第04讲 三角函数图像及其性质【十一大题型】-2025-2026学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019）

第04讲 三角函数图像及其性质 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 知识点2.★★★求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型 (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)． (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)． (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 知识点3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 【题型归纳】 题型一、三角函数的定义域 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简得出，然后解不等式，可得出函数的定义域. 【详解】因为， 对于函数有，可得， 解得， 故函数的定义域为. 故选：D. 2．（23-24高一下·江西景德镇·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数， 令，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 3．（24-25高一下·江西·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的定义域列出不等式，求解即得所求函数的定义域. 【详解】由，可得. 故选：D. 题型二、图像法求三角函数最值或值域 4．（24-25高一下·北京大兴·期中）函数的最大值是（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】由辅助角公式结合正弦函数的值域计算可得. 【详解】，由正弦函数的值域可得其最大值为. 故选：C 5．（24-25高一上·云南红河·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体法，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以，则， 故，故的值域为. 故选:C. 6．（24-25高一上·宁夏吴忠·期末）函数的最小正周期和最大值分别为（    ） A．，2 B．，2 C．， D．， 【答案】C 【分析】根据诱导公式以及辅助公式可得，再利用正弦函数的周期公式，结合正弦函数的最值即可得答案. 【详解】， 所以该函数的最小正周期为，最大值为 故选：C. 题型三、换元法求三角函数最值或值域 7．（24-25高一下·北京房山·期中）已知函数，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】利用二倍角的余弦公式变形函数，再由含正弦的二次函数求出最值. 【详解】函数， 而，则时，，当时，. 故选：C 8．（22-23高一下·江苏扬州·期中）函数的值域是(    ). A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先把函数的关系式变形成二次函数的形式，进一步利用余弦函数的值域求出的值域. 【详解】由题意可知：， 由于，所以当时，函数， 当时，函数， 所以函数的值域为. 故选：C. 9．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数基本关系及二次函数的性质即可得. 【详解】因为， 由，故， 即. 故选：B. 题型四、三角函数的单调区间问题 10．（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的单调递减区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先变形，再根据余弦函数的单调性即可求解. 【详解】已知， 令，，得，， 所以函数的单调递减区间为，. 故选：. 11．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，结合解出即可得. 【详解】由题意可得，， 解得且，， 又，则，，则， 故且，故. 故选：A. 12．（24-25高一下·河北承德·期中）已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由周期公式求得，得到，然后结合图像可解不等式． 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，得． 所以， 由，得， 解得． 故选：A． 题型五、三角函数的对称性问题 13．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的对称性，求出对称中心的表达式，结合题意验证值即可求解. 【详解】函数的对称中心为：， 即，因为为函数的对称中心， 令，解得， 当时，. 故选：D 14．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整体法，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】令，可得. 所以当时，，故满足条件. 故选：A 15．（24-25高一下·江西南昌·期末）若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的图象和性质求解即可. 【详解】因为， 则由，，可得函数的图象的对称中心的横坐标为，， 又，所以当时，取的最小值， 故选：C 题型六、三角函数的奇偶性问题 16．（24-25高一下·湖北·期末）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】D 【分析】首先根据二倍角公式化简函数解析式，再判断函数的性质. 【详解】， 所以函数的最小正周期为， 又，所以为偶函数. 故选：D. 17．（24-25高一下·北京西城·期中）函数是（   ） A．奇函数，且最小值为 B．偶函数，且最小值为 C．奇函数，且最小值为 D．偶函数，且最小值为 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性，利用二次函数的基本性质可求得函数的最值. 【详解】由题意，函数的定义域为， 则， 故函数为偶函数， 因为， 且， 所以当时，函数的最小值为. 故选：B. 18．（24-25高一下·河南南阳·期中）若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得的最小正周期，即可求出，从而表示出的解析式，再根据其奇偶性求出. 【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 所以的最小正周期，又，所以， 所以，则，又为奇函数且， 所以，所以， 所以的最小值为. 故选：A 题型七、代入检验法判断三角函数的单调区间、对称轴、对称中心 19．（24-25高一下·辽宁·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C． D．在上单调递减 【答案】D 【分析】利用代入检验法可判断ABC的正误，根据正弦函数的单调性结合同增异减可判断D的正误. 【详解】对于A，由题意可得，故不是奇函数，则A错误. 对于B，因为， 所以的图象不关于直线对称，故B错误. 对于C，若，则图象的对称中心为， 而，故不是函数图象的对称中心，故C错误； 对于D，由，得， 而在上为减函数，故在上单调递减，故D正确. 故选：D. 20．（24-25高一下·北京海淀·期中）已知函数，则下列结论错误的是（   ） A．的图象可由的图像向左平移个单位长度得到 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在区间上单调递减 【答案】D 【分析】对于A，由图象平移变换可判断选项正误；对于B，根据余弦型函数的对称性可判断选项正误；对于C，将代入，验证是否为0，即可判断选项正误；对于D，由余弦函数单调性可判断选项正误. 【详解】对于A，的图像向左平移可得，故A正确； 对于B，时，，函数关于直线对称，所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，将代入，则，故C正确； 对于D，，因函数在上单调递减，在上单调递增，故在区间上不单调递减，故D错误. 故选：D. 21．（24-25高一下·江西萍乡·期中）下列关于函数的说法，不正确的是（    ） A．最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．点为其图象的一个对称中心 D．定义域为 【答案】D 【分析】分析函数的性质，对各选项的内容逐一判断即可. 【详解】对函数： 由，，，所以函数的定义域为：； 由，所以函数的最小正周期为； 由，，， 所以函数在，上单调递增，当时，单调增区间为； 因为，所以点为函数的一个对称中心. 综上可知：D是错误的. 故选：D 题型八、求三角函数解析式 22．（24-25高一下·江西新余·期末）将函数的图像向左平移个单位，得到的图像，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数图象平移变换的法则求解． 【详解】将图像向左平移个单位， 得到． 故选：A． 23．（24-25高一下·广东茂名·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数图象的变换，可得答案. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象； 再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，可得的图象. 故选：B. 24．（24-25高一下·上海嘉定·期末）在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 【答案】B 【分析】对B，利用图象求出函数的解析式判断；对A，代入验证判断；对C，利用 可得，即可求得的值域判断；对D，利用图象的变换即可判断. 【详解】对于B，由函数图象的最高点的纵坐标可得，且，可得，可得， 又，即，可得， 所以，故B正确； 对于A，因为，，所以不是函数的对称中心，故A错误； 对于 C，因为，所以，所以，即，故C错误； 对于D，把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数，故D错误. 故选：B. 题型九、三角函数图像的伸缩变换 25．（24-25高一下·重庆·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】D 【分析】利用三角函数的伸缩平移变换规律即得. 【详解】因，则可把函数的图象向左平移个单位，即得函数的图象， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即得函数的图象. 故选：D. 26．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知曲线，把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则曲线为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据伸缩变换，以及平移变换，即可求得结果 【详解】把上各点的横坐标缩短到原来的得到曲线的函数解析式为， 纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度得到曲线． 故选：D． 27．（24-25高一下·北京西城·期中）要得到函数的图象，只需要将函数的图象上所有的点（   ） A．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位 B．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向右平移个单位 C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向右平移个单位 D．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位 【答案】D 【分析】由三角函数图象的变换规律即可得答案. 【详解】解：， 所以只需将的图象所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位. 故选：D. 题型十、利用图像平移求函数解析式或参数值 28．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知函数，且在上是单调函数，其图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称，则可能的取值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由单调区间的长度小于等于半个周期可求出的取值范围，根据正弦函数图象向左平移个单位之后与原图象关于轴对称可求出的表达式，根据的范围进行判断即可. 【详解】设函数的最小正周期为， 因为函数在上单调， 则，可得，又，所以，， 因为函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称． 则，即， 因为，所以或6，满足条件，A正确． 故选：A 29．（24-25高一下·江西宜春·期中）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象变换关系求出的解析式，结合题意可得，，解不等式求得范围即可． 【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的， 得到函数的图象，再将函数的图象向左平移个单位长度， 得到的图象. 