第3章 第1节 导数的概念及其意义、导数的运算(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学讲义聚焦导数的概念、几何意义及运算核心考点，按“概念生成—公式法则—应用拓展”逻辑架构知识，通过课标解读、知识点梳理、考点分层探究及真题训练，帮助学生系统构建知识网络，突破切线问题等难点。 资料以数学思维培养为特色，如通过实例抽象导数概念发展抽象能力，在切线问题中引导建立方程推理求解，设置基础到高考真题的分层练习，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供系统指导。

第1节　导数的概念及其意义、导数的运算 课标解读 1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景；通过函数图象直观理解导数的几何意义．　2.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ 的导数．　3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． 1．导数的概念 (1)平均变化率：对于函数y＝f(x)，我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率； (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率的导数，记作f′(x0)或y′|x＝，即f′(x0)＝＝； (3)导函数：当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝； (4)复合函数的导数：复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x． 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处切线的斜率，相应的切线方程为y－y0＝k(x－x0)，其中k＝＝f′(x0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα-1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ax ln a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ 4．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 1．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数． 2．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f′(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 3．[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)． 1．(人A选修二P59探究改编)跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为(　　) A．9.1米/秒 B．6.75米/秒 C．3.1米/秒 D．2.75米/秒 解析：C　h′(t)＝－9.8t＋8，所以h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1米/秒．故选C. 2．(人A选修二P71T10改编)函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为(　　) 解析：B　由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)＜0.故选B. 3．(人A选修二P81习题T1改编)下列函数的求导运算正确的是(　　) A．(x-2)′＝－2x B．(x cos x)′＝cos x－x sin x C．(ln 10)′＝ D．(e2x)′＝2ex 解析：B　因为(x-2)′＝－2x-3，故A错误；(x cos x)′＝cos x－x sin x，故B正确；(ln 10)′＝0，故C错误；(e2x)′＝2e2x，故D错误．故选B. 4．(人A选修二P81T5改编)曲线y＝在点处的切线方程为___________． 解析：因为y′＝，所以曲线y＝在点P处的切线斜率为－.即所求的切线方程为y－0＝－，即y＝－x＋1. 答案：y＝－x＋1 考点一　导数的概念及运算(师生共研) 例1　(1)(多选)下列求导运算正确的是(　　) A．(ln 7)′＝ B．[(x2＋2)sin x]′＝2x sin x＋(x2＋2)cos x C．′＝ D．[ln (3x＋2)]′＝ 解析：BC　(ln 7)′＝0，故A错误；[(x2＋2)sin x]′＝2x sin x＋(x2＋2)cos x，故B正确；′＝，故C正确；[ln (3x＋2)]′＝，故D错误．故选BC. (2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝2xf′＋sin x，则f 等于(　　) A. B． C． D．－ 解析：A　因为f(x)＝2xf′＋sin x，所以f′(x)＝2f′＋cos x，令x＝，则f′＝2f′＋cos ，f′＝－，则f(x)＝－x＋sin x，所以f ＝－＋sin .故选A. (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 1．(2026·河南濮阳一模)已知函数f(x)＝ln (ax－1)的导函数是f′(x)，且f′(2)＝2，则实数a的值为(　　) A． B． C． D．1 解析：B　f′(x)＝，则f′(2)＝＝2，解得a＝.故选B. 2．已知f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)＋2025，则f′(0)＝________． 解析：令g(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)， 则f(x)＝xg(x)＋2025， 所以f′(x)＝g(x)＋xg′(x)， 所以f′(0)＝g(0)＝1×2×3×4＝24. 答案：24 考点二　导数的几何意义(多维探究) 角度1　求切线方程 例2　已知曲线f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)曲线在点(2，f(2))处的切线方程为____________； (2)曲线过点(2，f(2))的切线方程为________． 解析：(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，所以曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0. (2)设切点坐标为，因为f′(x0)＝－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(x－2)，又切线过点，所以(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，所以曲线f(x)过点(2，f(2))的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0. 答案：(1)x－y－4＝0　(2)x－y－4＝0或y＋2＝0 角度2　求曲线的切点坐标 例3　(1)已知曲线f(x)＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则切点的横坐标为________． 解析：由题意得，f′(x)＝x＋1，因为曲线f(x)的一条切线的斜率是3，所以令f′(x)＝x＋1＝3，解得x＝2，所以切点的横坐标为2. 答案：2 (2)过点(0，－1)作曲线f＝ln x(x>0)的切线，则切点坐标为________． 解析：由题意，得f(x)＝ln x2＝2ln x，则f′(x)＝，设切点坐标为(x0，2ln x0)，显然(0，－1)不在曲线f(x)上，则，解得x0＝ ，则切点坐标为. 答案： 角度3　求与切线有关的参数 例4　(1)已知直线y＝ax－1与曲线y＝相切，则a的值为(　　) A．1 B． C． D．2e2 解析：A　y＝的导函数y′＝， 设切点坐标为(x0，y0)，则 故即－1，则2ln x0＋x0－1＝0. 易知函数f(x)＝2ln x＋x－1为增函数，且f(1)＝0，即x0＝1，所以a＝＝1.故选A. (2)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_________________． 解析：因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex. 设切点为，O为坐标原点， 依题意得，切线斜率kOA＝y′|x＝＝(x0 ＋a＋1)ex0， 所以切线的方程为(x－x0)， 又切线过原点，所以(－x0)， 整理得＋ax0－a＝0. 因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程＋ax0－a＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0. 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”． 1．若过点(1，2)可作曲线y＝x3＋ax的三条切线，则实数a的取值范围是(　　) A．(－3，－1) B．(－2，－1) C．(1，2) D．(1，3) 解析：C　求导得y′＝3x2＋a，设切点，所以在点P处的切线方程为y－＝(x－x0)，因为切线过点(1，2)，所以2－(1－x0)，整理得－a＋2＝0，即a－2＝，设g(x)＝，g′(x)＝－6x0＝6x0(x0－1)，当0＜x0＜1时，g′(x)＜0，当x0＜0或x0＞1时，g′(x)＞0，所以函数在区间(0，1)上单调递减，在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调递增，所以函数的极大值是g(0)＝0，函数的极小值是g(1)＝－1，若函数g(x)与y＝a－2有3个交点，则－1＜a－2＜0，即1＜a＜2.故选C. 2．已知函数f(x)＝a ln (3x＋1)－x2＋b，a，b∈R，若曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＝3x＋2，则a＋b＝________． 解析：由函数f(x)＝a ln (3x＋1)－x2＋b，得f(0)＝b，由f′(x)＝－2x，可得f′(0)＝3a，因为曲线y＝f(x) 在x＝0 处的切线方程为y＝3x＋2，所以 解得 则a＋b＝3. 答案：3 考点三　两曲线的公切线(师生共研) 例5　(1)已知函数f(x)＝，g(x)＝3ln x，若直线l与曲线y＝f(x)及y＝g(x)均相切，且切点相同，则公切线l的方程为________． 解析：设切点坐标为(x0，y0)， 由得解得x0＝e，所以g(x0)＝3ln x0＝3，故切线方程为y－3＝(x－e)，即y＝x. 答案：y＝x (2)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，则b＝________． 解析：设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2相切于点(x1，ln x1＋2)，与曲线y＝ln (x＋1)相切于点(x2，ln (x2＋1))，则切线分别为y－(ln x1＋2)＝(x－x1)，y－ln (x2＋1)＝(x－x2)，因为这两条切线表示同一条直线， 所以 解得x1＝，所以b＝ln x1＋1＝1－ln 2. 答案：1－ln 2 公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解． 1．若直线l是曲线y＝ln x－1与y＝ln (x－1)的公切线，则直线l的方程为(　　) A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋1 D．y＝ex 解析：A　由y＝ln x－1，得y′＝，由y＝ln (x－1)，得y′＝.设直线l 与曲线y＝ln x－1 相切于点(x1，ln x1－1)，与曲线y＝ln (x－1) 相切于点(x2，ln (x2－1))，则，故x1＝x2－1.又，解得x1＝1，x2＝2，所以直线l 过点(1，－1)，斜率为1，即直线l 的方程为y＝x－2.故选A. 2．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m＝________． 解析：依题意，设曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同．因为f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，所以f′(x)＝2x，h′(x)＝－4， 所以 即 因为x0＞0，所以x0＝1，m＝5. 答案：5 高考题　(1)(2025·全国一卷T12)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝________． 解析：法一：由y＝ex＋x＋a，得y′＝ex＋1.设切点为P(x0，y0)，由直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，得解得 法二：设切点为P(x0，y0)，则y′|x＝＝ex0＋1＝2，所以x0＝0，因此y0＝2x0＋5＝5.因为点P(0，5)在曲线y＝ex＋x＋a上，所以a＝4. 答案：4 (2)(2024·新课标Ⅰ卷T13)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________． 解析：由题，令f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，所以f′(0)＝2，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g′(x)＝，设直线y＝2x＋1与曲线y＝g(x)相切于点(x0，y0)，则＝2，得x0＝－，则y0＝2x0＋1＝0， 所以0＝ln ＋a，所以a＝ln 2. 答案：ln 2 教材题　(1)(人A选修二P82T11)设曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，求a的值． (2)(人A选修二P104T13)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(2a＋3)x＋1只有一个公共点，求a的值． 点评：高考题(1)与教材题(1)均基于导数的几何意义，通过“切线处导数等于切线斜率”及“切点在曲线和切线上”的条件建立方程组求参数，前者直接用已知切线方程，后者利用切线与已知直线垂直关系确定斜率，核心方法一致． 高考题(2)与教材题(2)均为曲线公切线问题，核心是通过导数求切线方程，再利用相切条件(切点函数值与导数值匹配或方程联立后有唯一解)建立等式求解参数，体现了导数几何意义与方程思想的统一应用． 学科网（北京）股份有限公司 $