第3章 第3节 导数与函数的极值、最值(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学讲义聚焦导数与函数的极值、最值高考核心考点，依据课标要求梳理极值的必要与充分条件、极值及最值的求解方法，按“概念辨析—考点探究—真题应用”逻辑架构知识体系，通过表格梳理、步骤总结、例题精讲等环节帮助学生构建解题框架。 讲义突出数学思维与直观结合，如借助导函数图象判断极值培养几何直观，通过分类讨论参数对极值点的影响发展推理能力。设计基础巩固、能力提升分层练习，结合高考真题改编题即时反馈，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供系统指导。

第3节　导数与函数的极值、最值 课标解读 1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．　2.会用导数求函数的极大值、极小值．　3.会求闭区间上函数的最大值、最小值． 1．函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0 x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 2.函数的最值与导数 (1)如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值； (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 1．若函数f(x)在(a，b)上是单调函数，则f(x)在(a，b)上无极值． 2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则该极值点一定是函数相应的最值点． 1．(人A选修二P92T1改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：A　由题意知，只有在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f(x)的极小值点只有1个．故选A. 2．(人A选修二P95例7改编)函数f(x)＝2x－x ln x的极大值是(　　) A． B． C．e D．e2 解析：C　f′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x．令f′(x)＝0，得x＝e.当0＜x＜e时，f′(x)＞0；当x＞e时，f′(x)＜0.所以x＝e时，f(x)取到极大值，f(x)极大值＝f(e)＝e.故选C. 3．(人A选修二P104T9改编)若函数f(x)＝ex＋ax在x＝2处取得极值，则a＝________． 解析：因为f(x)＝ex＋ax在x＝2处取得极值，所以f′(2)＝e2＋a＝0，解得a＝－e2，经检验，符合题意． 答案：－e2 4．(人A选修二P93例6改编)已知f(x)＝x3－12x＋1，x∈，则f(x)的最大值为________，最小值为________． 解析：f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，因为x∈，所以f′(x)＜0，故f(x)在上单调递减，所以f(x)的最大值为＝，最小值为f(1)＝－10. 答案：　－10 考点一　利用导数求函数的极值(多维探究) 角度1　根据函数图象判断极值 例1　(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．f(x)有两个极值点 B．f(0)为f(x)的极大值 C．f(x)有两个极小值点 D．f(－1)为f(x)的极小值 解析：BC　根据g(x)＝xf′(x)的图象，可得当x<－2时，g(x)＝xf′(x)>0，可得f′(x)<0，即f(x)单调递减，当－2<x<0时，g(x)＝xf′(x)<0，可得f′(x)>0，即f(x)单调递增，当0<x<1时，g(x)＝xf′(x)<0，可得f′(x)<0，即f(x)单调递减，当x>1时，g(x)＝xf′(x)>0，可得f′(x)>0，即f(x)单调递增，因此f(x)在x＝－2和x＝1处取得极小值，在x＝0处取得极大值，共3个极值点，A错误，C正确；f(0)为f(x)的极大值，B正确；f(－1)不是f(x)的极小值，D错误．故选BC. 角度2　求函数的极值 例2　已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)． (1)当a＝时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数． 解：(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x)  ln 2－1  故f(x)在定义域上的极大值为f(2)＝ln 2－1，无极小值． (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝(x＞0)．当a≤0时，f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，则函数在(0，＋∞)上是增函数，此时函数在定义域上无极值点；当a＞0时，若x∈，则f′(x)＞0，若x∈，则f′(x)＜0，故函数在x＝处有极大值．综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点； 当a＞0时，函数f(x)有一个极大值点，且为. 求函数的极值或极值点的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)，求方程f′(x)＝0的根； (3)检查在方程的根的左右两侧f′(x)的符号，确定极值点和函数的极值． 　已知函数f(x)＝ln x＋2ax2＋2(a＋1)x(a≠0)，讨论函数f(x)的极值． 解：因为f(x)＝ln x＋2ax2＋2(a＋1)x，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝， 若a<0，则当x∈时，f′(x)>0， 当x∈时，f′(x)<0，故函数f(x)在上单调递增，在上单调递减； 故f(x)在x＝－处取得唯一的极大值，且极大值为f＝ln －－1. 若a>0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值． 综上，当a<0时，f(x)的极大值为ln －－1，无极小值；当a>0时，f(x)无极值． 考点二　根据极值求参数(师生共研) 例3　(2025·山东临沂二模节选)已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x. (1)当a>0时，讨论f(x)的单调性； (2)设函数g(x)＝f(x)＋ax，已知g(x)有两个极值点x1，x2，试求a的取值范围． 解：(1)对函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x求导得，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋(x>0)，若a>0，则f′(x)＝(x>0)，若a＝2，f′(x)＝≥0(x>0)，此时f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递增；若0<a<2，则>，当0＜x<或x>时，f′(x)>0，当<x<时，f′(x)<0，此时f(x)在上单调递增，在上单调递减；若a>2，则0<<，当0＜x<或x>时，f′(x)>0，当<x<时，f′(x)<0，此时f(x)在上单调递增，在上单调递减， 综上所述，若a＝2，则f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递增； 若0<a<2，则f(x)在上单调递增，在上单调递减； 若a>2，则f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)g(x)＝f(x)＋ax＝ax2－(a＋2)x＋ln x＋ax＝ax2－2x＋ln x(x>0)，求导得g′(x)＝2ax－2＋(x>0)，因为g(x)有两个极值点x1，x2，所以g′(x)＝2ax－2＋＝0(x>0)有两个“变号”零点，即a＝2＋(x>0)有两个零点，令t＝(x>0)⇒t>0，t，x是一一对应的，从而a＝(t－1)2＋(t>0)有两个零点，设h(t)＝－(t－1)2＋，该二次函数开口向下，对称轴是t＝1，注意到t>0，所以h(0)＝0<a<h(1)＝，即a的取值范围是. 已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． 提醒　若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内不是单调函数． 已知函数f(x)＝a ln x＋的极小值点，求实数b的取值范围． 　解：由题意可得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.因为x＝1是f(x)的极小值点，则f′(1)＝－1＋a－b＝0，所以a＝b＋1，则f′(x)＝.若b≤0时，令f′(x)＞0，所以0＜x＜1，令f′(x)＜0，所以x＞1，则f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，此时x＝1是f(x)的极大值点，不满足题意．若0＜b＜1时，令f′(x)＞0，所以b＜x＜1，令f′(x)＜0，所以0＜x＜b或x＞1，则f(x)在(b，1)上单调递增，在(0，b)，(1，＋∞)上单调递减，此时x＝1是f(x)的极大值点，不满足题意．若b＝1，则f′(x)＝－≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无极值，不满足题意．若b＞1，令f′(x)＞0，所以1＜x＜b，令f′(x)＜0，所以0＜x＜1或x＞b，则f(x)在(1，b)上单调递增，在(0，1)，(b，＋∞)上单调递减，此时x＝1是f(x)的极小值点，满足题意．所以x＝1是f(x)的极小值点时，b＞1，即实数b的取值范围为(1，＋∞)． 考点三　求函数的最值(师生共研) 例4　(1)函数f(x)＝x＋sin x在x∈[0，2π]上的最大值是________，最小值是________． 解析：f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，又x∈[0，2π]，解得x＝或x＝，计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝，f＝.所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π. 答案：π　0 (2)(2025·广东茂名一模节选)已知函数f(x)＝ln x－ax2＋1.若函数f(x)的最大值为0，求实数a的值． 解：函数f(x)＝ln x－ax2＋1的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无最大值，故舍去；当a>0时，令1－2ax2＝0，解得x1＝－ ，x2＝ ，所以当x∈时，f′(x)>0，即f(x)在上单调递增，当x∈时，f′(x)<0，即f(x)在上单调递减，所以f(x)在x＝ 处取得极大值，即最大值，即f＝0，所以f＝－a2＋1＝0，即－ln (2a)－＋1＝0，即ln (2a)＝1，所以a＝. 1．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较可得到函数的最值． 2．若所给函数f(x)含参数，则需通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值． 　已知函数f(x)＝－ln x(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)求f(x)在上的最大值g(a)． 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝， ①若a≤0，则f′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减； ②若a＞0，则当x＞a时，f′(x)＜0；当0＜x＜a时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减． (2)因为f′(x)＝，由(1)知，当a≤时，f(x)在上单调递减，所以f(x)max＝＝2－ae； 当＜a＜e时，f(x)在上单调递增，在[a，e]上单调递减，所以f(x)max＝f(a)＝－ln a； 当a≥e时，f(x)在上单调递增， 所以f(x)max＝f(e)＝－， 综上，g(a)＝ 高考题　(2025·全国二卷T13)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝________． 解析：法一：因为f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)＝x3－(a＋3)x2＋(3a＋2)x－2a，所以f′(x)＝3x2－2(a＋3)x＋3a＋2. 因为x＝2是f(x)的极值点，所以f′(2)＝12－4(a＋3)＋3a＋2＝0，解得a＝2，经检验，符合题意，所以f(x)＝(x－1)(x－2)2，所以f(0)＝－4. 法二：f′(x)＝(x－2)(x－a)＋(x－1)(x－a)＋(x－1)(x－2)，因为x＝2是f(x)的极值点，所以f′(2)＝2－a＝0，得a＝2，经检验，符合题意，所以f(x)＝(x－1)(x－2)2，所以f(0)＝－4. 答案：－4 教材题　(人A选修二P104T9)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，求c的值． 点评：两题均围绕函数极值点展开，都是已知函数极值情况求参数问题，核心是通过导数研究函数在特定点的极值性质，需结合极值点处导数为零及导数符号变化趋势分析求解，体现了利用导数解决极值问题的通用思路． 结论1：三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象关于点(，f中心对称． 结论2：已知三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)中心对称点的横坐标为x0，两个极值点分别为x1，x2，则f′(x0)＝ 结论3：若y＝f(x)的图象关于点(m，n)对称，则y＝f′(x)的图象关于直线x＝m对称，中心对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是中心对称函数，奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 典例　已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心，若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且M(，f(x0))为曲线y＝f(x)的对称中心，则必有g′(x0)＝0(其中函数g(x)＝f′(x))．若实数m，n满足则m＋n＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 解析：A　令f(x)＝x3＋6x2＋13x，则f′(x)＝3x2＋12x＋13，令h(x)＝3x2＋12x＋13，h′(x)＝6x＋12＝0，解得x＝－2，又f(－2)＝(－2)3＋6×(－2)2＋13×(－2)＝－10，所以函数f(x)的图象关于点(－2，－10)成中心对称．因为所以f(m)＋f(n)＝－20，又f′(x)＝3x2＋12x＋13＝3(x＋2)2＋1>0，所以函数f(x)＝x3＋6x2＋13x在R上单调递增，所以m＋n＝2×(－2)＝－4.故选A. (多选)(2024·新课标Ⅱ卷T11)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则(　　) A．当a>1时，f(x)有三个零点 B．当a<0时，x＝0是f(x)的极大值点 C．存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴 D．存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心 解析：AD　由题可知，f′(x)＝6x(x－a)．对于A，当a>1时，由f′(x)<0，得0<x<a，由f′(x)>0，得x<0或x>a，则f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，且当x→－∞时，f(x)→－∞，f(0)＝1，f(a)＝－a3＋1<0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，故f(x)有三个零点，A正确；对于B，当a<0时，由f′(x)<0得a<x<0，由f′(x)>0，得x>0或x<a，则f(x)在(－∞，a)上单调递增，在(a，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故x＝0是f(x)的极小值点，B错误；对于C，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，当x→－∞时，f(x)→－∞，故曲线y＝f(x)必不存在对称轴，C错误；对于D，法一：f(x)＝2x3－3ax2＋1＝23－a2＋1－，令t＝x－，则f(x)可转化为g(t)＝2t3－，由y＝2t3－a2t为奇函数，且其图象关于原点对称，可知g(t)的图象关于点对称，则f(x)的图象关于点对称，故存在a＝2，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心，D正确．故选AD. 法二：任意三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象均关于点(，f成中心对称，D正确．故选AD. 学科网（北京）股份有限公司 $