第22讲 三角函数的图象与性质（十大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

第22讲 三角函数的图象与性质（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 三角函数的图象与性质 前面给出了三角函数的定义，如何从定义出发研究这个函数呢?类比已有的研究方法，可以先画出函数图象，通过观察图象的特征，获得函数性质的一些结论. 我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式 sin(x±2π)=sin x，cos(x±2π)=cos x 来表示.这说明，自变量每增加(减少)2π，正弦函数值、余弦函数值将重复出现.利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程. 【知识点1 三角函数的图象与性质】 1．正弦函数与余弦函数的图象 (1)正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，如图所示. ②五点法 观察图，在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0)，，(π,0)，，(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. (2)余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=cosx,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=cosx在[0,2π]上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1)，，(π,-1)，，(2π,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=cosx在[0,2π]上的简图，再通过左右平移(每次移动2π个单位长度)即可得到余弦函数y=cosx,x∈R的图象. (3)正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线. 2．正弦函数与余弦函数的性质 (1)周期函数 ①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. (2)正弦函数与余弦函数的性质 正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=sinx y=cosx 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 3．正弦型函数y=Asin(ωx+φ)及余弦型函数y=Acos(ωx+φ)的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 4．正切函数的性质与图象 (1)正切函数的图象及性质 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 (2)三点两线法作正切曲线的简图 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点，(0,0)，；“两线”是指直线和.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间上的简图. 【题型1 五点法画正弦、余弦函数的图象】 【例1】（25-26高一上·全国·周测）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 【答案】D 【解题思路】用五点法作三角函数的图，五个点的横坐标分别为，求出值. 【解答过程】由“五点法”作图知，令， 解得，即为五个关键点的横坐标. 故选：D． 【变式1-1】（2026高一·全国·专题练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据五点作图法结合余弦函数的图象即可得解. 【解答过程】由“五点法”作图知：令，，，，， 解得，即为五个关键点的横坐标. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高一·全国·课堂例题）用“五点法”画出下列函数的简图： (1)，； (2)，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【解题思路】（1）（2）先列表，再描点，然后连线即可 【解答过程】（1）按五个关键点列表： 0 0 1 0 0 1 2 1 0 1 描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图，    （2）按五个关键点列表： 0 1 0 0 1 2 0 0 2 描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图．    【变式1-3】（25-26高一上·上海·随堂练习）请用“五点法”作出下列函数在区间的图象： (1)； (2). 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析. 【解题思路】（1）（2）先用列表，然后五点法画出函数的图，然后再利用偶函数的对称性，画出的完整的图即可. 【解答过程】（1）列表如下： 0 1 0 -1 0 1 0 -1 -2 -1 0 描点连线，画出函数的图，如下图所示： 因为是偶函数，利用函数的奇偶性画出的完整的图，如下图所示： （2）列表如下： 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 -1 0 描点连线，画出函数的图，如下图所示： 因为是偶函数，利用函数的奇偶性画出的完整的图，如下图所示： 【题型2 正、余弦函数图象的识别及应用】 【例2】（25-26高一上·湖南长沙·期末）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数的奇偶性排除D；根据时，由的取值情况排除A，B. 【解答过程】，其定义域为. 对于任意. 所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除D选项； 当时，，所以，则； 当时，，所以，则，故排除B选项； 当时，，所以排除选项A. 故选：C. 【变式2-1】（2026·广东广州·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】当时，画出曲线与的图象即可得解. 【解答过程】当时，曲线与的图象如图所示， 由图可知，当时，曲线与的交点个数为4. 故选：B. 【变式2-2】（25-26高一下·江西上饶·期中）图中的曲线对应的函数解析式是（  ）      A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】判断各选项中函数的函数值符号以及奇偶性，可得出合适的选项. 【解答过程】对于A选项，当时，，A选项不满足条件； 对于B选项，当时，，，B选项不满足条件； 对于C选项，令，该函数的定义域为，， 故函数为偶函数，当时，，由三角函数图象可知，C选项满足条件； 对于D选项，当时，，D选项不满足条件. 故选：C. 【变式2-3】（25-26高三上·福建宁德·期中）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据函数在时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【解答过程】函数，令，解得且， 所以的定义域为， 又， 所以为奇函数，则函数图像关于原点对称，故排除B、D； 当时，，，，所以，故排除C. 故选：A. 【题型3 三角函数的定义域、值域与最值】 【例3】（25-26高一上·安徽·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据，可得，再结合正弦函数的图象求解即可. 【解答过程】由，得， 则. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高一上·天津·阶段检测）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意，结合正切函数的定义域，代入求解即可得答案. 【解答过程】由题意得， 则，解得. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高一上·天津武清·阶段检测）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解题思路】根据三角函数的最小正周期为，求出值，从而得到的解析式，再根据自变量所在区间和正弦函数的单调性判断即可. 【解答过程】因为函数的最小正周期为，所以周期，解得， 所以，因为，所以， 所以当，即时，函数在区间上取得最小值. 故选：D. 【变式3-3】（25-26高一下·广西桂林·阶段检测）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由，令，转化为二次函数求解. 【解答过程】， 令，由，得，变为． 该二次函数开口向下，对称轴，在递增，递减． 当时，时，，所以值域为. 故选：C. 【题型4 由三角函数的值域（最值）求参数】 【例4】（25-26高三上·山西·期末）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出的范围，由条件结合正弦函数的图象列不等式求结论. 【解答过程】因为，所以时，则有， 因为在区间内有最大值，但无最小值， 结合函数图象，得 ，解得. 故选：D. 【变式4-1】（25-26高一下·湖北·阶段检测）若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据角的范围得出，再结合正弦函数的值域列不等式计算求参. 【解答过程】当时，，且值域为， 所以，则. 故选：B. 【变式4-2】（25-26高三上·广东深圳·期末）若函数在有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，求出相位的范围，再利用余弦函数的性质列出不等式求解即得. 【解答过程】当时，， 由函数在有最小值，没有最大值， 得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 【变式4-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由求出，结合周期可得答案. 【解答过程】函数的最小正周期，由题可得， 分别在同一周期内取得最小值的自变量的两侧，且， ， 由得，解得， 由得，或 解得，或， 因为，若，则，所以； 若，则，所以，即的取值范围是． 故选：C. 模块三 三角函数的单调性、周期性、对称性与奇偶性 【知识点2 三角函数的单调性、周期性、对称性与奇偶性】 1．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 3．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 4．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可. 5．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0， 若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). 【题型5 求三角函数的单调区间】 【例5】（25-26高一上·全国·随堂练习）函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】利用诱导公式可得，结合正弦函数的单调区间分析求解. 【解答过程】因为， 且的单调递增区间为，， 所以函数的单调递减区间为，. 故选：C． 【变式5-1】（25-26高三·全国·一轮复习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据整体代换法求单调区间即可求解. 【解答过程】因为，令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为． 故选：B. 【变式5-2】（25-26高一上·江苏苏州·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的周期性、单调性确定正确选项. 【解答过程】的最小正周期是，不符合题意. 在区间上单调递增，不符合题意. 对于，， 所以在区间上单调递增，不符合题意. 对于，画出图象如下图所示，由图可知的最小正周期为， 且在区间上单调递减，B选项正确. 故选：B. 【变式5-3】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）在下列区间中是函数的一个递增区间的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用余弦函数的性质逐一判断即可. 【解答过程】依题意，函数； 由，，得，， 所以函数的单调递增区间是； 当时，，又，所以函数在单调递增，故B正确； 函数在，上单调递减，在上不单调，故ACD均错误. 故选：B. 【题型6 根据三角函数的单调性求参数】 【例6】（25-26高一下·江苏苏州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】正体代入利用正弦函数的单调性结合题意计算可得. 【解答过程】由，可得， 由题意可得，解得， 因为，所以，所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式6-1】（25-26高三上·河北衡水·期中）已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由，得到，结合正切函数的性质，求得，即可得到答案. 【解答过程】由函数，因为，可得， 又因为在上单调递增，可得， 解得， 因为，所以，可得，所以的最大值为． 故选：B． 【变式6-2】（25-26高一下·安徽·期中）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据余弦函数的单调递减区间，利用整体代换的方法求解即可. 【解答过程】因为，，所以， 又因为函数在区间上单调递减， 所以，,即， 故当时，. 故选：A. 【变式6-3】（2026·四川泸州·一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用整体法，结合三角函数图象性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析，得到 ，其中，求得，进而求得的取值范围． 【解答过程】因为，当时，， 因为函数在上存在最值，则，解得， 当时，， 因为函数在上单调， 则， 所以其中，解得， 所以，解得， 又因为，则， 当时，；当时，；当时，． 又因为，所以的取值范围是. 故选：C. 【题型7 三角函数的奇偶性与对称性问题】 【例7】（25-26高一下·四川眉山·期末）函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用余弦函数的对称中心求出函数的对称中心，再逐一检验各选项即得. 【解答过程】由，可得， 即函数的对称中心为， 结合各选项，可知仅满足题意，故B正确，A，C，D均错误. 故选：B. 【变式7-1】（25-26高一上·全国·课后作业）函数图象为上的奇函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数奇偶性得到方程，求出，从而得到答案. 【解答过程】因为函数为上的奇函数， 所以， 即， 当时，，其他选项均不正确.. 故选：B. 【变式7-2】（25-26高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【答案】B 【解题思路】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答. 【解答过程】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确； 对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确； 对于C，， 令，，，所以不是奇函数，C不正确； 对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确. 故选：B. 【变式7-3】（25-26高一下·重庆·期末）已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】C 【解题思路】由题意结合可得，进一步由可得，，由于要求的最大值，依次分，两种情况讨论即可. 【解答过程】函数的最小正周期为，则，在区间上恰好存在两条对称轴， ，所以，即，解得， 因为，所以点是函数图象的一个对称中心， 则，得，，即，， 因，则，且随k的增大而增大， 当时，，此时在内有三条对称轴，不合题意， 当时，，此时，其中，有两条对称轴， 则的最大值为8． 故选：C． 【题型8 三角函数的周期性问题】 【例8】（25-26高一下·全国·期中）下列函数，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对于A、B直接由正弦函数的周期公式求出即可判断；对于C、D求出不带绝对值的函数的周期，再减半，即可判断. 【解答过程】函数的最小正周期为，故A不符合； 函数，其最小正周期为，故B不符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故D不符合. 故选：C. 【变式8-1】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）函数的最小正周期是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解题思路】根据正切型函数的周期性求解最小正周期即可. 【解答过程】函数的最小正周期是. 故选：C. 【变式8-2】（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知函数的最小正周期为，其中，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【解题思路】利用余弦型函数的周期公式计算即得. 【解答过程】依题意，，因，则得. 故选：B. 【变式8-3】（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对于AD，根据图象变换和周期公式分析判断，对于BC，根据周期公式分析判断. 【解答过程】对于A，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 则最小正周期为，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，的最小正周期为，故C错误； 对于D，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 则最小正周期为，故D正确． 故选：D． 【题型9 三角函数的零点问题】 【例9】（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可. 【解答过程】因为，，所以， 又在区间上恰有个零点，所以，解得， 即的取值范围为. 故选：C. 【变式9-1】（25-26高一下·江苏徐州·期中）函数在区间内的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解题思路】由直接求解在内的零点即可. 【解答过程】由，得， 解得， 由，得， 因为，所以， 所以区间内的零点个数为4. 故选：C. 【变式9-2】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知函数（）在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意，利用正弦函数的零点和单调性求出的取值范围 【解答过程】当，， 函数（）在上单调递增， 所以，所以 当，， 且， 在上有且仅有1个零点， 所以或， 所以或， 综上的取值范围为， 故选：C. 【变式9-3】（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换元，将原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，使得，继而数形结合，列出符合题意的不等式，求得答案. 【解答过程】令，则，令，则， 则原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t， 使得，求的取值范围； 作出和的图象，如图： 结合图象可知满足条件的最短区间的长度为， 最长区间的长度为， 故得，解得，即， 故选：B. 【题型10 三角函数的图象与性质的综合应用】 【例10】（25-26高一下·辽宁·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C． D．在上单调递减 【答案】D 【解题思路】利用代入检验法可判断ABC的正误，根据正弦函数的单调性结合同增异减可判断D的正误. 【解答过程】对于A，由题意可得，故不是奇函数，则A错误. 对于B，因为， 所以的图象不关于直线对称，故B错误. 对于C，若，则图象的对称中心为， 而，故不是函数图象的对称中心，故C错误； 对于D，由，得， 而在上为减函数，故在上单调递减，故D正确. 故选：D. 【变式10-1】（2026·四川泸州·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为1 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】D 【解题思路】对于A：根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解即可；对于B：利用诱导公式整理可得，进而判断奇偶性；对于C：根据对称轴与函数最值之间的关系分析判断；对于D：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断. 【解答过程】因为函数， 对于选项A：的最小正周期为，故A错误； 对于选项B：为奇函数，故B错误； 对于选项C：因为，不为最值， 所以的图象不关于直线对称，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且正弦函数在内单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 【变式10-2】（25-26高一上·四川凉山·期末）设函数，. (1)求函数的最小正周期及对称轴、对称中心； (2)求函数在区间上的值域； (3)已知，求的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，对称轴为直线，对称中心为. (2) (3) 【解题思路】（1）由正弦型函数的周期公式可得出函数的最小正周期，利用正弦型函数的对称性可求出函数的对称轴和对称中心坐标； （2）由求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得在区间上的值域； （3）由可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】（1）函数的最小正周期为， 由可得，故函数的对称轴为直线， 由可得，故函数的对称中心为. （2）当时，，所以， 故函数在区间上的值域为. （3）由可得， 解得， 所以的取值范围是. 【变式10-3】（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）已知函数的最小正周期为，且的图象关于直线对称. (1)求的解析式； (2)求在上的单调递减区间； (3)求在上的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据正弦函数的最小正周期和对称轴求解即可. （2）根据正弦函数的单调性求解计算即可. （3）根据正弦函数的值域求解即可. 【解答过程】（1）因为函数的最小正周期为， 所以，解得，所以. 由于函数关于对称， 所以，解得 又，所以令，得. 所以. （2）由（1）知，. 当时，函数单调递减， 此时. 当时，；当时，； 所以在上的单调递减区间为. （3）由（1）知，. 因为，所以. 所以，所以. 所以在上的值域为. 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·云南昭通·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】直接利用三角函数的周期公式求解即可 【解答过程】由题意， 故选：B． 2．（25-26高一上·浙江湖州·期末）下列选项中满足最小正周期为，且在上单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据周期公式及三角函数的单调性，逐一分析各个选项，即可得答案. 【解答过程】选项A：的最小正周期为，故A错误； 选项B：的最小正周期，当，， 由正弦函数的性质可得，在单调递增，故B错误； 选项C：的最小正周期为，且在上单调递增，故C错误； 选项D：的最小正周期为， 由B项得在单调递减，故D正确. 故选：D. 3．（25-26高一下·江西·期中）当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解题思路】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可. 【解答过程】与在上的函数图象如图所示， 由图象可知，两个函数图象交点的个数为4个. 故选：B. 4．（25-26高一上·河北石家庄·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由正弦和正切函数在单调性判断即可. 【解答过程】根据题意可知，，， 根据诱导公式，则，函数在上单调递增， 故，在上单调递增， 则，故. 故选：B. 5．（25-26高一上·河北·期末）函数在上的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数奇偶性和特值进行排除. 【解答过程】，所以是偶函数， 的图象关于轴对称，排除A，B． ，排除D，所以只有C正确． 故选：C． 6．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令，作出的图象，数形结合可得答案. 【解答过程】令，由，得：， 原题转化为在上的值域为， 作出的图象， 由，结合图象， 可得：， 解得：. 故选：C. 7．（25-26高一上·陕西商洛·期末）记函数，的最小正周期为．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【解题思路】根据周期公式及条件，可得范围，根据余弦函数的对称性，可得的表达式，即可得值，进而可得解析式，代入数据，即可得答案. 【解答过程】因为，所以，解得， 因为的图象关于点中心对称， 所以，且，所以， 解得，令，得， 所以， 所以． 故选：B. 8．（25-26高一上·山西忻州·期末）已知函数在区间上单调，且满足，若函数在上有且仅有4个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据得到，再由函数在区间上单调得到，最后根据函数在上有且仅有4个零点，即可求出. 【解答过程】且， 故函数关于对称，且函数在取得最值， 又函数在区间上单调，， 令，则 ，当时， 函数在上有且仅有4个零点，且 ，即 把代入得， 综上，的取值范围为. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高一上·山西太原·期末）下列函数中，最小正周期为的偶函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的图象性质逐项判断得解. 【解答过程】对于A，函数是偶函数，且最小正周期为，A是； 对于B，函数是偶函数，且最小正周期为，B是； 对于C，函数不具有周期性，C不是； 对于D，函数是偶函数，且最小正周期为，D是. 故选：ABD. 10．（25-26高一上·山西长治·期末）设函数，则（   ） A．的最小正周期为 B． C．图像的对称中心为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【解题思路】根据正切函数周期性可判断A的正误；直接代入计算可判断B的正误；根据正切函数的对称性，整体代入求解，可判断C的正误；利用正切函数单调性解不等式，可判断D的正误. 【解答过程】选项A：最小正周期为，A错误. 选项B：，B正确. 选项C：正切函数的对称中心为. 令，，解得，. 所以的对称中心为， 又图像可由向上平移1个单位长度得到， 所以图像的对称中心为，C正确. 选项D：，，所以. 结合正切函数的性质可得，，. 解得，， 所以不等式的解集为，D正确. 故选：BCD. 11．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最小正周期为 C． D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解题思路】利用图象求出函数的解析式，可判断AB选项；代值计算可判断C选项；利用正弦型函数的对称性可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，由题意可得，A对； 对于B选项，函数的最小正周期为，B对； 对于C选项，由题意可得，则， 因为，则， 所以，可得， 又因为，所以，则， 故，C错； 对于D选项，因为 ， 故函数的图象关于直线对称，D对. 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高一上·广东湛江·期末）函数的定义域为___________． 【答案】 【解题思路】由列式求解即可. 【解答过程】由题知， 解得． 即函数的定义域为， 故答案为：. 13．（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知函数的图象关于点对称，则的值为__________. 【答案】 【解题思路】根据正弦函数的对称性结合整体思想求解即可. 【解答过程】因为函数的图象关于点对称， 所以， 所以，所以， 又，所以. 故答案为：. 14．（25-26高一上·江苏·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】设的最小正周期为，则，从而求出的大致范围，再由的范围求出的范围，确定左端点的范围，即可得到不等式组，解得即可. 【解答过程】因为函数在上单调递增， 设的最小正周期为，则，即，即，解得， 当，则， 又，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知函数．    (1)请用“五点法”画出函数在上的图像（先列表，再画图）； (2)求的解集． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）直接用“描点法”作出函数图像； （2）根据正弦函数的性质来计算的解集． 【解答过程】（1）列表如下： x 1 0 2 3 1 在平面直角坐标系中描点，再连线，得在上的图像如图所示．    （2）由题意可知， 由，得， 化简得， 由正弦函数的性质可知，的解为 ，， 令， 则， 解得，， 故不等式的解集为. 16．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数． (1)求的定义域及图象的对称中心； (2)求使不等式成立的的取值集合． 【答案】(1)定义域为，； (2). 【解题思路】（1）应用正切函数的定义域及对称中心计算求解； （2）应用正切函数值域计算求解. 【解答过程】（1）令，， 解得，， 故的定义域为． 令，解得， 故图象的对称中心为． （2）不等式，即，则， 可得，， 解得，， 不等式的解集为． 17．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为 【解题思路】（1）由图象得到，由，解得，由以及，得到即可求解； （2）由正弦函数的图像与性质直接求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以． 由图可得，则． 因为，所以． 由， 结合图象可得，即 ． 因为，所以． 故． （2）令，解得． 令，解得． 故的单调递减区间为， 单调递增区间为 18．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知． (1)求函数的对称轴和对称中心； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若函数在区间的值域为，求实数a的取值范围． 【答案】(1)函数的对称轴为直线，对称中心为. (2) (3) 【解题思路】（1）先确定函数的最小正周期，求出，然后利用整体代换法可求对称轴和对称中心公式求出即可. （2）根据正弦函数的单调性求解即可. （3）根据正弦函数的值域和图象进行求解即可. 【解答过程】（1）令，得. 所以函数的对称轴为直线； 令，得. 所以函数的对称中心为. （2）令，解得. 又，所以函数的单调递增区间为，. （3）因为，所以， 因为函数在区间上的值域为， 所以在区间上的值域为， 在区间上的值域为， 所以结合正弦函数的图象可得，解得. 所以实数的取值范围为. 19．（25-26高一上·吉林长春·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期以及单调递增区间； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围与的值． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）最小正周期为．令，解不等式即可得单调增区间； （2）令，将题目转化为与在内的图象有两个交点，结合图象可得，即，即可求得答案. 【解答过程】（1）由可得函数的最小正周期为． 令，解得， 所以的单调递增区间为． （2）因为，所以令，在内的图象如图所示．    令，可得，即， 若函数有两个零点， 则与在内的图象有两个交点， 结合图象可得，即， 所以实数的取值范围为． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22讲 三角函数的图象与性质（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 三角函数的图象与性质 前面给出了三角函数的定义，如何从定义出发研究这个函数呢?类比已有的研究方法，可以先画出函数图象，通过观察图象的特征，获得函数性质的一些结论. 我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式 sin(x±2π)=sin x，cos(x±2π)=cos x 来表示.这说明，自变量每增加(减少)2π，正弦函数值、余弦函数值将重复出现.利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程. 【知识点1 三角函数的图象与性质】 1．正弦函数与余弦函数的图象 (1)正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，如图所示. ②五点法 观察图，在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0)，，(π,0)，，(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. (2)余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=cosx,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=cosx在[0,2π]上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1)，，(π,-1)，，(2π,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=cosx在[0,2π]上的简图，再通过左右平移(每次移动2π个单位长度)即可得到余弦函数y=cosx,x∈R的图象. (3)正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线. 2．正弦函数与余弦函数的性质 (1)周期函数 ①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. (2)正弦函数与余弦函数的性质 正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=sinx y=cosx 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 3．正弦型函数y=Asin(ωx+φ)及余弦型函数y=Acos(ωx+φ)的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 4．正切函数的性质与图象 (1)正切函数的图象及性质 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 (2)三点两线法作正切曲线的简图 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点，(0,0)，；“两线”是指直线和.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间上的简图. 【题型1 五点法画正弦、余弦函数的图象】 【例1】（25-26高一上·全国·周测）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 【变式1-1】（2026高一·全国·专题练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一·全国·课堂例题）用“五点法”画出下列函数的简图： (1)，； (2)，． 【变式1-3】（25-26高一上·上海·随堂练习）请用“五点法”作出下列函数在区间的图象： (1)； (2). 【题型2 正、余弦函数图象的识别及应用】 【例2】（25-26高一上·湖南长沙·期末）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·广东广州·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-2】（25-26高一下·江西上饶·期中）图中的曲线对应的函数解析式是（  ）      A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高三上·福建宁德·期中）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【题型3 三角函数的定义域、值域与最值】 【例3】（25-26高一上·安徽·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·天津·阶段检测）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·天津武清·阶段检测）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 【变式3-3】（25-26高一下·广西桂林·阶段检测）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【题型4 由三角函数的值域（最值）求参数】 【例4】（25-26高三上·山西·期末）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一下·湖北·阶段检测）若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高三上·广东深圳·期末）若函数在有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 模块三 三角函数的单调性、周期性、对称性与奇偶性 【知识点2 三角函数的单调性、周期性、对称性与奇偶性】 1．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 3．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 4．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可. 5．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0， 若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). 【题型5 求三角函数的单调区间】 【例5】（25-26高一上·全国·随堂练习）函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-1】（25-26高三·全国·一轮复习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·江苏苏州·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）在下列区间中是函数的一个递增区间的是（   ） A． B． C． D． 【题型6 根据三角函数的单调性求参数】 【例6】（25-26高一下·江苏苏州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高三上·河北衡水·期中）已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一下·安徽·期中）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·四川泸州·一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型7 三角函数的奇偶性与对称性问题】 【例7】（25-26高一下·四川眉山·期末）函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·全国·课后作业）函数图象为上的奇函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【变式7-3】（25-26高一下·重庆·期末）已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【题型8 三角函数的周期性问题】 【例8】（25-26高一下·全国·期中）下列函数，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）函数的最小正周期是（   ） A． B． C．2 D．4 【变式8-2】（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知函数的最小正周期为，其中，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式8-3】（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 【题型9 三角函数的零点问题】 【例9】（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一下·江苏徐州·期中）函数在区间内的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式9-2】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知函数（）在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型10 三角函数的图象与性质的综合应用】 【例10】（25-26高一下·辽宁·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C． D．在上单调递减 【变式10-1】（2026·四川泸州·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为1 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【变式10-2】（25-26高一上·四川凉山·期末）设函数，. (1)求函数的最小正周期及对称轴、对称中心； (2)求函数在区间上的值域； (3)已知，求的取值范围． 【变式10-3】（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）已知函数的最小正周期为，且的图象关于直线对称. (1)求的解析式； (2)求在上的单调递减区间； (3)求在上的值域. 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·云南昭通·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江湖州·期末）下列选项中满足最小正周期为，且在上单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江西·期中）当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．（25-26高一上·河北石家庄·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河北·期末）函数在上的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·陕西商洛·期末）记函数，的最小正周期为．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 8．（25-26高一上·山西忻州·期末）已知函数在区间上单调，且满足，若函数在上有且仅有4个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·山西太原·期末）下列函数中，最小正周期为的偶函数的有（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·山西长治·期末）设函数，则（   ） A．的最小正周期为 B． C．图像的对称中心为 D．不等式的解集为 11．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最小正周期为 C． D．的图象关于直线对称 三、填空题 12．（25-26高一上·广东湛江·期末）函数的定义域为___________． 13．（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知函数的图象关于点对称，则的值为__________. 14．（25-26高一上·江苏·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 15．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知函数．    (1)请用“五点法”画出函数在上的图像（先列表，再画图）； (2)求的解集． 16．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数． (1)求的定义域及图象的对称中心； (2)求使不等式成立的的取值集合． 17．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求的单调区间． 18．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知． (1)求函数的对称轴和对称中心； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若函数在区间的值域为，求实数a的取值范围． 19．（25-26高一上·吉林长春·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期以及单调递增区间； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围与的值． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $