第18讲 函数的应用（二）（十大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

第18讲 函数的应用（二）（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 函数的零点与方程的解 在“函数的应用(一)”中，通过一些实例，我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法.本节将先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法. 【知识点1 函数的零点与方程的解】 1．函数的零点 (1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零 点就是使函数值为零的自变量的值. (2)函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)几种常见函数的零点 ①二次函数的零点 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点. ②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0. ③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点. ④反比例函数y=(k≠0)没有零点. ⑤指数函数y=ax(a>0,且a≠1)没有零点. ⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1. ⑦幂函数y=xa，当a>0时，仅有一个零点0；当a≤0时，没有零点. 2．函数零点存在定理 (1)函数零点存在定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. (2)函数零点存在定理的几何意义： 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点. 3．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【题型1 求函数的零点】 【例1】（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）函数的零点为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【解题思路】根据零点定义求解即可. 【解答过程】令，所以，所以，所以， 故选：B. 【变式1-1】（25-26高一上·新疆喀什·期末）函数的零点为（   ） A．5 B．5或 C． D． 【答案】A 【解题思路】由方程求解零点. 【解答过程】由， 得，所以， 解得， 所以的零点为， 故选：A. 【变式1-2】（25-26高一上·陕西榆林·期末）的零点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，解方程即得答案. 【解答过程】令，得：， 即， 两边取自然对数，得：. 故选：B. 【变式1-3】（25-26高一上·广东·期末）若函数有一个零点是1，则函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据的零点是1可得，代入令即可求得的零点. 【解答过程】由题意可得，可得； 可得， 令，因此， 解得或或； 因此函数的零点是. 故选：D. 【题型2 零点存在性定理的应用】 【例2】（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据函数的单调性判断零点的个数，再求区间端点的函数值，利用函数零点存在定理判断零点所在区间. 【解答过程】由复合函数的单调性知，是增函数， 所以至多有一个零点. 又，，，，， 所以， 由函数零点存在定理知，在上有唯一的一个零点，即的零点所在的区间为. 故选：D. 【变式2-1】（25-26高一上·云南文山·阶段检测）已知函数的零点在区间内，则整数（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据函数单调性，以及零点存在定理，求出参数值即可. 【解答过程】根据基本初等函数性质可知函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 可知， 所以函数的零点在内，即. 故选：B. 【变式2-2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）函数的零点所在的大致区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先计算出各个区间端点的符号，再利用零点存在性定理即可求解． 【解答过程】因为当接近于1时，趋向于， ， ， ， ， 所以零点所在的大致区间为， 故选：B． 【变式2-3】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）函数的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的零点的存在性定理计算即得到结论. 【解答过程】由题意得，函数在上单调递减， 所以在上单调递减． 因为， 所以，所以的零点所在的区间为． 故选：B. 【题型3 求函数零点或方程根的个数】 【例3】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】先求出函数的定义域为，根据函数零点与方程的关系，令，解方程再配合函数的定义域即可得到答案. 【解答过程】函数的定义域为， 令，可化为，即， 解得或， 又，则， 所以函数的零点个数为. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高一上·河北廊坊·阶段检测）已知函数，若函数，则函数的零点个数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解题思路】令解得或，结合分段函数分别求解，即可得到零点个数. 【解答过程】令，解得或， 当时， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时， 当时，，解得或， 当时，，解得. 所以，函数的零点个数为. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高一上·河南·阶段检测）函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】将的零点个数转化为函数和的图象的交点个数. 【解答过程】令，则， 在同一坐标系下分别画出函数的图象， 因为， ， 在定义域上都是增函数， 且随着自变量的增大，函数的增长速度远大于的增长速度， 所以的图象有两个交点， 所以的零点个数为2. 故选：C. 【变式3-3】（25-26高一上·天津·阶段检测）已知函数，则方程的解的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解题思路】根据方程，解得或5，作出，和的图象，根据交点个数，即可得答案. 【解答过程】有，得，解得或5， 当时，单调递减， 因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 令，解得或5， 所以当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 作出，和的图象，如下图所示： 由图象可得直线与的图象有4个交点， 直线与的图象有2个交点，共有6个交点， 所以方程解的个数为6. 故选：B. 【题型4 根据函数零点（方程根）的个数求参数范围】 【例4】（25-26高一上·重庆九龙坡·期末）已知函数，其中为自然对数的底数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合指数函数和二次函数性质作出函数的大致图象，将有三个不同的零点转化为函数的图象与有三个不同的交点问题，数形结合，可得答案. 【解答过程】函数，作出函数的大致图象如图： 由有三个不同的零点，即函数的图象与有三个不同的交点， 结合图象，可得，即实数的取值范围是 故选：D. 【变式4-1】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数，若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意或，作出的图象，数形结合求得有三个不同的实数根，从而结合图象求得有一个实数根时的取值范围. 【解答过程】由， 得，所以或. 作出的图象，如图. 因为函数的图象与直线有三个交点，所以有三个不同的实数根. 所以必须有一个实数根，即函数的图象与直线有一个交点. 由图可知， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高一上·北京密云·期末）已知函数函数．若有四个不同的零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用函数与方程的思想，将有四个不同的零点转化为函数与有四个不同的交点，作出图象，求得，利用对称性得，根据函数的图象特征可得，，借助于对勾函数的单调性即可求得的取值范围. 【解答过程】 由函数有四个不同的零点，可知函数与有四个不同的交点， 设这四个交点的横坐标从小到大依次为，如图所示，则，可得， 因点关于直线对称，故； 由可得， 则有，且，即得， 于是，， 因函数在上单调递减，故可得， 则的取值范围为. 故选：A. 【变式4-3】（25-26高三上·江西萍乡·期中）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】作出函数的图象并换元，结合图象将问题转化为方程根的分布列不等式求解. 【解答过程】由函数恰有5个零点， 得方程有5个根， 在平面直角坐标系中作出函数的图象，      令，观察图象知，当时，直线与的图象有3个交点， 当时，直线与的图象有2个交点， 令， 由函数有5个零点，得有两个不等实根，且，， 因此或，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：B. 模块三 用二分法求方程的近似解 【知识点2 用二分法求方程的近似解】 1．二分法 (1)二分法的定义： 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二， 使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点. 2．用二分法求方程的近似解 用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在 要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a, )包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内. 3．用二分法求函数零点的近似值的步骤 给定精确度ϵ，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点x0的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0. (2)求区间(a,b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c))，则令b=c； ③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b))，则令a=c. (4)判断是否达到精确度ϵ：若|a-b|<ϵ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4. 【题型5 用二分法求近似解的条件】 【例5】（25-26高一下·浙江杭州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】逐一分析各个选项的函数是否有零点，零点两侧符号是否相反即可得解. 【解答过程】对于A，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故A能用二分法求零点； 对于B，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故B能用二分法求零点； 对于C，不是单调函数，有唯一零点，但函数值在零点两侧都是正的， 故C不能用二分法求零点； 对于D，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故D能用二分法求零点. 故选：C. 【变式5-1】（25-26高三下·上海金山·阶段检测）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【解题思路】结合结论二分法只能求变号零点，结合图象确定正确选项. 【解答过程】根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点， 观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项BCD中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点， 所以选项A中函数不能用二分法求零点． 故选：A. 【变式5-2】（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）下列方程中不能用二分法求近似解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据二分法的定义逐项判断即可. 【解答过程】根据二分法的定义，用二分法求近似解，需函数在上连续，且. 对于A，令，显然在其定义域上单调递增， ，所以可用二分法求方程近似解，所以A错误； 对于B，令，显然在其定义域上连续，，所以可用二分法求方程近似解，所以B错误； 对于C，令，显然在其定义域上连续， ，所以可用二分法求方程近似解，所以C错误； 对于D，令，所以不能用二分法求方程的近似解.所以D正确. 故选：D. 【变式5-3】（25-26高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解. 【解答过程】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号； 对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，有唯一零点， 但恒成立，故不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 【题型6 用二分法求方程的近似解】 【例6】（25-26高一上·安徽·阶段检测）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 3 1.3418 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.85 【答案】C 【解题思路】根据表格及二分法的定义，结合精确度求零点的近似解. 【解答过程】因为，可知零点在内， 又区间长度，满足条件， 所以方程的近似解可取为. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高三上·广东江门·阶段检测）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据二分法求解方程近似解的方法计算即可. 【解答过程】令，因为， 所以，又，， 则，又因为，所以． 故选：B. 【变式6-2】（25-26高一下·江苏南京·期中）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用二分法即可判断. 【解答过程】由题意，，，，，， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 【变式6-3】（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 【答案】C 【解题思路】由零点存在性定理结合二分法的定义即可得出答案. 【解答过程】由表格可得，， 函数的零点在之间， 结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.01)可以是1.41. 故选：C. 【题型7 用二分法求函数零点】 【例7】（25-26高一上·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用二分法可得答案. 【解答过程】已知 ，， 根据零点存在定理，函数在区间 内有零点， 区间中点 ， ， 由，，及零点存在定理知： 零点位于区间 内， 下一步应考察的区间为 . 故选：A. 【变式7-1】（25-26高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 【答案】C 【解题思路】观察数据，由零点存在性定理得到区间内存在零点，得到答案. 【解答过程】，， 由零点存在性定理得，区间内存在零点， 由于，， 故该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是1.27，其他选项不正确. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先通过函数的单调性及零点存在性定理可得函数有唯一零点，进而再用二分法及精确度可判断零点所在区间及零点的近似值. 【解答过程】因为函数和均为R上单调递增函数， 所以函数是R上单调递增函数， 且，所以函数在上有唯一零点. 取区间的中点，且， 所以零点在区间内且区间长度为. 再取区间的中点，且， 所以零点在区间内且区间长度. 对照选项只有在区间内，故可以是. 故选：C. 【变式7-3】（25-26高一上·全国·课前预习）用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 【答案】B 【解题思路】根据二分法的性质即可求解. 【解答过程】已知，，则函数的零点的初始区间为[0.09375，0.125]， 所以零点在区间[0.09375,0.125]上，， 所以可以作为的一个零点近似值， 故选：B. 模块四 函数模型的应用 【知识点3 函数模型的应用】 1．指数函数、对数函数模型 (1)指数型函数模型：f(x)=bax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). (2)对数型函数模型：f(x)=blogax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). 2．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 3．拟合函数模型的建立 (1)函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合). (2)函数拟合与预测的一般步骤 ①绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图； ②连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； ③列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； ④判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； ⑤预测：利用选取的拟合函数进行预测； ⑥结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据. 【题型8 指数函数模型】 【例8】（25-26高一上·江苏·期末）已知在某地区的某种群数量每年以的增长率呈指数增长.若经过4年增长为原来的倍，则增长为原来的2倍需要经过的年数约为（   ）（参考数据：） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【解题思路】根据已知条件求出增长率，再根据指数增长模型列出方程求解. 【解答过程】设该地区的某种群数量为，根据题意可得， 则， 设经过年增长为原来的2倍，则， 所以， ， 解得. 故选：B. 【变式8-1】（25-26高一上·辽宁朝阳·期末）著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知可得出，，，将代入关系可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【解答过程】由题知，，，所以，可得， 再经过分钟后，该物体的温度为， 即该物体的温度为． 故选：C． 【变式8-2】（25-26高一上·湖北·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将代入关系式可得出，将代入关系式可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【解答过程】当时，，当时，，即. 所以当时，， 即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为. 故选：A. 【变式8-3】（25-26高一上·湖南永州·期末）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数）.2024年考古学家挖掘出某生物标本，经研究发现该生物体内碳14残余量约占原始含量的81%，则可推断该生物死亡时间属于（    ）附：①参考数据：，②参考时间轴如图： A．东汉 B．三国 C．西晋 D．东晋 【答案】C 【解题思路】由条件可得时，，由此可求，再由列方程求判断结论. 【解答过程】因为大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半， 所以可近似认为时，， 又与死亡年数之间的函数关系式为， 所以，故， 所以， 令，可得， 两边取以为底数的对数可得，又， 所以， ， 所以该生物体大约死亡于公元年，即该生物体死亡时间属于西晋. 故选：C. 【题型9 对数函数模型】 【例9】（25-26高一上·河南·期末）已知声强的大小用声强级L（单位：dB）表示，声强级L与声强I（单位：）的关系式为： ，其中为参考声强（常数）．已知声强级为20dB时，声强为，在“马街书会”上河南坠子表演产生的声强的范围为，下表给出了声强级等级： 声强级 等级 I II III IV 则此坠子表演的声强等级是（    ） A．I B．II C．III D．IV 【答案】B 【解题思路】运用代入法，结合对数的运算性质、题中表格进行运算判断即可. 【解答过程】因为声强级为20dB时，声强为，所以， 所以， 当时， 有 ， 对照声强级等级表可以确定河南坠子表演产生的声强属于等级II. 故选：B. 【变式9-1】（25-26高一上·河南郑州·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，9s后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】D 【解题思路】由题意列出方程，根据对数的运算性质，计算即可得答案. 【解答过程】设甲的速度为，耗氧量的单位数为，乙的速度为，耗氧量的单位数为， 由题意得，则， 所以，解得. 故选：D. 【变式9-2】（25-26高一上·北京房山·期末）北京时间2025年11月14日，航天员陈冬､陈中瑞､王杰乘坐神舟二十一号载人飞船成功返回地球，平安抵达北京，不仅带回了珍贵的科学实验数据；还见证了我国航天事业的多个“第一次”：载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压，声压级的单位为分贝（），声压的单位为帕（）：已知人正常说话的声压约为，火箭发射时的声压约为，人正常说话的声压级记为，火箭发射时的声压级记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定的模型，列出火箭发射时的声压级和人正常说话时的声压级表达式，联立求解即可． 【解答过程】人正常说话的声压，对应的声压级， 火箭发射时的声压，对应的声压级， 声压级之差 ． 故选：C． 【变式9-3】（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知声强的大小用声强级（单位：）表示，声强级与声强（单位：）的关系式为：，其中为标准声强（常数）.当声强级为时，声强为，若某处广场舞音乐的声强的范围为，根据下表给出的噪音等级： 声强级 噪音 I Ⅱ Ⅲ IV 则该处音乐产生噪音的等级为（   ） A．I级 B．Ⅱ级 C．Ⅲ级 D．IV级 【答案】C 【解题思路】由，由已知解出，解不等式即可求解. 【解答过程】将，代入得，，所以， 所以，由题意可知，， 所以，解得. 故选：C. 【题型10 建立拟合函数模型解决实际问题】 【例10】（25-26高一上·江西吉安·期末）某人拥有一辆价值20万元的轿车，已知轿车以每年8%的幅度贬值，则这个人至多几年后卖出这辆轿车，才不会以低于15万元的价格成交（参考数据：，）（    ） A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 【答案】A 【解题思路】由题意可得轿车价格与年份之间的函数关系式为，再根据指数函数的单调性即可得解. 【解答过程】由题意知，轿车价格与年份之间的函数关系式为， ∴，故， ∴， 故这个人至多3年后卖出这辆轿车，才不会以低于15万的价格成交． 故选：A. 【变式10-1】（2026·湖南益阳·二模）视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表： 小数记录 五分记录 现有如下函数模型：①，②，表示小数记录数据，表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为，则小明同学的小数记录数据为（附，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据表格中可知函数的单调性，可选择合适的函数模型，然后令，解方程即可得解. 【解答过程】由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为， 令，解得. 故选：B. 【变式10-2】（2026高一上·福建厦门·专题练习）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数达到14万. 【答案】(1)模型①，理由见解析； (2)，第16个月. 【解题思路】（1）由给定数表确定函数模型的特征，再对给定的3个模型逐一分析判断即可. （2）由（1）选择的模型，将数据组代入求出即可求得解析式，再求出时的值即可. 【解答过程】（1）由给定数表知，函数定义域为，会员人数增速随增大而减缓， 对于模型②，当时无意义，不符合题意； 对于模型③，会员人数增速随增大而变快，不符合题意； 对于模型①，会员人数增速随增大而减缓，符合题意， 所以最符合实际的函数模型是模型①. （2）由（1）知，选择模型①， 将数据组代入，得，解得， 因此，当时，，即，解得， 所以所求函数模型的解析式为，预测第16个月会员人数达到14万. 【变式10-3】（25-26高一上·广东佛山·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1min测量一次茶水温度，收集到以下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 85 79 73.6 68.74 64.34 60.24 设茶水温度从85°C开始，经过min后温度为℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律．现有以下两种函数模型供选择：①；② (1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式； (2)若茶水温度降至55°C时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ （参考数据：） 【答案】(1)因为随着时间的变化（变大），茶的温度越来越低，且不再升高，所以选择模型①；解析式为 (2). 【解题思路】（1）根据表中数据变化情况可知选用模型①符合，代入前三组数据，用待定系数法求得的值，即可得解析式； （2）根据（1）的解析式，将代入解析式求的值即可. 【解答过程】（1）由表中数据知，随着时间的变化（变大），茶的温度越来越低，但温度最多低至室内温度后，不再下降，也不再升高，因此选用模型①，代入前三组数据 解得， 所以函数模型解析式为. （2）由（1）知，即，所以， ， 所以刚泡好的茶水大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感. 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·辽宁大连·期末）函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解题思路】根据零点的概念，结合函数与方程的关系，利用指数函数与一次函数的单调性，可得答案. 【解答过程】由，即，易知与方程组只有一组解， 由函数为增函数，函数为减函数， 则两函数有且仅有一个交点，即方程存在唯一解， 当时，，所以函数的零点为. 故选：C. 2．（25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据二分法求函数近似值的方法步骤可得. 【解答过程】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 故选：D. 3．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数，则该函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即可. 【解答过程】函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增， 而，所以该函数的零点所在区间为. 故选：C. 4．（25-26高一上·四川成都·期末）声音的强弱通常用声强级（dB）和声强来描述，二者的数量关系为（为常数）．一般人能感觉到的最低声强为，此时声强级为0dB；能承受的最高声强为，此时声强级为120dB．若某人说话声音的声强级为60dB，则他说话声音的声强为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意计算出，再将代入求解即可. 【解答过程】由题意可知，解得， 所以， 所以当时，有， 则，解得， 故选：A. 5．（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据零点存在定理和二分法可判断零点在区间内，结合精确度要求即可判断. 【解答过程】由表格中的数据知，， 所以函数的一个正数零点在区间内， 且区间的长度为， 此时，区间内的任一值均可作为方程的近似根， 选项D中的是该区间的端点，符合题意 故选：D. 6．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知池塘中的荷花每经过一天的生长，荷叶覆盖水面的面积都比前一天多，若荷叶生长30天时可以完全覆盖池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积的一半时，荷叶大约生长了参考数据：.（   ） A．26天 B．27天 C．28天 D．29天 【答案】B 【解题思路】分析可得初始面积与天数对应的面积关系式，再根据题意取对数化简求解即可 【解答过程】设荷叶覆盖水面的初始面积为， 则天后荷叶覆盖水面的面积， 根据题意，令 ，即， 两边取以10为底的对数得， 所以，解得． 故选：B． 7．（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合指数函数、对数函数、幂函数的单调性确定函数的单调性，再利用零点存在性定理确定对应零点所在区间即可. 【解答过程】函数都是R上的增函数，函数是上的增函数， 因此函数都是R上的增函数，函数是上的增函数， 由，得； 由，得； 由，得， 所以. 故选：B. 8．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据解析式画出的草图，将问题化为的图像与直线和，共有6个交点，数形结合有的图像与直线有2个交点，从而得解. 【解答过程】画出函数的图像如图所示， 函数有6个零点， 等价于有6个解， 即或共有6个解， 等价于的图像与直线和直线，共有6个交点， 由图得的图像与直线有4个交点， 所以的图像与直线有2个交点， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高一上·湖南永州·期末）下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】根据二分法的适用条件可得出合适的选项. 【解答过程】由二分法的定义知，若函数在区间上连续，且满足， 则可以利用二分法求函数的零点的近似值， 所以选项B、D中函数零点左右函数值不变号，不能用二分法求函数零点， 选项A、C中函数零点左右函数值变号，能用二分法求函数零点. 故选：AC. 10．（25-26高一上·广西南宁·期中）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：周）的关系为（a为常数），则下列说法中正确的是（    ） A．时，浮萍面积不会超过 B．浮萍每周的面积与上周面积之比为定值 C．浮萍每周增加的面积都相等 D．若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，则 【答案】ABD 【解题思路】先根据已知条件结合图像求出函数解析式，再利用函数的性质分析判断各选项． 【解答过程】时，， ，即，， 时，，浮萍面积不会超过，故A正确； 当时，浮萍每周的面积与上周面积之比为，为定值2，故B正确； 浮萍每周增加面积，每周增加面积随着的变化而变化，不是定值，故C错误； ，，，故D正确． 故选：ABD． 11．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且，则以下结论中正确的是（ ） A． B． C． D．方程有个不同的实数根 【答案】BCD 【解题思路】画出函数的图象，根据图象，得出的范围，即可判断A的正误；对B，利用对称性以及对数的运算性质得出且，即可求解；对C，结合且，将变形为，利用函数的单调性即可得出的取值范围；对D，令，则，解出的根，根据直线与函数的图象的交点，即可得出方程根的个数. 【解答过程】函数与直线的图象，如下图所示： 对于A，因为直线与函数的图象相交于四个不同的点，所以，故A错误； 对于B，因为二次函数的图象关于直线对称，则， 又由，得，所以，得到， 所以，故B正确； 对于C，设，因为，所以， 令，则，， 设， 因为，，所以，即函数在上单调递增， 故，即，所以C正确； 对于D，令，则. 由得，则方程的解为、、、. 当时，由于，由图知，直线与函数的图象只有一个点， 当时，由于，由图知，直线与函数的图象只有一个点， 当时，由于，由图知，直线与函数的图象有个不同的交点， 当时，由于，由图知，直线与函数的图象有个不同的交点， 所以方程有个不同的实数根，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·期末）已知函数，零点在区间为中，则自然数___________． 【答案】 【解题思路】利用单调性和零点存在性定理判断零点所在区间即可得. 【解答过程】因为在上单调递减，所以在上单调递减， 又， 即，所以存在唯一零点，所以. 故答案为：. 13．（2026高一·全国·专题练习）用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为___________． 【答案】7 【解题思路】根据二分法，n次此操作后，区间长度变为，再解即可. 【解答过程】区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过次此操作后，区间长度变为． 因为用二分法求函数在区间上的零点近似解， 要求精确度为0.01，所以． 因为，，所以，即所需二分区间的次数最少为7． 故答案为：7. 14．（25-26高一上·湖北·阶段检测）物体在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ₁℃，空气的温度是θ₀℃，tmin后物体的温度θ℃满足关系式： 其中k 是正常数.现有90℃的物体放在 10℃的空气中冷却，3min后物体的温度为50℃，则此物体的温度降为20℃还需___________min. 【答案】 【解题思路】首先根据第一次温度的变化过程，计算得到，再根据第二次的温度变化，计算得到最终的结果. 【解答过程】由题意得：，当，时，，代入 得：，解得：； 设物体的温度从90℃降为20℃，所需时间为，即此时，，，代入得：，，解得：min； 所以，此物体的温度降为20℃还需min. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课堂例题）用二分法求函数在区间内的一个零点的近似值．（误差不超过0.01） 【答案】 【解题思路】由零点的存在性定理，用二分法，逐步计算，直到区间长度小于等于为止，最后所得区间内的任何一个数均可作为函数的零点. 【解答过程】经计算，， 所以函数在内存在零点， 取的中点， 经计算， 因为， 所以， 如此继续下去，如下表： 区间 中点值 中点函数近似值 因为， 所以函数在区间内误差不超过的一个零点近似值可取为． 16．（2026·河南·模拟预测）已知，函数. (1)若，求的值； (2)若分别为的零点，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据两函数值相等利用对数与指数运算的互化解方程即可得； （2）由零点定义代入函数表达式，再由对数函数单调性可知，即可得. 【解答过程】（1）由可得，即， 所以， 又，所以，因此； 因为，即， 解得； （2）因为分别为的零点，所以， 即，也即， 又因为，所以在上单调递增， 由可得， 与联立可得。 所以. 17．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中是正的常数.如果在前消除了的污染物，那么 (1)从过滤开始，经过后，污染物还剩百分之几？ (2)污染物减少50%大约需要花多少时间（精确到1h）？ 参考数据：． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据题意得出，再求出当时，的值即可； （2）根据以及，结合对数的运算性质可求. 【解答过程】（1）由题意可知，当时，，则， 则当时，， 故经过后，污染物还剩； （2）若污染物减少50%，则， 得，即， 故污染物减少50%大约需要花小时. 18．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求函数的零点； (2)若函数恰好有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）令，解方程可求得零点； （2）采用分离参数的方式可得，设，将问题转化为与有两个不同交点，采用数形结合的方式可求得结果. 【解答过程】（1）当时，， 令，则，解得：，有唯一零点. （2）令，则， 令，，，令， 恰好有两个零点，与图象有两个不同的交点， 的对称轴为，开口向上，， 又当时，，图象如下图所示， 当时，与有两个不同的交点，即恰好有两个零点， 实数的取值范围为. 19．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）函数． (1)若，求函数的零点； (2)若函数在有两个不同的零点 ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)或 (2)；②证明见解析 【解题思路】（1）先求出解析式，再分类讨论求函数的零点； （2）先分类讨论求出零点所在区间，结合函数性质和零点存在定理列不等式组求出的取值范围；根据零点所在位置化简等式，并利用零点的取值范围证明结论． 【解答过程】（1）， ， 当，即时，， 令，解得，符合条件； 当，即或时，， 令，解得，不满足，舍去， ； 函数的零点为或． （2）①， 当时，， 当时，，函数开口向上，，有两个异号实根， 在有两个不同零点，则需满足在有一个零点： 令，解得，解得； 在有一个零点： 由零点存在定理得且，即 ， 实数的取值范围是． ②设，， ，解得， ，整理得， ，，即． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 函数的应用（二）（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 函数的零点与方程的解 在“函数的应用(一)”中，通过一些实例，我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法.本节将先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法. 【知识点1 函数的零点与方程的解】 1．函数的零点 (1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零 点就是使函数值为零的自变量的值. (2)函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)几种常见函数的零点 ①二次函数的零点 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点. ②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0. ③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点. ④反比例函数y=(k≠0)没有零点. ⑤指数函数y=ax(a>0,且a≠1)没有零点. ⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1. ⑦幂函数y=xa，当a>0时，仅有一个零点0；当a≤0时，没有零点. 2．函数零点存在定理 (1)函数零点存在定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. (2)函数零点存在定理的几何意义： 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点. 3．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【题型1 求函数的零点】 【例1】（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）函数的零点为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【变式1-1】（25-26高一上·新疆喀什·期末）函数的零点为（   ） A．5 B．5或 C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·陕西榆林·期末）的零点为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·广东·期末）若函数有一个零点是1，则函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【题型2 零点存在性定理的应用】 【例2】（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·云南文山·阶段检测）已知函数的零点在区间内，则整数（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式2-2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）函数的零点所在的大致区间为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）函数的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 【题型3 求函数零点或方程根的个数】 【例3】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-1】（25-26高一上·河北廊坊·阶段检测）已知函数，若函数，则函数的零点个数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【变式3-2】（25-26高一上·河南·阶段检测）函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-3】（25-26高一上·天津·阶段检测）已知函数，则方程的解的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【题型4 根据函数零点（方程根）的个数求参数范围】 【例4】（25-26高一上·重庆九龙坡·期末）已知函数，其中为自然对数的底数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数，若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·北京密云·期末）已知函数函数．若有四个不同的零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高三上·江西萍乡·期中）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块三 用二分法求方程的近似解 【知识点2 用二分法求方程的近似解】 1．二分法 (1)二分法的定义： 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二， 使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点. 2．用二分法求方程的近似解 用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在 要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a, )包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内. 3．用二分法求函数零点的近似值的步骤 给定精确度ϵ，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点x0的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0. (2)求区间(a,b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c))，则令b=c； ③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b))，则令a=c. (4)判断是否达到精确度ϵ：若|a-b|<ϵ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4. 【题型5 用二分法求近似解的条件】 【例5】（25-26高一下·浙江杭州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高三下·上海金山·阶段检测）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   【变式5-2】（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）下列方程中不能用二分法求近似解的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 【题型6 用二分法求方程的近似解】 【例6】（25-26高一上·安徽·阶段检测）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 3 1.3418 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.85 【变式6-1】（25-26高三上·广东江门·阶段检测）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一下·江苏南京·期中）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 【题型7 用二分法求函数零点】 【例7】（25-26高一上·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 【变式7-2】（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·全国·课前预习）用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 模块四 函数模型的应用 【知识点3 函数模型的应用】 1．指数函数、对数函数模型 (1)指数型函数模型：f(x)=bax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). (2)对数型函数模型：f(x)=blogax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). 2．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 3．拟合函数模型的建立 (1)函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合). (2)函数拟合与预测的一般步骤 ①绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图； ②连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； ③列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； ④判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； ⑤预测：利用选取的拟合函数进行预测； ⑥结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据. 【题型8 指数函数模型】 【例8】（25-26高一上·江苏·期末）已知在某地区的某种群数量每年以的增长率呈指数增长.若经过4年增长为原来的倍，则增长为原来的2倍需要经过的年数约为（   ）（参考数据：） A．8 B．12 C．16 D．20 【变式8-1】（25-26高一上·辽宁朝阳·期末）著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·湖北·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高一上·湖南永州·期末）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数）.2024年考古学家挖掘出某生物标本，经研究发现该生物体内碳14残余量约占原始含量的81%，则可推断该生物死亡时间属于（    ）附：①参考数据：，②参考时间轴如图： A．东汉 B．三国 C．西晋 D．东晋 【题型9 对数函数模型】 【例9】（25-26高一上·河南·期末）已知声强的大小用声强级L（单位：dB）表示，声强级L与声强I（单位：）的关系式为： ，其中为参考声强（常数）．已知声强级为20dB时，声强为，在“马街书会”上河南坠子表演产生的声强的范围为，下表给出了声强级等级： 声强级 等级 I II III IV 则此坠子表演的声强等级是（    ） A．I B．II C．III D．IV 【变式9-1】（25-26高一上·河南郑州·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，9s后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 【变式9-2】（25-26高一上·北京房山·期末）北京时间2025年11月14日，航天员陈冬､陈中瑞､王杰乘坐神舟二十一号载人飞船成功返回地球，平安抵达北京，不仅带回了珍贵的科学实验数据；还见证了我国航天事业的多个“第一次”：载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压，声压级的单位为分贝（），声压的单位为帕（）：已知人正常说话的声压约为，火箭发射时的声压约为，人正常说话的声压级记为，火箭发射时的声压级记为，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知声强的大小用声强级（单位：）表示，声强级与声强（单位：）的关系式为：，其中为标准声强（常数）.当声强级为时，声强为，若某处广场舞音乐的声强的范围为，根据下表给出的噪音等级： 声强级 噪音 I Ⅱ Ⅲ IV 则该处音乐产生噪音的等级为（   ） A．I级 B．Ⅱ级 C．Ⅲ级 D．IV级 【题型10 建立拟合函数模型解决实际问题】 【例10】（25-26高一上·江西吉安·期末）某人拥有一辆价值20万元的轿车，已知轿车以每年8%的幅度贬值，则这个人至多几年后卖出这辆轿车，才不会以低于15万元的价格成交（参考数据：，）（    ） A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 【变式10-1】（2026·湖南益阳·二模）视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表： 小数记录 五分记录 现有如下函数模型：①，②，表示小数记录数据，表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为，则小明同学的小数记录数据为（附，，）（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2026高一上·福建厦门·专题练习）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数达到14万. 【变式10-3】（25-26高一上·广东佛山·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1min测量一次茶水温度，收集到以下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 85 79 73.6 68.74 64.34 60.24 设茶水温度从85°C开始，经过min后温度为℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律．现有以下两种函数模型供选择：①；② (1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式； (2)若茶水温度降至55°C时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ （参考数据：） 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·辽宁大连·期末）函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数，则该函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·四川成都·期末）声音的强弱通常用声强级（dB）和声强来描述，二者的数量关系为（为常数）．一般人能感觉到的最低声强为，此时声强级为0dB；能承受的最高声强为，此时声强级为120dB．若某人说话声音的声强级为60dB，则他说话声音的声强为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知池塘中的荷花每经过一天的生长，荷叶覆盖水面的面积都比前一天多，若荷叶生长30天时可以完全覆盖池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积的一半时，荷叶大约生长了参考数据：.（   ） A．26天 B．27天 C．28天 D．29天 7．（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·湖南永州·期末）下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·广西南宁·期中）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：周）的关系为（a为常数），则下列说法中正确的是（    ） A．时，浮萍面积不会超过 B．浮萍每周的面积与上周面积之比为定值 C．浮萍每周增加的面积都相等 D．若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，则 11．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且，则以下结论中正确的是（ ） A． B． C． D．方程有个不同的实数根 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·期末）已知函数，零点在区间为中，则自然数___________． 13．（2026高一·全国·专题练习）用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为___________． 14．（25-26高一上·湖北·阶段检测）物体在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ₁℃，空气的温度是θ₀℃，tmin后物体的温度θ℃满足关系式： 其中k 是正常数.现有90℃的物体放在 10℃的空气中冷却，3min后物体的温度为50℃，则此物体的温度降为20℃还需___________min. 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课堂例题）用二分法求函数在区间内的一个零点的近似值．（误差不超过0.01） 16．（2026·河南·模拟预测）已知，函数. (1)若，求的值； (2)若分别为的零点，求的值. 17．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中是正的常数.如果在前消除了的污染物，那么 (1)从过滤开始，经过后，污染物还剩百分之几？ (2)污染物减少50%大约需要花多少时间（精确到1h）？ 参考数据：． 18．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求函数的零点； (2)若函数恰好有两个零点，求实数的取值范围． 19．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）函数． (1)若，求函数的零点； (2)若函数在有两个不同的零点 ①求实数的取值范围； ②证明：． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $