第20讲 三角函数的概念（九大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

第20讲 三角函数的概念（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 三角函数的概念 在弧度制下，我们已经将角的范围扩展到全体实数.下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题.不失一般性，先研究单位圆上点的运动.现在的任务是： 如图5.2-1，单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况. 【知识点1 三角函数的概念】 1．任意角的三角函数 (1)利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切函数，记作tanα，即(x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 (2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离 为r.则，，. 2．三角函数的定义域和函数值的符号 (1)三角函数的定义域 三角函数 定义域 sinα cosα tanα (2)三角函数值在各象限的符号 由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知 ①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号； ②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号； ③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负. 因此，正弦函数(sinα)、余弦函数(cosα)、正切函数(tanα)的值在各个象限内的符号如图所示. 3．诱导公式一 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等. 由此得到一组公式(公式一)： ； ； . 【题型1 任意角的三角函数的定义及应用】 【例1】（25-26高一上·山西太原·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，点在的终边上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据任意角三角函数值的定义运算求解即可. 【解答过程】因为角的终边经过点， 所以 故选：A. 【变式1-1】（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边经过，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据任意角正弦的定义可得. 【解答过程】由题可知，， 所以，解得. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由角终边经过的点坐标即可求得，进而可求的值. 【解答过程】因为角的终边经过点， 则，， 则 故选：D. 【变式1-3】（25-26高一上·天津和平·期末）若角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，它的终边上一点坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用三角函数定义进行求解即可. 【解答过程】因为， 所以，， 因此. 故选：A. 【题型2 由单位圆求三角函数值】 【例2】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由条件确定，结合三角函数定义即可求解. 【解答过程】因为点在第三象限，则， 又点在单位圆上则，解得：， 所以 ， 故选：C. 【变式2-1】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由三角函数定义求出，相减即得． 【解答过程】角终边与单位圆交于点，则，. . 故选：A. 【变式2-2】（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意有求参数y，再由正弦函数的定义求. 【解答过程】由题意，且，解得， 所以. 故选：D. 【变式2-3】（25-26高一下·四川成都·期中）已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据三角函数的定义求出的三角函数值，再逐一判断即可. 【解答过程】因为角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点， 所以， 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 【题型3 三角函数值在各象限的符号】 【例3】（25-26高一上·湖北武汉·期末）若是第四象限角，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解题思路】根据，即可求解. 【解答过程】由于是第四象限角，故， 故在第三象限， 故选：C. 【变式3-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）若，则为（    ） A．第一、四象限的角 B．第二、三象限的角 C．第一、三象限的角 D．第二、四象限的角 【答案】A 【解题思路】利用三角函数与象限角的符号关系，就可以作出判断. 【解答过程】由可知，同号， 所以为第一象限的角和第四象限的角， 故选：A. 【变式3-2】（2026高一上·河南安阳·专题练习）若，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】利用三角函数的定义即可解答． 【解答过程】要使，必须，，即，，所以是第二象限角. 故选：B. 【变式3-3】（25-26高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知，且，则为（    ） A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第二或四象限角 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，结合同角公式，由正余弦值的符号判断角所在象限即可推理得解. 【解答过程】由，得，则且，又， 因此且，是第二象限角，即， 则，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角， 所以是第一或三象限角. 故选：C. 【题型4 诱导公式一的应用】 【例4】（25-26高一上·福建莆田·期末）等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用诱导公式求解即可. 【解答过程】. 故选：B. 【变式4-1】（2026高二上·黑龙江·学业考试）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据诱导公式计算即可. 【解答过程】因为，则. 故选：B. 【变式4-2】（2026高一上·吉林长春·专题练习）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据诱导公式和特殊角的函数值得到答案. 【解答过程】. 故选：A. 【变式4-3】（25-26高一上·广西南宁·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用诱导公式化简求值即可. 【解答过程】由诱导公式得， ，故A正确. 故选：A. 模块三 同角三角函数的基本关系 【知识点2 同角三角函数的基本关系】 1．同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. 2．基本关系式的变形公式 (1)； (2). 【题型5 同角三角函数的基本关系】 【例5】（25-26高三上·山东济宁·期中）已知且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据的取值范围，判断的符号，再利用平方关系求值. 【解答过程】因为，所以 ， 又 ， 所以. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一上·宁夏·阶段检测）已知且是第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据同角三角函数关系得，进而得. 【解答过程】因为，， 所以， 因为是第三象限角， 所以， 所以. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由平方关系先求出，结合的范围判断正弦值余弦值的符号，从而求解. 【解答过程】因， 则， 又时，，故是第四象限角，则. 则. 故选：A. 【变式5-3】（25-26高一上·江苏淮安·期末）已知关于x的一元二次方程的两根为sinα，cosα，则m的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由根与系数的关系可得，，由同角三角函数的性质可得m的值． 【解答过程】关于x的一元二次方程的两根为 ，可得m， 又由韦达定理可得 所以 解得即m． 故选：C． 【题型6 已知弦（切）求切（弦）】 【例6】（25-26高一上·四川成都·期末）已知，且是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知及同角三角函数的关系求正切值. 【解答过程】由，且是第二象限角，则，故. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高一上·广东江门·期末）若是第三象限角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据已知条件求出，进而求得正切值. 【解答过程】因为，， 所以，化简得， 解得或，又是第三象限角， 所以，进而得到. 所以. 故选：D. 【变式6-2】（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据同角三角函数的关系求解可得，即可. 【解答过程】因为，故，即，即， 因为，故，. 故. 故选：C. 【变式6-3】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据已知条件利用完全平方公式以及同角三角函数关系式平方和为1求出的值，再结合，解得即可得出的值. 【解答过程】， ， ， ， 从而， ，可得， ，则且， ，与联解， 可得， 因此. 故选：B. 【题型7 正、余弦齐次式的计算】 【例7】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据齐次转化得，再解方程即可． 【解答过程】解：， 即， 解得． 故选：D． 【变式7-1】（25-26高一上·福建泉州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可求解. 【解答过程】题目已知，将分子分母同时除以（）， 则：. 故选：D. 【变式7-2】（25-26高一上·河南安阳·期中）已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据同角三角函数的基本关系，利用弦化切求解即可. 【解答过程】因为，所以. 故选：D. 【变式7-3】（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用弦化切可求出的值，再将所求代数式化为，代入即可得出所求代数式的值. 【解答过程】因为，所以， 可得. 故选：A. 【题型8 三角函数式的化简、求值】 【例8】（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）若，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意得出，，结合同角三角函数的平方关系可化简所求代数式. 【解答过程】因为，则，， 所以， . 故选：A. 【变式8-1】（25-26高一上·山西吕梁·期末）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】将化成，再结合化简即可. 【解答过程】原式， 因为，则，所以上式. 故选：A. 【变式8-2】（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）化简下列各式： (1)； (2)，其中为第二象限角. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）原式化简为完全平方式，再根据同角三角函数的基本关系和角的取值范围，即可化简求出原式的值． （2）根据同角三角函数的基本关系和完全平方式，原式化简可以得到，又因为为第二象限角，可以求出的取值范围，即可得到所求结果． 【解答过程】（1）原式； （2）因为为第二象限角，所以， 原式. 【变式8-3】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知为第一象限角，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用已知正切值及为第一象限角，把原式中正弦、余弦化为正切，从而求解； （2）利用正切得出正、余弦的关系，再利用及为第一象限角，求出正弦和余弦值，进而计算求解． 【解答过程】（1），为第一象限角，则， ． （2） ， ， 又，， 为第一象限角， ，， ． 【题型9 三角恒等式的证明】 【例9】（25-26高一上·甘肃兰州·期末）求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用平方关系和商关系可证结论； （2）利用平方关系可证结论. 【解答过程】（1）证明：左边= =右边. （2）证明：左边= =右边. 【变式9-1】（25-26高一下·全国·阶段检测）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）从左向右证明，利用代换后进行弦化切证明即可； （2）将两边切化弦，计算得到左边，右边，即可求证. 【解答过程】（1）左边 右边．故原式成立． （2）因为左边 右边，左边＝右边，所以原式成立． 【变式9-2】（25-26高一上·江苏·单元测试）证明下列恒等式： （1）； （2）. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用同角三角函数的平方关系即可证明. （2）利用同角三角函数的平方关系、商的关系即可证明. 【解答过程】（1），即证. （2） ，即证. 【变式9-3】（25-26高一·全国·课后作业）求证： (1)＝； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）将左边化为，进而结合同角三角函数的平方关系进行证明； （2）用立方和公式与完全平方公式并结合同角三角函数的平方关系将式子化简. 【解答过程】（1）左边= =右边. （2）左边= =右边. 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·山东泰安·期末）已知角的终边过点且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【解答过程】角的终边过点且， 所以且，解得. 故选：B. 2．（25-26高一上·重庆·期末）（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用诱导公式计算得解. 【解答过程】. 故选：B. 3．（25-26高一上·安徽·期末）若，且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】D 【解题思路】先判断三角函数值的符号，即可得到是第四象限的角 【解答过程】由，得或，又， 所以，即角是第四象限的角. 故选:D. 4．（25-26高三上·山东临沂·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对式子的分子、分母同除以，转化为，代入求解. 【解答过程】因为，所以， 所以. 故选：C. 5．（25-26高一上·云南大理·期末）在平面直角坐标系中，角的终边过点，则（   ） A． B．0 C． D．4 【答案】B 【解题思路】根据任意角的三角函数定义计算求解. 【解答过程】已知角的终边过点， 由正弦函数的定义得， 由余弦函数的定义得， 所以， 故选:B. 6．（25-26高一上·江苏·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题设结合同角三角函数的基本关系可得或，再结合齐次式求解即可. 【解答过程】由题意得，且， 可得，解得或， 则， 当时，； 当时，. 综上所述，. 故选：A. 7．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用正切函数的定义求出，再利用齐次法求解. 【解答过程】由为角终边上一点，得， 所以. 故选：C. 8．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将两边平方整理得到，由得到，由得到，从而得到，由和得到，求出利用求出，联立和的等式，解得和，利用求出，从而得到答案. 【解答过程】，， ，， ，， ，，，，故选项A正确； ， ， ，， ，故选项D错误； 联立，解得，则，故选项B和C正确. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高一上·四川成都·期末）若为第二象限角，则下列正确的有（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【解题思路】由为第二象限角即可判断三角函数值的符号. 【解答过程】因为为第二象限角，则, 所以或或,所以B、C、D选项正确, 对于A选项 ，由于，所以该选项错误. 故选：BCD. 10．（25-26高一上·湖北十堰·期末）已知角的顶点在原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（    ） A．角为第四象限角 B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】对于A，分正负判断判断该点所在的象限；对于B，利用三角函数的定义计算；对于CD，分正负计算的值和的正负. 【解答过程】由题得，故B正确； 对于A，若，则，则该点在第四象限，角为第四象限角， 若，则，则该点在第二象限，角为第二象限角，故A错误； 对于C，若，则，，若，则，，故C错误； 对于D，若，则，，，， 若，则，，，，故D正确， 故选：BD. 11．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知，且，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】对A，两边同平方即可判断；对B，根据和即可判断；对C，利用完全平方式的变形即可判断；对D，联立方程组即可判断. 【解答过程】对A，因为，两边平方得：，A错误； 对B，因，且，所以，B正确； 对C，因为，所以，，所以， 因为，，则，即：，故C正确； 对D，联立：及，解得：，，故D错误. 故选：BC． 三、填空题 12．（25-26高一上·广东深圳·期末）若，则的值为__________. 【答案】2 【解题思路】利用弦化切的方法化简求值. 【解答过程】根据题意，， 则. 故答案为：2. 13．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，则__________. 【答案】 【解题思路】根据三角函数的定义计算可得. 【解答过程】角的终边过点, 所以. 故答案为：. 14．（25-26高一上·湖北·期末）已知，则__________. 【答案】 【解题思路】解法一：由题意可得，根据同角三角函数平方关系可得，进而计算即可求解；解法二：根据商数关系化简可得，由计算即可求解. 【解答过程】解法一：， ，， ， ，. 解法二： ， ，解得， . 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·湖北孝感·阶段检测）已知角的终边与单位圆交于点，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【解题思路】（1）由题意可得，再结合可求得答案； （2）根据任意角的三角函数的定义求解即可. 【解答过程】（1）由角的终边与单位圆交于点，有， 又由，解得； （2）因为角的终边与单位圆交于点， 所以． 16．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，求下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用同角三角函数的商数关系，利用正余弦的齐次式化为的代数式，计算求值； （2）利用同角三角函数的商数关系和平方关系，构造正余弦的齐次式计算求值. 【解答过程】（1）因为，所以的终边不在轴上，故. 所以； （2） . 17．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知角的终边经过点 ，其中. (1)求 的值； (2)若为第二象限角，求的值. 【答案】(1)当；当； (2). 【解题思路】（1）结合三角函数的定义即可求解； （2）结合三角函数的定义即可求解. 【解答过程】（1）因为， 所以当， 当 （2）若为第二象限角，则， 所以. 18．（2026高一·全国·专题练习）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用作差法直接证明即可； （2）结合弦化切的方式，利用等式左边往右边转化即可得证. 【解答过程】（1）因为 ， 所以. （2）因为左边 右边， 所以原等式成立. 19．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，角以轴的正半轴为始边. (1)若点为角终边上一点，且，求的值； (2)若终边与单位圆交于点，且，满足，求的值及的坐标. 【答案】(1)当时，，当时，， (2)；点的坐标为 【解题思路】（1）由条件利用三角函数的定义求，再利用三角函数定义求； （2）根据商数关系和平方关系可得，再结合平方关系由求，，即可解出. 【解答过程】（1）依题意，，解得或， 则当时，， 当时，， （2）， 因为①，两边平方得，即， 所以， 因为角的终边与单位圆交于点，且， 所以， 又，故，故， 所以②， 由①②解得：，，所以点P的坐标为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 三角函数的概念（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 三角函数的概念 在弧度制下，我们已经将角的范围扩展到全体实数.下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题.不失一般性，先研究单位圆上点的运动.现在的任务是： 如图5.2-1，单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况. 【知识点1 三角函数的概念】 1．任意角的三角函数 (1)利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切函数，记作tanα，即(x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 (2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离 为r.则，，. 2．三角函数的定义域和函数值的符号 (1)三角函数的定义域 三角函数 定义域 sinα cosα tanα (2)三角函数值在各象限的符号 由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知 ①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号； ②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号； ③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负. 因此，正弦函数(sinα)、余弦函数(cosα)、正切函数(tanα)的值在各个象限内的符号如图所示. 3．诱导公式一 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等. 由此得到一组公式(公式一)： ； ； . 【题型1 任意角的三角函数的定义及应用】 【例1】（25-26高一上·山西太原·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，点在的终边上，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边经过，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·天津和平·期末）若角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，它的终边上一点坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 由单位圆求三角函数值】 【例2】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一下·四川成都·期中）已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 【题型3 三角函数值在各象限的符号】 【例3】（25-26高一上·湖北武汉·期末）若是第四象限角，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）若，则为（    ） A．第一、四象限的角 B．第二、三象限的角 C．第一、三象限的角 D．第二、四象限的角 【变式3-2】（2026高一上·河南安阳·专题练习）若，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-3】（25-26高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知，且，则为（    ） A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第二或四象限角 【题型4 诱导公式一的应用】 【例4】（25-26高一上·福建莆田·期末）等于（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026高二上·黑龙江·学业考试）已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026高一上·吉林长春·专题练习）（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·广西南宁·期末）（    ） A． B． C． D． 模块三 同角三角函数的基本关系 【知识点2 同角三角函数的基本关系】 1．同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. 2．基本关系式的变形公式 (1)； (2). 【题型5 同角三角函数的基本关系】 【例5】（25-26高三上·山东济宁·期中）已知且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·宁夏·阶段检测）已知且是第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·江苏淮安·期末）已知关于x的一元二次方程的两根为sinα，cosα，则m的值为（　　） A． B． C． D． 【题型6 已知弦（切）求切（弦）】 【例6】（25-26高一上·四川成都·期末）已知，且是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·广东江门·期末）若是第三象限角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型7 正、余弦齐次式的计算】 【例7】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-1】（25-26高一上·福建泉州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·河南安阳·期中）已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【题型8 三角函数式的化简、求值】 【例8】（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）若，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·山西吕梁·期末）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式8-2】（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）化简下列各式： (1)； (2)，其中为第二象限角. 【变式8-3】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知为第一象限角，且． (1)求的值； (2)求的值． 【题型9 三角恒等式的证明】 【例9】（25-26高一上·甘肃兰州·期末）求证： (1)； (2). 【变式9-1】（25-26高一下·全国·阶段检测）求证： (1)； (2)． 【变式9-2】（25-26高一上·江苏·单元测试）证明下列恒等式： （1）； （2）. 【变式9-3】（25-26高一·全国·课后作业）求证： (1)＝； (2). 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·山东泰安·期末）已知角的终边过点且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 2．（25-26高一上·重庆·期末）（    ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽·期末）若，且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 4．（25-26高三上·山东临沂·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·云南大理·期末）在平面直角坐标系中，角的终边过点，则（   ） A． B．0 C． D．4 6．（25-26高一上·江苏·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·四川成都·期末）若为第二象限角，则下列正确的有（ ） A．， B．， C．， D．， 10．（25-26高一上·湖北十堰·期末）已知角的顶点在原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（    ） A．角为第四象限角 B． C． D． 11．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知，且，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一上·广东深圳·期末）若，则的值为__________. 13．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，则__________. 14．（25-26高一上·湖北·期末）已知，则__________. 四、解答题 15．（25-26高一上·湖北孝感·阶段检测）已知角的终边与单位圆交于点，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 16．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，求下列各式的值. (1)； (2). 17．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知角的终边经过点 ，其中. (1)求 的值； (2)若为第二象限角，求的值. 18．（2026高一·全国·专题练习）求证： (1)； (2)． 19．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，角以轴的正半轴为始边. (1)若点为角终边上一点，且，求的值； (2)若终边与单位圆交于点，且，满足，求的值及的坐标. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $