第3章 培优增分3 函数中的构造问题(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学讲义聚焦函数构造这一高考压轴题核心考点，围绕导数工具证明不等式、求参数范围等考查要求，按导数运算法则、变量、数值构造三个维度系统梳理，通过考点解读、典例精讲、方法总结、分层练习环节，帮助学生建立构造函数的解题框架。 讲义特色在于将导数运算法则与函数构造深度融合，如通过e^x与f(x)、x^n与f(x)等形式的构造训练，培养学生的数学思维和抽象能力。设置多维探究、师生共研等教学活动，配合真题变式练习，确保学生在有限时间内掌握构造技巧，为教师把控复习节奏和提升学生应考能力提供有效支撑。

培优增分3　函数中的构造问题 命题解读 近几年高考数学客观题多以导数为工具来证明不等式、求不等式的解集或求参数的取值范围作为压轴题，这类试题结构独特、技巧性高、综合性强，而构造函数是解决导数问题的基本方法． 考点一　通过导数的运算法则构造函数(多维探究) 角度1　利用f(x)与ex构造 例1　设函数y＝f(x)，x∈R的导函数为f′(x)，且f(－x)＝f(x)，f′(x)<f(x)，则下列不等式成立的是(　　) A．f(0)<e-1f(1)<e2f(2) B．e2f(2)<f(0)<e-1f(1) C．e2f(2)<e-1f(1)<f(0) D．e-1f(1)<f(0)<e2f(2) 解析：D　由题意，构造函数g(x)＝e－x·f(x)，可得g′(x)＝(e－x)′·f(x)＋e－x·f′(x)＝－e－xf(x)＋e－xf′(x)＝e－x(f′(x)－f(x))，因为f′(x)<f(x)，所以g′(x)＝e－x(f′(x)－f(x))<0，所以函数g(x) 为R上的减函数，所以g(－2)>g(0)>g(1)，因为g(0)＝e0f(0)＝f(0)，g(－2)＝e2f(－2)，g(1)＝e-1f(1)，由f(－x)＝f(x)，可得g(－2)＝e2f(－2)＝e2f(2)，所以e-1f(1)<f(0)<e2f(2).故选D. 常用的构造形式有exf(x)，enxf(x)，，这类形式一方面是对uv，型函数的导数运算的考察，另外一方面也是对(ex)′＝ex，(enx)′＝nenx的考察．具体有以下情形： (1)对于f′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝exf(x)； (2)对于f′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝； (3)对于f′(x)＋nf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝enxf(x)； (4)对于f′(x)－nf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝. 角度2　利用f(x)与xn构造 例2　(1)设f(x)是定义域为R的奇函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　) A.(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞) 解析：A　令g(x)＝，则g′(x)＝，所以当x>0 时，g′(x)<0，所以g(x) 在(0，＋∞) 上单调递减．又f(x) 为奇函数，所以g(x) 为偶函数，所以g(x) 在(－∞，0) 上单调递增．又f(1)＝－f(－1)＝0，即g(1)＝g(－1)＝0.而f(x)>0 等价于 或 即 或 所以x<－1 或0<x<1.所以f(x)>0 的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．故选A. (2) 已知f(x)是定义在R上的连续不断的奇函数，且f′(x)是f(x)的导函数，若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，且f(2)＝，则不等式f(x)－>0的解集为________________． 解析：令g(x)＝x2f(x)，可得g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，因为对于任意的x∈(0，＋∞)，都有2f(x)＋xf′(x)>0 成立，可得g′(x)>0，所以函数g(x) 在(0，＋∞) 上单调递增，又因为f(x) 是定义在R上的奇函数，可得g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，所以g(x) 是定义在R上的奇函数，可得g(x) 在(－∞，0) 上单调递增，因为f(x) 在R上连续不断，则g(x) 在R上连续不断，所以函数g(x) 在R上单调递增，由不等式f(x)－>0，得x2f(x)－2>0，即g(x)>2，因为f(2)＝，可得g(2)＝22f(2)＝2，所以g(x)>g(2)，可得x>2，所以不等式f(x)－>0 的解集为(2，＋∞)． 答案： (2，＋∞) 常用的构造形式有xf(x)，xnf(x)，，这类形式是对uv，型函数的导数运算的推广及应用，具体有以下情形： (1)如果题目中出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造函数F(x)＝xnf(x)； (2)如果题目中出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝. 角度3　利用f(x)与sin x，cos x构造 例3　已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈(0，π)，有f′(x)sin x>f(x)cos x，设a＝2f，b＝ f，c＝，则a，b，c的大小关系为________________________________________________________________________． (用“< ”连接) 解析：构造函数F(x)＝，x≠kπ ，k∈Z，则x∈(0，π) 时，F′(x)＝>0，所以函数F(x)在(0，π) 上单调递增，因为<<，故F<F<F，即< f<f，所以a<b<c. 答案：a<b<c 由于sin x，cos x的导函数存在一定的特殊性，且它们之间可以相互转化，所以在构造函数时要充分考虑到这一点，具体有以下情形： (1)对于f′(x)sin x＋f(x)cos x>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)sin x； (2)对于f′(x)sin x－f(x)cos x>0(或<0)，构造函数F(x)＝； (3)对于f′(x)cos x＋f(x)sin x>0(或<0)，构造函数F(x)＝； (4)对于f′(x)cos x－f(x)sin x>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)cos x. 1. 已知函数f(x)的定义域为(－∞，0)，f(－1)＝－1，其导函数f′(x)满足xf′(x)－2f(x)>0，则不等式f(x＋2025)＋(x＋2025)2<0的解集为(　　) A．(－2026，0) B．(－2026，－2025) C．(－∞，－2026) D．(－∞，－2025) 解析：B　根据题意可令g(x)＝(x<0)，则g′(x)＝<0，所以g(x)＝ 在(－∞，0) 上单调递减，原不等式等价于<－1，由g(x＋2025)＝<－1＝g(－1)，则－1<x＋2025<0，解得x∈(－2026，－2025)．故选B. 2. 已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，且当x>0时，f′(x)sin x＋f(x)cos x>0，则下列不等式成立的是(　　) A．f<－f<－f B．－f<f<－f C．－f<－f<f D．－f<f<－f 解析：D　由f(x－1) 的图象关于点(1，0) 对称可知，f(x)的图象关于点(0，0) 对称，则f(x) 为奇函数．令g(x)＝f(x)sin x，则g(x) 为偶函数，又当x>0 时，f′(x)sin x＋f(x)cos x>0，即g′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x>0，则g(x) 在(0，＋∞) 上单调递增，则有＝g<g<g，即f<f<－f，故<f<－f.故选D. 3．若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＋2f(x)>0，且f(0)＝1，则不等式f(x)>的解集为________________． 解析：构造F(x)＝f(x)e2x，所以F′(x)＝＋f(x)·2e2x＝e2x[f′(x)＋2f(x)]>0，所以F(x) 在R上单调递增，且F(0)＝f(0)e0＝1，不等式f(x)> 可化为f(x)e2x>1＝F(0)，即F(x)>F(0)，由F(x) 的单调性可知x>0，所以原不等式的解集为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 考点二　通过变量构造具体函数(师生共研) 例4　若实数a，b，c∈[0，1]，且满足ae＝ea，be1.2＝1.2eb，ce1.6＝1.6ec，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a 解析：C　由ae＝ea，be1.2＝1.2eb，ce1.6＝1.6ec，得.令f(x)＝，则f′(x)＝，当x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，于是f(1)>f(1.2)>f(1.6)，即f(a)>f(b)>f(c)，又a，b，c∈[0，1]，所以a>b>c.故选C. 若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边，即可构造函数，并且利用函数的单调性求解． (多选)已知x，y∈R，若2(e2y－ex)＝(y－x)(y＋x＋2)，则下列关系式能成立的是(　　) A．y>x>0 B．x>y>0 C．x<y<0 D．x＝y＝0 解析：BCD　当x＝y＝0时，等式成立，故D正确；若2(e2y－ex)＝(y－x)(y＋x＋2)，则e2y－－y＝ex－－x.设f(x)＝ex－－x，则f′(x)＝ex－x－1， 令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1， 当x<0时，g′(x)<0； 当x>0时，g′(x)>0. 所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(0)＝0， 即f′(x)≥0恒成立，所以f(x)单调递增． 当y>0时，ex－－x＝e2y－－y>ey－－y，即f(x)>f(y)，所以x>y>0，故B正确，A错误；当y<0时，ex－－x＝e2y－－y<ey－－y，即f(x)<f(y)，所以x<y<0，故C正确．故选BCD. 考点三　通过数值构造具体函数(师生共研) 例5　设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b 解析：C　因为ex≥x＋1，当且仅当x＝0时，有ex＝x＋1，所以当x＝－0.1时，e-0.1>1－0.1＝，于是e0.1<，a＝0.1e0.1<＝b.设函数f(x)＝xex＋ln (1－x)，则f′(x)＝(x＋1)ex－. 当0≤x≤0.1时，(1－x2)ex－1≥(1－x2)(x＋1)－1＝x(1－x－x2)≥0，所以f′(x)≥0，f(x)在[0，0.1]上单调递增，有f(0.1)>f(0)＝0，即0.1e0.1＋ln 0.9>0，所以a>c.故c<a<b.故选C. 当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小． 实数e3，3π，π3的大小关系为_________________________． 解析：设f(x)＝，则f′(x)＝，当x>e时，f′(x)<0，所以f(x)在(e，＋∞)上单调递减，所以f(3)>f(π)，即>，所以πln 3>3ln π，所以ln 3π>ln π3，即3π>π3.因为y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，e<π，所以e3<π3，所以e3<π3<3π. 答案：e3<π3<3π 学科网（北京）股份有限公司 $