第2章 培优增分2 抽象函数的性质(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学讲义聚焦抽象函数性质综合应用这一高考热点，系统梳理奇偶性与单调性、周期性、对称性及多性质综合四大考点，通过命题解读明确考查要求，师生共研典例提炼解题方法，配合分层练习强化应用，帮助学生构建知识网络突破难点。 资料以“性质转化”为主线创新教学策略，如例1通过构造g(x)=f(x)-4x²将抽象不等式转化为单调性问题，培养学生数学思维与推理能力。设置基础到综合的练习梯度，结合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

培优增分2　抽象函数的性质 命题解读 抽象函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查． 考点一　抽象函数的奇偶性与单调性的综合问题(师生共研) 例1　已知f(x)是定义在R上的偶函数，∀x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，恒成立，f(2)＝16，则满足f(ln m)≤4(ln m)2的m的取值范围为(　　) A． B． C．[1，e2] D． 解析：D　不妨设x1>x2≥0，由>4(x1＋x2)，得f(x1)－f(x2)>4(x1＋x2)(x1－x2)＝，所以f(x1)－>f(x2)－，令g(x)＝f(x)－4x2，则g(x1)>g(x2)，所以函数g(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以对任意的x∈R，g(－x)＝f(－x)－4(－x)2＝f(x)－4x2＝g(x)，所以函数g(x)为R上的偶函数，且g(2)＝f(2)－4×22＝16－16＝0，由f(ln m)≤4(ln m)2，可得f(ln m)－4(ln m)2≤0，即g(ln m)≤g(2)，即|ln m|≤2，所以－2≤ln m≤2，解得≤m≤e2，所以m的取值范围是.故选D. 1．解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)． 2．比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小． 1．(多选)已知偶函数f(x)的定义域为R，且在(－∞，0)上单调递增，则下列结论正确的是(　　) A．f(－x)－f(x)＝0 B．f(－x)＋f(x)＝0 C．f(3)＞f(－2)＞f(1) D．f(x)在(0，＋∞)上单调递减 解析：AD　因为偶函数f(x)的定义域为R，所以f(－x)＝f(x)，即f(－x)－f(x)＝0，则A正确，B错误；因为偶函数f(x)的定义域为R，且在(－∞，0)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，继而f(3)＜f(－2)＝f(2)＜f(1)，则C错误，D正确．故选AD. 2．函数y＝f(x)是偶函数且在区间(－∞，0]上单调递减，f(－2)＝0，则f(2－3x)＞0的解集为________． 解析：因为函数y＝f(x)是偶函数且在区间(－∞，0]上单调递减，则该函数在区间[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝f(－2)＝0，由f(2－3x)＞0可得f.因此，不等式f(2－3x)＞0的解集为(－∞，0)∪. 答案：(－∞，0)∪ 考点二　抽象函数的奇偶性与周期性的综合问题(师生共研) 例2　(1)(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－f，f(0)＝－2，且为奇函数，则(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)是一个周期为3的周期函数 D．f(2025)＝－2 解析：BCD　函数f(x)的定义域为R，且f(0)＝－2，则f(x)不可能是奇函数，故A错误；定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－f，变形可得f(x)＝－f，而f为奇函数，则f＝－f，则f(－x)＝－f，则有f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，故B正确；已知函数f(x)满足f(x－1)＝－f，即f(x)＝－f，则有f(x＋3)＝－f＝f(x)，即函数f(x)是一个周期为3的周期函数，故C正确；f(x)是偶函数且周期为3，则f(2025)＝f(0)＝－2，故D正确．故选BCD. (2)(多选)(2025·山东青岛模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x＋1)是偶函数，f(x－1)是奇函数，则下列正确的是(　　) A．f(x)＝f(x－16) B．f(19)＝0 C．f(2024)＝f(0) D．f(2023)＝f(1) 解析：ABC　因为f(2x＋1)是偶函数，所以f(－2x＋1)＝f(1＋2x)，即f(1－x)＝f(1＋x)，即函数关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，因为f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，则f(－x－2)＝－f(x)＝－f(2－x)，即f(x－2)＝－f(2＋x)，则f(x)＝－f(x＋4)，即f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函数的周期是8.则f(x)＝f(x－16)成立，故A正确；令x＝0，由f(－x－1)＝－f(x－1)，得f(－1)＝－f(－1)，得f(－1)＝0，f(3)＝0，则f(19)＝f(3)＝0，故B正确；f(2024)＝f(8×253＋0)＝f(0)成立，故C正确；f(2023)＝f(8×253－1)＝f(－1)，故D错误．故选ABC. 综合应用奇偶性与周期性解题的技巧 (1)根据已知条件及相关函数的奇偶性推出函数的周期． (2)利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化． (3)代入已知的解析式求解，即得需要求的函数值． (多选)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，则(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数 C．f(x＋3)是偶函数 D．f(x)＝f(x＋4) 解析：CD　因为f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，从而f(－x)＝f(x＋2)．因为f(x－1)是偶函数，所以f(－x－1)＝f(x－1)，从而f(－x)＝f(x－2)．所以f(x＋2)＝f(x－2)，即f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(x)＝f(x＋4)，故D正确；因为f(－x－1)＝f(x－1)，所以f(－x－1＋4)＝f(x－1＋4)，即f(－x＋3)＝f(x＋3)，所以f(x＋3)是偶函数，故C正确；设f(x)＝sin ＋1，符合题意，但f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，故A、B错误．故选CD. 考点三　抽象函数的奇偶性与对称性(师生共研) 例3　已知f(x)是定义在R上的偶函数，则下列函数的图象一定关于点(－1，0)成中心对称的是(　　) A．y＝(x－1)f(x－1) B．y＝(x＋1)f(x＋1) C．y＝xf(x)＋1 D．y＝xf(x)－1 解析：B　构造函数g(x)＝xf(x)，该函数的定义域为R，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，函数g(x)为奇函数，故函数g(x)图象的对称中心为坐标原点．对于A，函数y＝(x－1)f(x－1)的图象由函数g(x)的图象向右平移1个单位长度得到，故函数y＝(x－1)f(x－1)图象的对称中心为(1，0)，故A错误；对于B，函数y＝(x＋1)f(x＋1)的图象由函数g(x)的图象向左平移1个单位长度得到，故函数y＝(x＋1)f(x＋1)图象的对称中心为(－1，0)，故B正确；对于C，函数y＝xf(x)＋1的图象由函数g(x)的图象向上平移1个单位长度得到，故函数y＝xf(x)＋1图象的对称中心为(0，1)，故C错误；对于D，函数y＝xf(x)－1的图象由函数g(x)的图象向下平移1个单位长度得到，故函数y＝xf(x)－1图象的对称中心为(0，－1)，故D错误．故选B. 1．由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等． 2．注意如下表达式的区别： (1)若函数y＝f(x)为奇函数(或偶函数)，则函数y＝f(x＋a)的图象关于点(－a，0)对称(或关于x＝－a对称)； (2)若f(ax＋b)为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x＝b对称；若f(ax＋b)为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(b，0)对称． 已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[0，1]时，f(x)＝，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2026)的值为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：C　因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(－x)＝－f(2＋x)，又f(x)为R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(3)＝f(－1)＝f(1)＝2－2＝0，又f(0)＝1，f(2)＝－f(0)＝－1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2026)＝506[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2024)＋f(2025)＋f(2026)＝506×(1＋0－1＋0)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＝0.故选C. 考点四　抽象函数性质的综合应用(师生共研) 例4　(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，g(x－3)是偶函数，且f(x)＋g(x－3)＝2，若g(－3)＝1，则(　　) A．f(1)＝ B．f(x)的图象关于点对称 C．f(x)＝f(x＋6) D．f(x)为奇函数 解析：ABC　由题意知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(x)＋g(x－3)＝2，则f(－x)＋g(－x－3)＝2，因为g(x－3)是偶函数，所以f(－x)＋g(－x－3)＝f(－x)＋g(x－3)＝2＝f(x)＋g(x－3)，所以f(x)＝f(－x)，即f(x)为偶函数，令x＝0，则f(0)＋g(－3)＝2，又g(－3)＝1，所以f(0)＝1，所以f(x)不可能是奇函数，故D错误；又f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，令x＝0，所以f(1)＋f(－1)＝2f(1)＝f(0)＝1，所以f(1)＝，故A正确；由f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，得f(x)＋f(x－2)＝f(x－1)，两式相加得－f(x＋1)＝f(x－2)，所以f(x)＝－f(x＋3)，又f(x)＝f(－x)，所以f(－x)＝－f(x＋3)，即f(－x)＋f(x＋3)＝0，所以f(x)的图象关于点对称，故B正确；由f(x)＝－f(x＋3)得f(x＋3)＝－f(x)，故f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，故C正确．故选ABC. 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． (多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，f(x)＋f(x＋4)＝0且对任意的x1，x2∈[－2，0]，当x1≠x2时，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，则以下判断正确的是(　　) A．函数f(x)是偶函数 B．函数f(x)的最小正周期是4 C．函数f(x)在区间[2，6]上单调递增 D．直线x＝1是函数f(x＋1)图象的一条对称轴 解析：CD　由f(x)＋f(－x)＝0得f(－x)＝－f(x)，函数f(x)为奇函数，A错误；对任意的x1，x2∈[－2，0]，当x1≠x2时，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，所以f(x)在区间[－2，0]上单调递减，结合奇函数知，函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，即函数f(x)在区间[－2，2]上单调递减，由f(x)为奇函数及f(x)＋f(x＋4)＝0可知f(x)＝－f(－x)＝－f(x＋4)，即f(－x)＝f(x＋4)，故f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)在区间[2，6]上单调递增，且直线x＝1是函数f(x＋1)图象的一条对称轴，C、D正确；又f(x)＝－f(x＋4)＝f(x＋8)，结合f(x)在[－2，6]上的单调性可知函数f(x)的最小正周期为8，B错误．故选CD. 学科网（北京）股份有限公司 $