专题1.3 两条直线的平行与垂直（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学两条直线平行与垂直的核心知识点，先通过表格梳理斜率存在与不存在时的平行和垂直判定条件，再结合斜截式、一般式分析位置关系，构建从基础判定到参数求解、方程求法及几何应用的学习支架。 资料以“题型+变式”设计，涵盖7类典型问题，如已知平行求参数、几何图形判定等，通过实例培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（应用意识）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生强化练习，查漏补缺。

专题1.3 两条直线的平行与垂直（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 两条直线平行的判定】 2 【题型2 已知直线平行求参数】 2 【题型3 两条直线垂直的判定】 3 【题型4 已知直线垂直求参数】 3 【题型5 求与已知直线平行的直线方程】 5 【题型6 求与已知直线垂直的直线方程】 5 【题型7 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 6 考点1 两条直线平行、垂直的判定 知识点1 两条直线平行和垂直的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】：判断两条直线是否垂直时：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型1 两条直线平行的判定】 【例1】（25-26高二上·福建泉州·期末）已知直线，则与的位置关系为（    ） A．重合 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【变式1.1】（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【变式1-2】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【变式1.3】（25-26高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【题型2 已知直线平行求参数】 【例2】（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知直线，若，则等于（   ） A．2 B．3 C．2或3 D．6或 【变式2.1】（25-26高二上·广东茂名·期中）已知直线：，：，若，则的值是（    ） A．或 B． C． D． 【变式2.2】（25-26高二上·江苏无锡·期末）直线，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式2.3】（25-26高二上·广西南宁·期末）已知直线与直线平行，则的值为（   ） A．-2 B．1 C．4 D．-2或1 【题型3 两条直线垂直的判定】 【例3】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【变式3.1】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【变式3.2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】（25-26高二上·江西宜春·期末）设直线和直线，则直线与直线的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．以上都不是 【题型4 已知直线垂直求参数】 【例4】（25-26高二上·山东·阶段检测）若直线与互相垂直，则实数（    ） A． B．或0 C．或0 D．0 【变式4.1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线：和直线：，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4.2】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知坐标平面内直线经过、两点，直线经过、两点. (1)若直线，求实数的值； (2)若直线，求实数的值. 【变式4.3】（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知直线经过、两点． (1)求直线的方程； (2)设直线，若，求实数的值． 考点2 两条直线的位置关系 知识点2 两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【题型5 求与已知直线平行的直线方程】 【例5】（25-26高二上·山西朔州·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（25-26高二上·宁夏银川·期末）过点且平行于直线的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【变式5.2】（25-26高二上·云南昆明·期末）经过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5.3】（25-26高二下·上海崇明·期末）求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 【题型6 求与已知直线垂直的直线方程】 【例6】（25-26高二上·贵州铜仁·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（25-26高二上·广东江门·期中）已知直线和点. (1)求经过点，且与直线平行的直线的方程； (2)求经过点，且与直线垂直的直线的方程： 【变式6.3】（25-26高二上·河南安阳·阶段检测）三角形的三个顶点是. (1)求边上的高所在直线的方程. (2)求边的垂直平分线的方程. 【题型7 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例7】（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状. 【变式7.1】（24-25高二·全国·课堂例题）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【变式7.2】（25-26高一下·贵州铜仁·期末）已知的顶点坐标为. (1)试判断的形状： (2)求边上的高所在直线的方程. 【变式7.3】（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 两条直线的平行与垂直（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 两条直线平行的判定】 2 【题型2 已知直线平行求参数】 4 【题型3 两条直线垂直的判定】 5 【题型4 已知直线垂直求参数】 7 【题型5 求与已知直线平行的直线方程】 9 【题型6 求与已知直线垂直的直线方程】 10 【题型7 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 12 考点1 两条直线平行、垂直的判定 知识点1 两条直线平行和垂直的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】：判断两条直线是否垂直时：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型1 两条直线平行的判定】 【例1】（25-26高二上·福建泉州·期末）已知直线，则与的位置关系为（    ） A．重合 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【解题思路】将直线方程化为斜截式方程，根据，即可判断求解. 【解答过程】直线可化为， 所以， ， 直线可化为， 所以，， 因为，， 所以与平行. 故选：B. 【变式1.1】（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【解题思路】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【解答过程】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【解题思路】由两直线的斜率关系判断. 【解答过程】由题意， 所以，且经过不在的点， 所以. 故选：B. 【变式1.3】（25-26高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【答案】(1)； (2)或与重合 【解题思路】（1）由，且A，B，C，D，四点不共线，可判断； （2）由，可判断. 【解答过程】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 【题型2 已知直线平行求参数】 【例2】（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知直线，若，则等于（   ） A．2 B．3 C．2或3 D．6或 【答案】A 【解题思路】根据两直线平行得到方程，再验证并结合充要条件的判定即可得到答案. 【解答过程】若，则，解得或3， 当时，，两直线平行， 当时，，两直线重合， 则时，. 故选：A. 【变式2.1】（25-26高二上·广东茂名·期中）已知直线：，：，若，则的值是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用两条直线的位置关系求解. 【解答过程】因为直线：，：，且， 所以，解得， 故选：D. 【变式2.2】（25-26高二上·江苏无锡·期末）直线，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解题思路】假设，结合平行的性质计算可得，再利用充分条件与必要条件定义即可得解. 【解答过程】若，则，即， 解得或， 当时，，，此时两直线重合，不符合； 当时，，，符合要求； 综上，可得，故“”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式2.3】（25-26高二上·广西南宁·期末）已知直线与直线平行，则的值为（   ） A．-2 B．1 C．4 D．-2或1 【答案】B 【解题思路】根据两直线平行的条件列出方程，求解可得. 【解答过程】因为直线与直线平行， 所以，即，所以，解得或. 当时，；，即与重合； 当时，；，即，与平行. 所以的值为. 故选：B. 【题型3 两条直线垂直的判定】 【例3】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【答案】D 【解题思路】根据判断. 【解答过程】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直. 故选：D. 【变式3.1】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【解题思路】利用两直线的位置关系求解. 【解答过程】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为，而， 所以，所以与垂直， 故选：C. 【变式3.2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求得出直线的斜率，利用两直线垂直的斜率公式对各个选项进行验证即可求解. 【解答过程】直线的斜率为2, 若直线m与直线垂直，则，， 对于A,的斜率为2,不与直线垂直; 对于B,的斜率为2,不与直线垂直; 对于C,的斜率为-1，不与直线垂直； 对于D,的斜率为 ,与直线垂直. 故选:D. 【变式3.3】（25-26高二上·江西宜春·期末）设直线和直线，则直线与直线的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．以上都不是 【答案】C 【解题思路】利用斜率之积为,来判断两直线垂直即可. 【解答过程】由直线的斜率为：， 直线的斜率为， 可得，所以两直线互相垂直. 故选：C. 【题型4 已知直线垂直求参数】 【例4】（25-26高二上·山东·阶段检测）若直线与互相垂直，则实数（    ） A． B．或0 C．或0 D．0 【答案】C 【解题思路】根据互相垂直的两直线的性质进行求解即可. 【解答过程】因为直线与互相垂直， 所以，即，解得或. 故选：C. 【变式4.1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线：和直线：，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】先根据直线垂直计算求出参数，再应用充分必要条件定义判断求解. 【解答过程】直线：和直线：， “”，等价于，解得或. 所以“”可以推出，但“”时未必有 “”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 【变式4.2】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知坐标平面内直线经过、两点，直线经过、两点. (1)若直线，求实数的值； (2)若直线，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据直线平行的条件列出方程，求解即可； （2）分与两种情况，结合直线垂直的条件列出方程，求解即可. 【解答过程】（1），， 因为，所以，解得或. 又因为，且与不能重合，所以，即， 故. （2）当时，，解得； 当时，直线斜率不存在，倾斜角为；而，倾斜角为， 满足，合题意，故或. 【变式4.3】（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知直线经过、两点． (1)求直线的方程； (2)设直线，若，求实数的值． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程； （2）根据直线垂直满足的关系式得到方程，求出实数的值. 【解答过程】（1）直线经过、两点， ， 直线，即：． （2）由，直线，， 得，解得， 即实数的值为． 考点2 两条直线的位置关系 知识点2 两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【题型5 求与已知直线平行的直线方程】 【例5】（25-26高二上·山西朔州·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意设与平行的直线方程为，代入点后即可求得，进而得到直线方程. 【解答过程】设与直线平行的直线方程为， 代入，可得，解得， 故所求直线方程为. 故选：A. 【变式5.1】（25-26高二上·宁夏银川·期末）过点且平行于直线的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设所求直线为，结合点在直线上求参数，即可得. 【解答过程】由题设，令所求直线为， 由点在直线上，则， 所以直线为. 故选：C. 【变式5.2】（25-26高二上·云南昆明·期末）经过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设与直线平行的直线方程为，代入点的坐标，即可求解. 【解答过程】设经过点且与直线平行的直线方程为， 所以，解得，所以直线方程为. 故选：B. 【变式5.3】（25-26高二下·上海崇明·期末）求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出直线斜率，由点斜式即可求得答案； （2）由两直线平行可设直线方程，求出参数，即得答案. 【解答过程】（1）由题意可得直线斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）由题意，可设所求直线方程为，，结合直线经过点， 可得， 则所求直线方程为. 【题型6 求与已知直线垂直的直线方程】 【例6】（25-26高二上·贵州铜仁·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用直线方程垂直的条件求出目标直线斜率，进而得到直线方程即可. 【解答过程】对于直线方程，其斜率为， 而目标直线与垂直，则目标直线斜率为， 则目标直线方程为，化简得，故C正确. 故选：C. 【变式6.1】（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线垂直求出待求直线的斜率，又因为过点，采用点斜式即可求出待求直线方程． 【解答过程】直线化为斜截式为，即斜率为， 设所求直线斜率为，则可得：， 所求直线过点，所以方程为， 化简可得． 故选：A． 【变式6.2】（25-26高二上·广东江门·期中）已知直线和点. (1)求经过点，且与直线平行的直线的方程； (2)求经过点，且与直线垂直的直线的方程： 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得出所求直线的方程. 【解答过程】（1）因为直线和点， 因为所求直线与直线平行，设所求直线的方程为， 将点的坐标代入所求直线的方程，可得，解得， 故所求直线的方程为. （2）因为所求直线与直线垂直，设所求直线的方程为， 将点的坐标代入所求直线的方程，可得，解得， 故所求直线的方程为. 【变式6.3】（25-26高二上·河南安阳·阶段检测）三角形的三个顶点是. (1)求边上的高所在直线的方程. (2)求边的垂直平分线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用两直线垂直求得边上的高所在直线的斜率，结合高线经过点，由点斜式方程即得； （2）利用两直线垂直求得边垂直平分线的斜率，结合的中点，由点斜式方程即得. 【解答过程】（1）边所在的直线的斜率， 因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高经过点，所以边上的高所在的直线方程为，即. （2）由（1）得，边所在直线斜率，所以边垂直平分线的斜率为， 的中点坐标为，所以边的垂直平分线方程，即. 【题型7 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例7】（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状. 【答案】(1) (2)等腰直角三角形. 【解题思路】（1）根据题意，由中点公式求得，结合直线的斜率公式，即可求解； （2）利用直线的斜率公式，分别求得，得到且，得到和，进而得到的形状. 【解答过程】（1）解：因为，，且为的中点， 设，由中点公式得，即， 又因为，可得直线的斜率为. （2）解：因为，，，且， 由斜率公式，可得， 又因为，所以，即，所以为直角三角形， 又由为的中点，且，所以，所以为等腰三角形 所以为等腰直角三角形. 【变式7.1】（24-25高二·全国·课堂例题）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明见解析. 【解题思路】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【解答过程】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 【变式7.2】（25-26高一下·贵州铜仁·期末）已知的顶点坐标为. (1)试判断的形状： (2)求边上的高所在直线的方程. 【答案】(1)直角三角形 (2) 【解题思路】（1）求出，得到，故得到垂直关系，得到三角形形状； （2）由得到边上高线所在直线的斜率，进而由点斜式求出直线方程，得到答案. 【解答过程】（1），， ， ，又，， 为直角三角形 （2）因为， 所以边上高线所在直线的斜率为, 直线的方程是，即. 【变式7.3】（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出线段中点坐标，再利用平行四边形的性质得为线段中点，从而利用中点坐标公式列方程组求解即可； （2）通过直线垂直求出高线的斜率，代入点斜式直线公式求解即可. 【解答过程】（1）设线段中点为，则点坐标为， 设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点，有， 解得，所以；    （2）因为直线的斜率为， 所以边上的高线所在直线的斜率为， 又，故边上的高线所在直线的方程为， 即为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $