第1章 第6节 一元二次方程与不等式(课时作业Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

**基本信息** 以问题为载体系统整合一元二次方程与不等式解法，强化逻辑推理与分类讨论能力，突出数学抽象与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法|1-4题|因式分解法、求根公式法|从不等式解集逆向推导方程根与系数关系，体现数学抽象| |参数讨论|5、10、12题|参数分类讨论法|依据参数符号与根的大小关系分层求解，培养逻辑推理| |综合应用|8、13、14题|函数图像法、恒成立转化法|结合二次函数性质解决存在性与恒成立问题，发展模型意识|

限时规范训练(六)　一元二次方程与不等式 (建议用时：60分钟　分值：102分) 本训练单项选择题5分，多项选择题6分，填空题5分． 1．不等式x2＋的解集为(　　) A．{} B．[－1，1) C． D．(1，3) 解析：A　由题知不等式为x2＋，即9x2－6x＋1≤0，即(3x－1)2≤0，解得x＝，所以解集为{}．故选A. 2．不等式≥1的解集为(　　) A．{x|x<1或x≥} B．{x|x≥4} C．{x|x≤－4} D．{x|x>1或x≤－4} 解析：D　≥1，即≥0，等价于解得x>1 或x≤－4.故选D. 3．若关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析：C　设f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，依题意有f(1)＜0，即a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1.故选C. 4．已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为(　　) A．{x} B．{x} C．{x|－2＜x＜1} D．{x|x＜－2或x＞1} 解析：A　因为不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，所以ax2＋bx＋2＝0的两根为－1，2，且a＜0，－1＋2＝－，(－1)×2＝，解得a＝－1，b＝1，则所求不等式可化为2x2＋x－1＜0，解得－1＜x＜，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为{x}．故选A. 5．(多选)已知a∈R，关于x的不等式(ax－2)(x＋2)>0的解集可能是(　　) A．{x或x<－2} B．{x|x>－2} C．{x} D．{x<x<－2} 解析：ACD　当a＝0时，(ax－2)(x＋2)＝－2(x＋2)>0，解得x<－2；当a>0时，(ax－2)(x＋2)＝a·(x＋2)>0，解得x>或x<－2，故A正确；当a<0时，(ax－2)(x＋2)＝a·(x＋2)>0，若＝－2，即a＝－1，则解集为空集；若<－2，即－1<a<0，则不等式的解集为{x<x<－2}，故D正确；若>－2，解得a<－1，则不等式的解集为{x}，故C正确．故选ACD. 6．(5分)不等式|x|(1－2x)＞0的解集为________． 解析：由题意得x≠0，当x＞0时，原不等式即为x(1－2x)＞0，所以0＜x＜；当x＜0时，原不等式即为－x(1－2x)＞0，所以x＜0.综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪. 答案：(－∞，0)∪ 7．(5分)(2026·河北邯郸二模)关于x的一元二次不等式x2＋mx＋4<0的解集为空集，则实数m的取值范围为________． 解析：因为关于x的一元二次不等式x2＋mx＋4<0的解集为空集，所以x2＋mx＋4≥0，对x∈R恒成立，所以Δ＝m2－16≤0，解得－4≤m≤4，所以实数m的取值范围为[－4，4]. 答案：[－4，4] 8．(12分)已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}． (1)求a，b的值； (2)解不等式ax2－(am＋b)x＋bm<0. 解：(1)因为不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个根，所以 解得 (2)由(1)知原不等式为x2－(m＋2)x＋2m<0，即(x－m)(x－2)<0，当m>2时，不等式解集为{x|2<x<m}；当m＝2时，不等式解集为∅；当m<2时，不等式解集为{x|m<x<2}． 9．若关于x的不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，5) B．(5，＋∞) C．(－4，＋∞) D．(－∞，4) 解析：A　设f(x)＝x2－4x－a，则f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，所以要使不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，只要f(5)＞0即可，即25－20－a＞0，得a＜5，所以实数a的取值范围为(－∞，5)．故选A. 10．(多选)关于x的不等式(ax－1)(x＋2a－1)＞0的解集中恰有3个整数，则a的值可以为(　　) A．－ B．1 C．－1 D．－2 解析：AC　由题意知a＜0，故B错误；对于A，当a＝－时，(x－2)＞0，即(x＋2)(x－2)＜0，解得－2＜x＜2，解集中恰有3个整数，故A正确；对于C，当a＝－1时，(－x－1)(x－3)＞0，即(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3，解集中恰有3个整数，故C正确；对于D，当a＝－2时，(－2x－1)(x－5)＞0，即(2x＋1)(x－5)＜0，解得－＜x＜5，解集中有5个整数，故D错误．故选AC. 11．(5分)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________． 解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，所以f(x)＝x2＋ax＋b＝0有两个相等的实根，即Δ＝a2－4b＝0，则b＝，不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，即x2＋ax＋＜c的解集为(m，m＋6)，则x2＋ax＋－c＝0的两个根为m，m＋6，所以|m＋6－m|＝ ＝ ＝6，解得c＝9. 答案：9 12．(13分)解关于x的不等式：2a2x2－3ax－2>0，a∈R. 解：当a＝0时，原不等式即为－2>0，该不等式的解集为∅；当a≠0时，2a2>0，原不等式即为(2ax＋1)(ax－2)>0. ①若a<0，则－>，原不等式的解集为{x或x>－}； ②若a>0，则－<，原不等式的解集为{x或x>}． 综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为∅；当a<0时，原不等式的解集为{x或x>－}；当a>0时，原不等式的解集为{x或x>}． 13．(15分)已知函数f(x)＝x2－3x＋a. (1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若f(x)<0在x∈(－1，2)上恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)f(x)＝x2－3x＋a＝2＋a－，则f(x)min＝f ＝a－，f(x)>0在x∈R上恒成立，即f(x)min＝a－>0，故a>.故实数a的取值范围是. (2)f(x)＝x2－3x＋a＝2＋a－，f(x)在区间[－1，2]上的最大值为f(x)max＝f(－1)＝2＋a－＝4＋a，故f(x)在x∈(－1，2)上满足f(x)<4＋a，故4＋a≤0，解得a≤－4.故实数a的取值范围是(－∞，－4]. 14．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝x|x－a|－2a2.若当x>2时，f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．[－2，1] C．[－1，2] D．[－1，＋∞) 解析：B　f(x)＝x|x－a|－2a2＝若a>2，当2<x<a时，f(x)＝－x2＋ax－2a2，此时关于x的方程－x2＋ax－2a2＝0的Δ＝a2－4×2a2＝<0，所以f(x)<0，不符合题意；若0<a≤2，当x>2时，f(x)＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0，解得x>2a，则2a≤2，即0<a≤1；若a＝0，当x>2时，f(x)＝x2>0恒成立，符合题意；若a<0，当x>2时，f(x)＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0，解得x>－a，则－a≤2，即－2≤a<0.综上，－2≤a≤1，故实数a的取值范围是[－2，1].故选B. 15．(5分)(2025·天津卷T15)若a，b∈R，对∀x∈[－2，2]，均有(2a＋b)x2＋bx－a－1≤0恒成立，则2a＋b的最小值为________． 解析：令t＝2a＋b，则b＝t－2a，所以tx2＋(t－2a)x－a－1≤0在[－2，2]上恒成立，即t(x2＋x)≤2ax＋a＋1在[－2，2]上恒成立，所以对∀x∈[－2，2]，函数y＝t(x2＋x)的图象总在直线y＝2ax＋a＋1的下方或与直线相切． 函数y＝t(x2＋x)的图象过点(－1，0)和点(0，0)，直线y＝2ax＋a＋1＝a(2x＋1)＋1过定点A. 讨论t＜0时的情况(提示：因为二次函数图象在直线的下方或与直线相切，所以考虑开口向下的情况)， 当t＝－1时，如图(1)，二次函数y＝t(x2＋x)＝－(x2＋x)图象的顶点坐标为，存在a对∀x∈[－2，2]，使得t(x2＋x)≤2ax＋a＋1恒成立． 当t∈(－1，0)时，随着t逐渐增大(提示：二次函数图象的顶点逐渐下移)，总存在a对∀x∈[－2，2]，使得t(x2＋x)≤2ax＋a＋1恒成立． 当t∈(－∞，－1)时，若t逐渐减小(提示：二次函数图象的顶点逐渐上移)，如图(2)，取临界位置，即二次函数图象与直线相切时，二次函数y＝t(x2＋x)的图象过点，此时t＝－4，存在a对∀x∈[－2，2]，使得t(x2＋x)≤2ax＋a＋1恒成立；若t继续减小，如图(3)，则定点在二次函数图象开口的内部，则不存在a对∀x∈[－2，2]，使得t(x2＋x)≤2ax＋a＋1恒成立． 综上，tmin＝(2a＋b)min＝－4. 答案：－4 学科网（北京）股份有限公司 $