当时，，因为函数在上单调递减， 所以，，解得，， 当时，；当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意. 故实数的取值范围为. 故选：B. 题型十一、三角函数与恒等式变换交汇问题 30．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过图象变换得到的解析式，再根据的范围结合正弦函数的图象即可求解. 【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象， ，， 函数在上没有零点， ，解得， ，令得，；令得， ， 的取值范围是. 故选：B. 题型十一、三角函数与恒等式变换交汇问题 31．（24-25高一下·河南·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求函数和的解析式； (2)求函数的单调递增区间和对称中心； (3)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)， (2)（），对称中心为（）. (3) 【分析】（1）首先根据图象的最值确定，然后根据图象求出最小正周期，进而可求出，然后根据图象经过的点的坐标求出，从而得到函数的解析式；根据图象的变化和平移求出的解析式. （2）根据正弦函数的单调性和对称中心公式求出结果. （3）根据的范围和正弦函数的性质求出函数的值域. 【详解】（1）由图象可知，设函数的最小正周期为， 所以，解得， 所以，所以， 又的图象过点，所以， 所以，解得， 又，所以，所以． 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到， 再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到. （2）令，，解得，， 即函数的单调递增区间为（）， 令，，解得，， 所以函数的对称中心为（）. （3）当时，，所以， 所以，即函数在区间上的值域为． 32．（24-25高一下·云南·期末）已知. (1)求的值及函数的单调递增区间； (2)将函数图象上所有点向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的解集. 【答案】(1)，， (2)，. 【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简函数表达式，再求函数值和单调区间. （2）利用三角函数图象的变换求函数的表达式，再结合正弦函数的性质解不等式即可. 【详解】（1）因为， 所以， 故. 由，， 解得，. 所以函数的单调递增区间为，. （2）将函数图象上所有点向右平移个单位长度，得：， 再将的图象横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得. 所以函数， 由，得：，. 解得，， 所以函数的解集为，. 33．（24-25高一下·江西赣州·期末）已知函数，若的一个零点为0，且图象上相邻两条对称轴的距离为. (1)求的解析式，并写出的单调递减区间； (2)把的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域. 【答案】(1)；单调递减区间为 (2) 【分析】（1）根据所选条件求出、，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）首先根据三角函数的变换规则求出的解析式，由的取值范围，求出的取值范围，结合正弦函数的性质求得值域. 【详解】（1）因为函数的一个零点为0，所以，即，得， 因为，所以. 因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以. 因为，，所以， 所以函数的解析式为， 由，，解得，， 所以的单调递减区间为. （2）把的图象向右平移个单位得到 ， 再将向上平移个单位得到， 所以， 因为，所以. 当时，即时，， 当时，即时，， 所以函数在的值域为. 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一下·北京昌平·期末）函数的部分图象如图所示，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的函数图象，利用周期及最大值点求出即可. 【详解】观察函数图象，得这个函数的最小正周期，则， 又当时，，则，而，则， 所以. 故选：A 2．（24-25高一下·湖南·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图像的平移变换得，由为奇函数，即，解出即可. 【详解】由题意有， 又为奇函数，所以， 解得，当时，， 故选：A. 3．（24-25高一下·北京昌平·期末）下列函数中，最小正周期为且是奇函数的为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正余弦函数的周期性及奇偶性逐项判断即可. 【详解】对于A，的最小正周期为，A不是； 对于B，函数是偶函数，B不是； 对于C，函数最小正周期为且是奇函数，C是； 对于D，是偶函数，D不是. 故选：C 4．（24-25高一下·湖南·期末）函数图象的对称中心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为整体，结合正切函数的对称中心运算求解. 【详解】令，解得， 所以函数图象的对称中心坐标为. 故选：C. 5．（24-25高一下·河南南阳·期末）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角函数图象变换求得答案. 【详解】依题意，的图象可由函数的图象向左平移个单位长度， 再将所得函数的图象横坐标缩短到原来的得到（纵坐标不变）， 所以. 故选：B 6．（24-25高一下·江西·期末）已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到的，若是奇函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移可得，再利用函数是奇函数，得到，，即可求解. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度得到 ， 又是奇函数，所以， 得，，当时，. 故选：D. 7．（24-25高一下·广东清远·期末）已知函数的图象关于直线对称，的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间内恰有3个解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式，结合对称轴可求解析式，再利用平移可得，利用正弦值等于在区间内内恰有3个解,可得到动区间端点的取值范围，即可求解. 【详解】由的图象关于直线对称， 则，又因为，所以， 即 由的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 则， 由可得：， 因为，所以， 根据在区间内恰有3个解， 则，解得：， 故选：D. 二、多选题 8．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的一个对称中心为 C．在区间上单调递增 D．的图像向右平移个单位后，解析式为 【答案】ABD 【分析】根据周期公式即可求解A，代入验证，结合正切函数的性质即可求解BC，利用函数图象的平移，以及诱导公式即可求解D. 【详解】对于A, 由于，则的最小正周期为，故A正确， 对于B，时，则，故是的一个对称中心，故B正确， 对于C,当时， 由于，故在区间上不是单调递增，C错误 对于D, 的图像向右平移个单位后得到，故D正确， 故选：ABD 9．（24-25高一下·湖北襄阳·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数是奇函数 C．函数的图象的对称轴方程为 D．函数在区间上单调递增 【答案】AD 【分析】由图可得的最小正周期可判断A；由图象平移的性质可得B错误；由正弦函数的对称轴方程可得C错误；整体代入结合正弦函数的单调性可得D正确. 【详解】对于A，由图可得的最小正周期为， 且，则，则， 将代入得，即， 且，则， 可得，解得  故A正确； 对于B，由A可知， 所以，是偶函数，故B错误； 对于C，令，，解得，， 所以的对称轴方程为，，故C错误； 对于D，因，则，因在上单调递增， 则函数在区间上单调递增，，故D正确. 故选：AD. 10．（24-25高一下·山西吕梁·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，则曲线的一个对称中心为 D．的图象与直线和线段围成的图形面积为 【答案】ABD 【分析】根据，结合给定的的范围得可判断A；利用结合得，由即可判断B；由得函数的解析式，由图象平移得曲线：，通过代入验证可判断C；通过画出的图象，并应用余弦函数的对称性，数形结合求出图形围成的面积即可判断D. 【详解】对于A选项，观察图象，得，即，而，解得，故A正确； 对于B选项，由，且在函数的递增区间内，得，解得，解得，因此，故B正确； 对于C选项，将向左平移个单位后，得曲线C：，故C错误； 对于D选项，画出的图象与直线，线段，如图实线围成区域即为所求， 由于，且的最小正周期为， 结合对称性知，所求区域面积即为矩形ABCD的面积：，故D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知函数，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．为了得到函数的图象，只需把函数的图象向右平移个单位 【答案】ABD 【分析】直接计算即可判断A；化简的表达式，即可求函数的最小正周期，判断B；代入验证可判断C；根据三角函数的图象平移变换结合诱导公式化简可判断D. 【详解】因为，故，A正确； 又，则最小正周期为，B正确； ，则的图象不关于点对称，C错误； 把函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象， 而，D正确， 故选：ABD 12．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数（，）部分图象如下，它过，两点，将的图像向右平移个单位得到的图象，则下列关于的说法错误的是（   ） A．图像关于轴对称 B．图像关于中心对称 C．在最小值为 D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】根据图像得出，由过，两点，代入函数式，即可确定，进而得出，即可根据正弦函数图象和性质判断选项. 【详解】由图知,可得，又， 解得：或，又 若无解；若，则，所以，向右平移得到， 对于A：因为，所以是奇函数，关于原点对称，故A错误； 对于B：令，故对称中心,故B错误； 对于C:因为，则，所以在区间的最小值为：，故C正确； 对于D：因为，所以，所以在此区间不单调，故D错误； 故选：ABD 三、填空题 13．（24-25高一下·北京东城·期末）将函数图象上的所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则 【答案】 【分析】根据伸缩变换和平移变换得到函数解析式. 【详解】图象上的所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到， 再把所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数. 故答案为： 14．（24-25高一下·北京朝阳·期中）将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到偶函数的图象，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，根据函数为偶函数可得出关于的等式，即可得出的最小值. 【详解】将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 可得到函数的图象， 再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象， 因为函数为偶函数，则，可得， 故当时，取最小值. 故答案为：. 15．（24-25高一下·辽宁大连·期中）先将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的变换规则得到解析式，再根据正切函数的性质解得即可. 【详解】将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到， 再将向左平移个单位长度后可得， 由，即， 则， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为： 16．（24-25高一下·山东临沂·期中）已知函数，将的图像上所有的点向右平移个单位长度得到的图象，若是奇函数，且在上恰有2个解，则 . 【答案】 【分析】先由题意求出解析式，再结合三角函数奇偶性和函数图象性质即可求解. 【详解】由题意是奇函数， 所以由三角函数奇偶性得，①， 在上恰有2个解，即在上恰有2个解， 因为时，， 所以在上恰有2个解， 所以由图象性质得，②， 又，所以结合①②得只有当时符合. 故答案为：. 四、解答题 17．（24-25高一下·湖北荆门·期末）已知函数. (1)求的最小值，并求取得最小值时的取值集合： (2)将的图象向右平移单位长度，得到的图象，若的图象关于轴对称，求的最小值. 【答案】(1)最小值为， (2) 【分析】（1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再借助正弦函数的性质计算即可得； （2）先求出平移后的函数解析式，再利用正弦函数的对称性计算即可得. 【详解】（1）， 当且仅当， 即时，的最小值为： 所以函数的最小值为， 此时的取值集合为； （2）由题知，， 要使得的图象关于轴对称， 则，即， 则的最小值为. 18．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）先根据图象确定的值，进而确定函数的解析式，然后根据正弦函数的性质求得单调递减区间. （2）先根据图象的变换求出函数的解析式，然后根据的范围确定的最大值和最小值，要使得不等式恒成立，则最大值小于等于，从而求出的取值范围. 【详解】（1）设的最小正周期为，所以，解得， 所以，解得. 由题意知，所以， 又，所以，， 即，，又， 所以，所以. 令，，解得，， 即的单调递减区间为，. （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数解析式为. 当，， 所以，， 若对任意的，，都有，则， 解得，即的取值范围是. 19．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知函数，且. (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象.当时，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据特殊值计算结合角的范围求解； （2）先根据平移伸缩得出，再结合二倍角余弦公式化简应用单调性解三角不等式即可. 【详解】（1）因为，所以，，可得，， 又，所以，所以. （2）将的图象向右平移个单位长度得的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍得到的图象，所以，所以原不等式化为. 令，，则，不等式化为， 所以，所以， 所以， 结合函数在上的图象得， 所以，即不等式的解集为. 20．（24-25高一下·上海静安·期末）已知函数 (1)求函数的周期； (2)求函数的最小值及取得最小值时的所有取值； (3)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)最小值为， (3) 【分析】（1）根据二倍角公式化简后求周期即可； （2）利用正弦型函数的最值的求法得解； （3）根据图象变换得到，再由正弦型函数的值域求解即可. 【详解】（1）因为， 所以函数的周期为. （2）函数， 当，即时，取得最小值， 取得最小值时的所有取值为 . （3）函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）可得，将得到的图象向右平移个单位长度可， 因为，所以， 所以在上严格增， 所以， 所以， 故当时等式成立． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 三角函数图像及其性质 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 知识点2.★★★求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型 (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)． (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)． (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 知识点3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 【题型归纳】 题型一、三角函数的定义域 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江西景德镇·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型二、图像法求三角函数最值或值域 4．（24-25高一下·北京大兴·期中）函数的最大值是（   ） A． B．3 C． D．5 5．（24-25高一上·云南红河·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·宁夏吴忠·期末）函数的最小正周期和最大值分别为（    ） A．，2 B．，2 C．， D．， 题型三、换元法求三角函数最值或值域 7．（24-25高一下·北京房山·期中）已知函数，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 8．（22-23高一下·江苏扬州·期中）函数的值域是(    ). A． B． C． D． 9．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 题型四、三角函数的单调区间问题 10．（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的单调递减区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·河北承德·期中）已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型五、三角函数的对称性问题 13．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·江西南昌·期末）若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型六、三角函数的奇偶性问题 16．（24-25高一下·湖北·期末）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 17．（24-25高一下·北京西城·期中）函数是（   ） A．奇函数，且最小值为 B．偶函数，且最小值为 C．奇函数，且最小值为 D．偶函数，且最小值为 18．（24-25高一下·河南南阳·期中）若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型七、代入检验法判断三角函数的单调区间、对称轴、对称中心 19．（24-25高一下·辽宁·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C． D．在上单调递减 20．（24-25高一下·北京海淀·期中）已知函数，则下列结论错误的是（   ） A．的图象可由的图像向左平移个单位长度得到 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在区间上单调递减 21．（24-25高一下·江西萍乡·期中）下列关于函数的说法，不正确的是（    ） A．最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．点为其图象的一个对称中心 D．定义域为 题型八、求三角函数解析式 22．（24-25高一下·江西新余·期末）将函数的图像向左平移个单位，得到的图像，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一下·广东茂名·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高一下·上海嘉定·期末）在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 题型九、三角函数图像的伸缩变换 25．（24-25高一下·重庆·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 26．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知曲线，把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则曲线为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一下·北京西城·期中）要得到函数的图象，只需要将函数的图象上所有的点（   ） A．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位 B．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向右平移个单位 C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向右平移个单位 D．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位 题型十、利用图像平移求函数解析式或参数值 28．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知函数，且在上是单调函数，其图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称，则可能的取值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 29．（24-25高一下·江西宜春·期中）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型十一、三角函数与恒等式变换交汇问题 30．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十一、三角函数与恒等式变换交汇问题 31．（24-25高一下·河南·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求函数和的解析式； (2)求函数的单调递增区间和对称中心； (3)求函数在区间上的值域． 32．（24-25高一下·云南·期末）已知. (1)求的值及函数的单调递增区间； (2)将函数图象上所有点向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的解集. 33．（24-25高一下·江西赣州·期末）已知函数，若的一个零点为0，且图象上相邻两条对称轴的距离为. (1)求的解析式，并写出的单调递减区间； (2)把的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域. 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一下·北京昌平·期末）函数的部分图象如图所示，则（  ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·北京昌平·期末）下列函数中，最小正周期为且是奇函数的为（  ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖南·期末）函数图象的对称中心坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河南南阳·期末）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江西·期末）已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到的，若是奇函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·广东清远·期末）已知函数的图象关于直线对称，的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间内恰有3个解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的一个对称中心为 C．在区间上单调递增 D．的图像向右平移个单位后，解析式为 9．（24-25高一下·湖北襄阳·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数是奇函数 C．函数的图象的对称轴方程为 D．函数在区间上单调递增 10．（24-25高一下·山西吕梁·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，则曲线的一个对称中心为 D．的图象与直线和线段围成的图形面积为 11．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知函数，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．为了得到函数的图象，只需把函数的图象向右平移个单位 12．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数（，）部分图象如下，它过，两点，将的图像向右平移个单位得到的图象，则下列关于的说法错误的是（   ） A．图像关于轴对称 B．图像关于中心对称 C．在最小值为 D．在上单调递增 三、填空题 13．（24-25高一下·北京东城·期末）将函数图象上的所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则 14．（24-25高一下·北京朝阳·期中）将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到偶函数的图象，则的最小值是 . 15．（24-25高一下·辽宁大连·期中）先将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，则不等式的解集为 ． 16．（24-25高一下·山东临沂·期中）已知函数，将的图像上所有的点向右平移个单位长度得到的图象，若是奇函数，且在上恰有2个解，则 . 四、解答题 17．（24-25高一下·湖北荆门·期末）已知函数. (1)求的最小值，并求取得最小值时的取值集合： (2)将的图象向右平移单位长度，得到的图象，若的图象关于轴对称，求的最小值. 18．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，，都有，求实数的取值范围. 19．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知函数，且. (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象.当时，求不等式的解集. 20．（24-25高一下·上海静安·期末）已知函数 (1)求函数的周期； (2)求函数的最小值及取得最小值时的所有取值； (3)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$