期，递推算循环，性质组合推结论。 高分技巧： 定义法：若存在非零常数 ，使得 对定义域内任意 恒成立，则 为周期。最小正周期为所有周期中最小的正数； 基本函数周期公式： 周期为 ； 周期为 ； 周期为 ； 周期为 ； 周期为 ； 抽象函数周期公式直接套用： 条件式 周期 递推数列找周期法：对定义在整数集上的函数，给定递推式（如 ），赋值算前5~6项找循环节。必须算到连续两项与前期连续两项完全对应才算找到周期； 对称性推周期：两条对称轴间距的2倍为周期；两个对称中心间距的2倍为周期；一条对称轴与一个对称中心间距的4倍为周期； 奇偶性+对称性推周期：奇函数+对称轴 → ；偶函数+对称轴 → ； 周期函数的四则运算：若 周期为 ， 周期为 ，则 、 的周期为 与 的最小公倍数（须验证）。 易错警示：周期函数的定义域必须是无限区间且平移后仍在定义域内；最小正周期需验证是否有更小周期； 的正负均可，习惯取正数；含绝对值的周期函数需画出图象重新判断周期。 【典例4-2】（2026·北京通州·一模）已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数．关于有下列四个结论： ①的图象关于对称； ②是周期函数； ③若，则； ④若时，，则函数的零点个数为10． 其中所有正确结论的序号是________． 【变式4-1】（2026·北京·三模）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高三上·北京石景山·期末）关于定义域为的函数是偶函数，且，，给出下列四个结论： ①函数的图象关于对称； ②函数的图象关于对称； ③函数是以6为周期的周期函数； ④函数是以4为周期的周期函数． 其中正确结论的序号是___________． 题型5 函数的对称性 【典例5-1】（24-25高三上·北京·阶段检测）已知定义在R上的函数满足下列条件：①；②；③图象关于点对称，则______． 核心口诀：括号相加除以2定轴，中心看正负号对应。 高分技巧： 轴对称判定： → 对称轴 ； → 对称轴 ； → 对称轴 ；二次函数 的对称轴为 ； 中心对称判定： → 对称中心 ； → 对称中心 ； → 对称中心 ； 基本初等函数的对称性： 对称轴 ，对称中心 ； 对称轴 ，对称中心 ； 对称中心 ； 对称中心 ； 对称性求值：若函数关于 对称，则 ，可据此将未知点的函数值转化为已知点的函数值； 对称性的代数意义：轴对称等价于“函数值关于某直线成镜像”，中心对称等价于“函数图象绕某点旋转180°后重合”； 对称性与周期性互推（详见题型4周期表）； 多个对称性综合：若函数同时具有两条对称轴或两个对称中心或一轴一中心，则函数必为周期函数，周期分别对应 、、（ 为两特征之间的距离）； 导数与对称性关系：若 关于 对称，则其导函数 关于 中心对称；若 关于 中心对称，则 关于 轴对称。 易错警示：区分轴对称和中心对称的定义； 与 本质相同（令 即可互化）；对称轴和对称中心必须在定义域内才有意义；注意区分“对称轴”与“对称中心”的表达式特征——等式右侧为 是轴对称，为 是中心对称（纵坐标为0时）。 【典例5-2】（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数为定义在R上的奇函数，又函数，且与的函数图象恰好有2026个不同的交点，，…，，则下列叙述中正确的有________ ①的图象关于点对称     ②的图象关于点对称 ③          ④ 【变式5-1】（2026·北京东城·二模）已知函数与的图象关于轴对称，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【变式5-2】（25-26高三下·北京·开学考试）已知函数．则下列结论中错误的是（   ） A．函数为单调减函数 B．函数的对称中心为 C．若对恒成立，则 D．函数与函数的图象所有交点纵坐标之和为20 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·天津河西·三模）下列函数中，在内单调递增的偶函数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·云南昆明·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 3．（25-26高三上·湖北·期中）已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 4．（2026·福建南平·二模）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A．-2 B． C． D．2 5．（25-26高三上·陕西商洛·期末）设函数，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·安徽合肥·一模）已知函数为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽六安·模拟预测）若是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·吉林长春·二模）已知函数，若，则的取值范围是___________． 9．（2026·河南郑州·模拟预测）函数的图象关于点对称，且，则______． 10．（2026·湖南长沙·三模）已知函数的定义域为R，的图象关于点对称， ，且的图象关于点对称，则______. 创新提升 11．（25-26高三下·安徽芜湖·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得曲线关于某点对称 B．存在，使得曲线关于某直线对称 C．存在，使得曲线关于某点对称 D．存在，使得曲线关于某直线对称 12．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．（2026·安徽·模拟预测）已知函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知函数，，则的解集为________；与图象的交点横坐标之和为________. 15．（2026·上海静安·二模）设，函数，给出下列三个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，，则． 其中所有正确结论的序号是______． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $