第1章 培优增分1 多变量最值问题的处理方法(课时作业Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

**基本信息** 聚焦多变量最值问题，通过消元、换元、不等式等方法体系，系统构建从多变量到单变量的转化逻辑，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |消元转化|1,3|用已知等式消元，转化为二次函数求范围|多变量→单变量，利用二次函数性质| |换元简化|2,7|比值换元、对数换元，简化表达式|复杂形式→基本函数，运用单调性| |不等式应用|5,6|基本不等式、柯西不等式求最值|和积关系→不等关系，强化模型观念| |方程思想|10|判别式法，构建二次方程求参数范围|等量关系→方程有解，提升推理能力|

限时规范训练(七)　多变量最值问题的处理方法 (建议用时：45分钟　分值：60分) 本训练单项选择题5分，多项选择题6分，填空题5分． 1．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，则a＋b的取值范围是(　　) A．[－1，1] B． C． D．[0，2] 解析：C　因为a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，所以a＋b＝1－c，ab＝[(a＋b)2－(a2＋b2)]＝c2－c，因为ab≤2，所以c2－c≤，所以－≤c≤1，所以0≤1－c≤，所以0≤a＋b≤.故选C. 2．设正数m，n，u＝，v2＝m2＋n2＋mn，则2的最大值是(　　) A． B． C． D．1 解析：B　2＝＝， 令t＝，则原式＝，当且仅当t＝，即t＝1，m＝n时取等号，此时取得最大值.故选B. 3．若a，b，c>0，且a2＋2ab＋2ac＋4bc＝12，则a＋b＋c的最小值是(　　) A．2 B．3 C．2 D． 解析：A　因为a2＋2ab＋2ac＋4bc＝12，所以2ab＋2ac＋2bc＝12－a2－2bc.而(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝12＋b2＋c2－2bc＝12＋(b－c)2≥12，且a，b，c>0，所以a＋b＋c≥2 ，当且仅当b＝c时等号成立．故选A. 4．已知x＞0，y＞0，x＋2y＝3，则的最小值为(　　) A．3－2 B．2 ＋1 C． －1 D． ＋1 解析：B　因为x＞0，y＞0，x＋2y＝3，则 ＋1＝2 ＋1，当且仅当x2＝2y2，即x＝3 －3，y＝时等号成立，故的最小值为1＋2 .故选B. 5．已知实数a，b＞0，若a＋2b＝1，则的最小值为(　　) A．12 B．2 C．6 D．8 解析：A　由题知 ＋4＝8＋4＝12，当且仅当，即a＝b＝时取等号，所以的最小值为12.故选A. 6．若x，y，z均为正实数，则的最大值为(　　) A． B． C． D． 解析：C　因为x，y，z均为正数，所以x2＋y2≥2xy，z2＋y2≥2yz，所以，当且仅当x＝y＝z时等号成立．故选C. 7．(多选)若a>1，b>1，且ab＝e2，则(　　) A．2e≤a＋b<e2＋1 B．0<ln a·ln b≤1 C．2 －1≤ln a＋logab<2 D．aln b的最大值为e 解析：ABD　由a>1，b＝>1，得1<a<e2， 因为函数f(a)＝a＋b＝a＋在区间(1，e)上单调递减，在区间[e，e2)上单调递增，所以2e≤a＋b<e2＋1，故A正确；因为ab＝e2，所以有ln a＋ln b＝2，于是0<ln a·ln b≤2＝1，当且仅当a＝b＝e时，等号成立，故B正确；ln a＋logab＝ln a＋＝ln a＋＝ln a＋－1，设t＝ln a∈(0，2)，所以φ(t)＝t＋－1在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以φ(t)＝t＋－1∈，故C错误； 设λ＝aln b，所以ln λ＝ln aln b＝ln b·ln a≤1，所以λ≤e，故D正确．故选ABD. 8．(多选)若a，b是正实数，且a＋2b＝1，则的值可能为(　　) A．6 B． C． D．5 解析：BCD　由题意， ＋3＝ ＋3，当且仅当，即a＝时取等号，所以的最小值为 ＋3.结合选项知A错误，B、C、D正确．故选BCD. 9．已知正实数x，y满足：x2＋xy＋＝2，则3x＋2y＋的最小值为________． 解析：因为正实数x，y满足x2＋xy＋＝2，所以(x＋y)＝5.令x＋y＝m，x＋＝n，则3x＋2y＋ ＝.当m＝ ，即x＝时，3x＋2y＋取到最小值2 . 答案：2 10．(13分)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，求：2x＋y的最大值． 解：由4x2＋y2＋xy＝1化简可得(2x＋y)2－3xy＝1，令t＝2x＋y，则y＝t－2x，所以t2－3x(t－2x)＝1，即6x2－3tx＋t2－1＝0，所以Δ＝(－3t)2－24(t2－1)≥0，解得－，所以2x＋y的最大值是，此时x＝. 学科网（北京）股份有限公司 $