第4章 清北突破课2 三角中的创新融合问题(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学讲义聚焦三角中的创新融合问题，覆盖解三角形与三角函数、平面向量交汇及新定义情境等高考核心考点，按“交汇问题—新定义问题”逻辑架构知识，通过考点解读、多维探究例题、解题方法总结、分层练习等环节，帮助学生构建综合应用体系，突破复杂问题分析难点。 讲义突出知识迁移与创新思维培养，采用“条件转化—模型构建—规律应用”教学策略，如将向量垂直条件转化为三角等式，引导学生用数学思维建立联系。设置基础到综合的梯度练习，配合即时方法指导，高效提升学生知识迁移能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

清北突破课2　三角中的创新融合问题 命题解读 “三角中的融合创新问题”聚焦解三角形与多知识模块的融合(如三角函数、平面向量等)及新定义情境，强调综合运用、知识迁移与创新思维，考查学生在复杂问题中的分析与解决能力． 考点一　解三角形与其他知识的交汇问题(多维探究) 角度1　解三角形与三角函数交汇 例1　设函数f(x)＝cos ＋2cos2x. (1)求f(x)的最大值，并写出使f(x)取最大值时x的集合； (2)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝，b＋c＝2，求a的最小值． 解：(1)由题意，得f(x)＝－cos2x－sin 2x＋(1＋cos 2x)＝cos 2x－sin 2x＋1＝cos ＋1，因为－1≤cos ≤1，所以0≤cos ＋1≤2，所以f(x)的最大值为2.此时2x＋＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ－x＝kπ－，k∈Z}． (2)由题意，得f(A)＝cos ＋1＝，所以cos ＝，因为A∈(0，π)，所以2A＋∈，所以2A＋，所以A＝，在△ABC中，b＋c＝2，cos A＝－，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2＋bc＝(b＋c)2－bc，又bc≤2＝1，所以a2＝(b＋c)2－bc≥4－1＝3，当且仅当b＝c＝1时取等号，所以a的最小值为 . 角度2　解三角形与平面向量交汇 例2　(2025·山东泰安二模)在钝角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(sin B，cos C)，n＝(cos C，－2sin A)，m⊥n. (1)若c＝ a，求cos C的值； (2)若△ABC的面积S＝a2，求的值． 解：(1)因为m＝(sin B，cos C)，n＝(cos C，－2sin A)，m⊥n，可得sin B cos C－2sin A cos C＝0，在钝角三角形ABC中，可得cos C≠0，所以sin B＝2sin A，由正弦定理可得b＝2a，再由c＝ a，由余弦定理可得cos C＝. (2)S△ABC＝ab sin C＝a·2a sin C＝a2，可得sin C＝，因为C∈(0，π)，可得C＝或.当C＝时，由余弦定理可得c＝ ＝ ＝ a，此时a2＋c2＝b2，则B＝，则该△ABC为直角三角形，不符合条件；当C＝时，由余弦定理可得：c＝ ＝ ＝ a，此时. 解决此类交汇问题核心是 “转化”—— 向量条件转化为三角或解三角形条件，三角函数式转化为最简形式，解三角形中边与角相互转化，再借助三角性质、基本不等式等工具求解，需熟练掌握各知识模块的联系与转化技巧． 1．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin A，cos B)，p＝(1，1)． (1)若m∥n，求角B的大小； (2)若m·p＝4，c＝2，求△ABC的面积的最大值． 解：(1)因为m∥n，所以a cos B＝b sin A，所以2R sin A cos B＝2R sin B sin A，又A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos B＝sin B，所以tan B＝1.因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)由m·p＝4得a＋b＝4，由基本不等式有ab≤2＝4(当且仅当a＝b＝2时，等号成立)，又cos C＝(当且仅当a＝b＝2时，等号成立)，所以C∈，从而sin C∈，于是S△ABC＝ab sin C≤ ，即当a＝b＝2时，△ABC的面积有最大值 . 2．设函数f(x)＝m·n，其中向量m＝(2sin x，1)，n＝. (1)求函数f(x)的最小正周期与单调递增区间； (2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知f(A)＝0，b＝1，△ABC的面积为，判断△ABC的形状，并说明理由． 解：(1)因为向量m＝(2sin x，1)，n＝，所以f(x)＝m·n＝－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x－1＋ sin 2x＝2(cos 2x＋－1＝2sin －1，所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π；令－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，k∈Z，则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为[＋kπ，](k∈Z)． (2)△ABC是直角三角形．理由如下：因为f(A)＝0，所以2sin －1＝0，所以sin ＝，因为0<A<π，所以<2A＋<，所以2A＋，所以A＝，因为△ABC的面积为，b＝1，所以bc sin A＝，所以，所以c＝2，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝1＋4－2×1×2×＝3，所以a＝ ，所以a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形． 考点二　新定义问题(师生共研) 例3　已知函数f(x)＝a sin x＋b cos x，称向量p＝(a，b)为f(x)的特征向量，f(x)为p的特征函数． (1)设g(x)＝2sin (π－x)＋sin ，求g(x)的特征向量； (2)设向量p＝的特征函数为f(x)，求当f(x)＝且x∈()时，sin x的值； (3)设向量p＝(的特征函数为f(x)，记h(x)＝f2(x)－，若h(x)在区间[a，b]上至少有40个零点，求b－a的最小值． 解：(1)因为g(x)＝2sin (π－x)＋sin ＝2sin x－cos x，所以函数g(x)的特征向量p＝(2，－1)． (2)因为向量p＝的特征函数为f(x)，所以f(x)＝＋cos x＝2sin ，由f(x)＝，得sin ＝，因为x∈()，所以x＋∈，所以cos ＝，所以sin x＝sin [－]＝. (3)因为向量p＝(的特征函数为f(x)，所以f(x)＝－sin x＋cos x＝cos ，则h(x)＝f2(x)－＝cos2－cos＋，则T＝＝π.令h(x)＝0，则cos ＝－，则2x＋＋2kπ或＋2kπ，k∈Z，则x＝＋kπ或＋kπ，k∈Z，由h(x)在区间[a，b]上至少有40个零点，不妨设a＝，则b≥＋19T＋＝＋19T，则b－a≥＋19π＝，所以b－a的最小值为. 在三角函数与解三角形背景下的新定义问题中，解题方法通常涉及对三角函数性质、解三角形方法的深入理解以及灵活应用．以下是一些常用的解题方法： (1)理解新定义：首先，需要仔细阅读题目中的新定义，理解其含义和所涉及的数学概念．将新定义与已知的三角函数或解三角形的方法联系起来，找出其中的关联点． (2)利用三角函数性质：应用三角函数的定义、诱导公式、同角关系式等，将问题转化为已知的三角函数问题．利用三角函数的图象和性质，如周期性、奇偶性、单调性等，来分析和解决问题． (3)应用解三角形的方法：使用正弦定理、余弦定理等解三角形的基本方法，将三角形的边和角联系起来．通过作辅助线、构造特殊三角形等方式，将复杂问题转化为简单问题． (4)结合图形分析：在解题过程中，结合图形进行分析，可以更直观地理解问题．利用图形的对称性、相似性等性质，简化计算过程． 由倍角公式cos 2θ＝2cos2θ－1，可知cos2θ可以表示为cos θ的二次多项式．对于cos 3θ，我们有cos 3θ＝cos (2θ＋θ)＝cos 2θcos θ－sin 2θsin θ＝(2cos2θ－1)cosθ－2sin2θcosθ＝2cos3θ－cosθ－2(1－cos2θ)cosθ＝4cos3θ－3cosθ， 可见cos 3θ也可以表示成cos θ的三次多项式． (1)利用上述结论，求sin 18°的值； (2)化简cos (60°－θ)cos (60°＋θ)cos θ；并利用此结果求sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°的值． 解：(1)90°＝2×18°＋3×18°，所以cos 54°＝sin 36°，因为cos 54°＝sin 36°⇔4cos318°－3cos18°＝2sin 18°cos 18°，因为cos 18°>0，4cos218°－3＝2sin18°⇔4(1－sin218°)－3＝2sin18°，即4sin218°＋2sin18°－1＝0，因为sin 18°>0，解得sin 18°＝舍去)． (2)cos (60°－θ)cos (60°＋θ)cos θ＝(cos θ＋cos θ－cos θ＝(cos2θ－)cosθ＝cosθ＝(4cos3θ－3cosθ)＝cos 3θ，故sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°＝cos 70°cos 50°cos 10°＝cos (60°＋10°)cos (60°－10°)cos 10°＝cos 30°＝. 学科网（北京）股份有限公司 $