1.6 一元二次方程、不等式 练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以问题链驱动二次方程与不等式的系统性复习，融合分类讨论、数形结合等数学思维，构建从概念到应用的完整逻辑体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|单选1-2、多选7|绝对值不等式解法、集合运算|从方程根到不等式解集的概念生成| |参数问题|单选3、5、6，填空9-10|Δ分类讨论、根与系数关系|参数对不等式解集的影响及逻辑推理| |实际应用|解答11|函数建模与最值求解|数学语言表达现实问题的数量关系| |综合拓展|解答12、13-14|恒成立问题转化、函数图象分析|知识迁移与综合应用能力提升|

1.6　一元二次方程、不等式 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·南昌模拟)设x∈R，则“|2x-1|≤x”是“x2+x-2≤0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. (2026·毕节模拟) 已知集合，集合，则（ ） A.  B.  C.  D.  3.(2026·济南模拟)若∃x∈R，mx2+2(m-3)x+4≤0，则实数m的取值范围为(　　) A.(1，9) B.(-∞，0) C.(-∞，1)∪(9，+∞) D.(-∞，1]∪[9，+∞) 4.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P=160-2x，生产x件所需成本为C(元)，其中C=500+30x，若要求每天获利不少于1 300元，则日销量x的取值范围是(　　) A.[20，30] B.[20，45] C.[15，30] D.[15，45] 5.已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值的和是(　　) A.13 B.21 C.26 D.30 6.已知关于x的不等式x2-ax+1<0的解集为{x|x1<x<x2}，其中x1<x2，且+=3，则a等于(　　) A.-1 B.1 C.3 D.-1或3 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.  (2026高一上·丽水期末) 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A.  B. 关于的不等式的解集是 C.  D. 关于的不等式的解集为 8.下列命题正确的是(　　) A.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一个根比1大且另一个根比1小，则实数a的取值范围是(-2，1) B.若关于x的不等式x2-kx+k-1<0在(1，2)上恒成立，则实数k的取值范围是(-∞，3) C.若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1，+∞)，则关于x的不等式>0的解集是{x|x>2或x<-1} D.若+=1(a>0，b>0)，则+的最小值为 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(-3，2)，乙写错了常数c，得到的解集为(-3，4).那么原不等式的解集为　　　　.  10.(2025·南昌模拟)已知p：<0，q：x2-(a+1)x+a<0(a∈R)，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为　　　　　　.  四、解答题(共27分) 11.(10分)(苏教版必修第一册P69习题3.3 T13)如图，某房地产开发公司要在矩形地块ABCD上规划出一块矩形地块PQCR建造住宅区.为了保护文物，住宅区不能超越文物保护区△AEF的界线EF.由实地测量知，AB=200 m，AD=160 m，AE=60 m，AF=40 m.问：怎样设计矩形住宅区的长和宽，才能使其面积最大？最大面积是多少？ 12.(17分)(2025·天津北辰区模拟)已知关于x的不等式(a-1)x2-2bx-2<0的解集为{x|-1<x<2}. (1)求实数a，b的值；(4分) (2)若m≤0，求关于x的不等式amx2+(m-a)x-1≥0的解集；(7分) (3)若对任意实数x∈[1，2]，amx2+(m-a)x-1≥mx恒成立，求实数m的取值范围.(6分) [13题5分，14题6分，共11分] 13.(2025·八省联考)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时，f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，1] B.[-2，1] C.[-1，2] D.[-1，+∞) 14.(多选)(2026·芜湖模拟)已知关于x的一元二次不等式ax2-2ax+b>0的解集为A={x|m<x<n}(其中m<n)，关于x的一元二次不等式ax2-2ax+b>-2的解集为B={x|p<x<q}(其中p<q)，则(　　) A.A∩B=B B.(A∪B)⊆B C.m+n=p+q D.当b<-2时，+的最小值为3 1.6　一元二次方程、不等式 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·南昌模拟)设x∈R，则“|2x-1|≤x”是“x2+x-2≤0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由|2x-1|≤x，得或解得≤x≤1. 由x2+x-2≤0，解得-2≤x≤1， 当≤x≤1时，-2≤x≤1一定成立，反之，不一定成立， 所以“|2x-1|≤x”是“x2+x-2≤0”的充分不必要条件. 2. (2026·毕节模拟) 已知集合，集合，则（ ） A.  B.  C.  D.  答案　B 解析　解：易知集合，，则． 3.(2026·济南模拟)若∃x∈R，mx2+2(m-3)x+4≤0，则实数m的取值范围为(　　) A.(1，9) B.(-∞，0) C.(-∞，1)∪(9，+∞) D.(-∞，1]∪[9，+∞) 答案　D 解析　由题意知，当m=0时，不等式为-3x+2≤0，即x≥，显然-3x+2≤0在R上有解，符合题意； 当m<0时，抛物线y=mx2+2(m-3)x+4的开口向下， 显然mx2+2(m-3)x+4≤0在R上有解，符合题意； 当m>0时，要使mx2+2(m-3)x+4≤0在R上有解， 只需Δ=[2(m-3)]2-4×4×m≥0， 解得m≤1或m≥9， 又m>0，所以0<m≤1或m≥9， 综上，实数m的取值范围是(-∞，1]∪[9，+∞). 4.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P=160-2x，生产x件所需成本为C(元)，其中C=500+30x，若要求每天获利不少于1 300元，则日销量x的取值范围是(　　) A.[20，30] B.[20，45] C.[15，30] D.[15，45] 答案　B 解析　设该厂每天获得的利润为y元， 则y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500(0<x<80). 由题意知-2x2+130x-500≥1 300，即x2-65x+900≤0，解得20≤x≤45， 所以日销量x的取值范围是[20，45]. 5.已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值的和是(　　) A.13 B.21 C.26 D.30 答案　B 解析　设f(x)=x2-6x+a，其图象是开口向上，对称轴为直线x=3的抛物线，如图所示. 若关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数， 则即解得5<a≤8， 又因为a∈Z，所以a=6，7，8，故所有符合条件的a的值的和是6+7+8=21. 6.已知关于x的不等式x2-ax+1<0的解集为{x|x1<x<x2}，其中x1<x2，且+=3，则a等于(　　) A.-1 B.1 C.3 D.-1或3 答案　C 解析　关于x的不等式x2-ax+1<0的解集为{x|x1<x<x2}，且x1<x2，则x1和x2是关于x的方程x2-ax+1=0的两根， 则Δ=a2-4>0，解得a>2或a<-2， 有+1=ax1，+1=ax2，x1+x2=a， +=-2x1+1+-2x2+1=ax1-2x1+ax2-2x2=(a-2)(x1+x2)=a(a-2)=3， 即a2-2a-3=0，解得a=3(a=-1舍去). 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-1，2)，则下列结论正确的是(　　) A.a<0 B.关于x的不等式bx+c>0的解集为(-∞，-2) C.4a-2b+c>0 D.关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集为 答案　ABD 解析　解：A：由关于的不等式的解集为， 知和是方程的两个实根，且，故A正确； 根据根与系数的关系知：，， 所以，，， B：代入，，不等式变为，因，两边除以并变号：解得，故B正确； C：由于，故，故C不正确； D：不等式化简为：，解得：，故D正确. 8.下列命题正确的是(　　) A.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一个根比1大且另一个根比1小，则实数a的取值范围是(-2，1) B.若关于x的不等式x2-kx+k-1<0在(1，2)上恒成立，则实数k的取值范围是(-∞，3) C.若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1，+∞)，则关于x的不等式>0的解集是{x|x>2或x<-1} D.若+=1(a>0，b>0)，则+的最小值为 答案　ACD 解析　对于A，二次函数f(x)=x2+(a2-1)x+a-2的图象开口向上， 若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一个根比1大且另一个根比1小， 则f(1)=1+(a2-1)+a-2=a2+a-2<0，解得-2<a<1，故A正确； 对于B，若关于x的不等式x2-kx+k-1<0在(1，2)上恒成立， 则只需k(x-1)>x2-1，即k>x+1在(1，2)上恒成立即可，则k≥3，故B错误； 对于C，若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1，+∞)，则a>0，a=b， 所以关于x的不等式>0⇔>0⇔x<-1或x>2，故C正确； 对于D，若+=1(a>0，b>0)，则+=1≥2，解得≤，当且仅当a=2，b=4时等号成立， 所以+=-=1-≥1-=，当且仅当a=2，b=4时等号成立，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(-3，2)，乙写错了常数c，得到的解集为(-3，4).那么原不等式的解集为　　　　.  答案　(-2，3) 解析　依题意知，c=-3×2=-6，-b=-3+4=1，即b=-1，因此不等式x2+bx+c<0， 即x2-x-6<0，解得-2<x<3， 所以原不等式的解集为(-2，3). 10.(2025·南昌模拟)已知p：<0，q：x2-(a+1)x+a<0(a∈R)，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为　　　　　　.  答案　[-3，4] 解析　由<0，解得-3<x<4， 即p：-3<x<4，记解集为A=(-3，4)； 记关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0(a∈R)的解集为B， 因为p是q的必要不充分条件，所以BA. 由x2-(a+1)x+a<0(a∈R)， 得(x-1)(x-a)<0， 当a=1时，解集为∅，即B=∅，符合题意； 当a>1时，解得1<x<a，即B=(1，a)，此时要使BA，则1<a≤4； 当a<1时，解得a<x<1，即B=(a，1)，此时要使BA，则-3≤a<1， 综上可得-3≤a≤4， 即实数a的取值范围为[-3，4]. 四、解答题(共27分) 11.(10分)(苏教版必修第一册P69习题3.3 T13)如图，某房地产开发公司要在矩形地块ABCD上规划出一块矩形地块PQCR建造住宅区.为了保护文物，住宅区不能超越文物保护区△AEF的界线EF.由实地测量知，AB=200 m，AD=160 m，AE=60 m，AF=40 m.问：怎样设计矩形住宅区的长和宽，才能使其面积最大？最大面积是多少？ 解　设CR=x m，矩形CRPQ的面积为y m2， 作EN⊥PQ于点N(图略)， 则=，∴EN=， ∴QC=160-=， ∴y=x·=-(x-190)2+， ∴当矩形住宅区的长为x=190 m，宽为= m时，才能使其面积最大，最大面积为 m2. 12.(17分)(2025·天津北辰区模拟)已知关于x的不等式(a-1)x2-2bx-2<0的解集为{x|-1<x<2}. (1)求实数a，b的值；(4分) (2)若m≤0，求关于x的不等式amx2+(m-a)x-1≥0的解集；(7分) (3)若对任意实数x∈[1，2]，amx2+(m-a)x-1≥mx恒成立，求实数m的取值范围.(6分) 解　(1)由题意可得(a-1)x2-2bx-2=0的两根为-1和2， 所以 解得 (2)由(1)知amx2+(m-a)x-1≥0可化为2mx2+(m-2)x-1≥0， 即(2x+1)(mx-1)≥0， 当m=0时，不等式为2x+1≤0，解得x≤-； 当m≠0时，(2x+1)(mx-1)=0的两根为-和. 当m<0时， ①当-=，即m=-2时，(2x+1)(mx-1)≥0的解集为； ②当-<，即m<-2时，(2x+1)(mx-1)≥0的解集为； ③当->，即-2<m<0时，(2x+1)(mx-1)≥0的解集为， 综上，当m=0时，原不等式的解集为； 当m=-2时，原不等式的解集为； 当m<-2时，原不等式的解集为； 当-2<m<0时，原不等式的解集为. (3)由(1)知amx2+(m-a)x-1≥mx可化为2mx2-2x-1≥0， 即m≥+，对任意1≤x≤2恒成立， 令t=，则t∈，可得m≥t2+t， 易知y=t2+t的图象的对称轴为直线t=-1， 则y=t2+t在上单调递增， 所以当t=1时，ymax=， 所以m≥. 所以实数m的取值范围为. [13题5分，14题6分，共11分] 13.(2025·八省联考)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时，f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，1] B.[-2，1] C.[-1，2] D.[-1，+∞) 答案　B 解析　f(x)=x|x-a|-2a2= 若a>2，当2<x<a时，f(x)=-x2+ax-2a2，此时关于x的方程-x2+ax-2a2=0的Δ=a2-4×2a2=-7a2<0， 所以f(x)<0，不符合题意； 若0<a≤2，当x>2时，f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0，解得x>2a， 则2a≤2，即0<a≤1； 若a=0，当x>2时，f(x)=x2>0恒成立，符合题意； 若a<0，当x>2时，f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0，解得x>-a， 则-a≤2，即-2≤a<0. 综上，-2≤a≤1，故实数a的取值范围是[-2，1]. 14.(多选)(2026·芜湖模拟)已知关于x的一元二次不等式ax2-2ax+b>0的解集为A={x|m<x<n}(其中m<n)，关于x的一元二次不等式ax2-2ax+b>-2的解集为B={x|p<x<q}(其中p<q)，则(　　) A.A∩B=B B.(A∪B)⊆B C.m+n=p+q D.当b<-2时，+的最小值为3 答案　BC 解析　因为关于x的一元二次不等式ax2-2ax+b>0的解集为A={x|m<x<n}(其中m<n)， 所以二次函数y1=ax2-2ax+b与x轴有两个交点且a<0，交点坐标分别为(m，0)，(n，0)(m<n)， 又关于x的一元二次不等式ax2-2ax+b>-2的解集为B={x|p<x<q}(其中p<q)， 所以二次函数y2=ax2-2ax+b+2与x轴有两个交点且a<0，交点坐标分别为(p，0)，(q，0)(p<q)， 又二次函数y2=ax2-2ax+b+2的图象是由y1=ax2-2ax+b的图象向上平移2个单位长度得到的， 且y1=ax2-2ax+b的图象开口向下，对称轴为直线x=1， 由于无法确定b的值，故只能得到y1=ax2-2ax+b与y2=ax2-2ax+b+2的大致图象，如图(这里只列出其中一种)， 所以p<m<1<n<q， 则A⊆B，所以A∩B=A，A∪B=B， 所以A∪B=B⊆B，故A错误，B正确； 又m+n=2，p+q=2，所以m+n=p+q，故C正确； 因为p，q为关于x的方程ax2-2ax+b+2=0(a<0)的两根， 所以p+q=2，pq=， 又b<-2，所以b+2<0，所以pq=>0， 所以p>0，q>0， 所以+=+=++1≥2+1=3，当且仅当=，即p=q=1时取等号， 又p<q，所以+>3，故D错误. 学科网（北京）股份有限公司 $