第2章 第11节 函数模型的应用(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数模型应用专题，整合指数、对数、幂函数模型的性质比较及一次、二次等常见函数模型，按“课标解读—模型梳理—考点突破”逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建函数应用的知识体系和解题思路。 讲义突出数学建模与实际应用结合，通过血药浓度、声强级等真实情境案例，培养学生用数学眼光观察现实世界、用数学思维分析问题的能力。设置自主练透、师生共研分层教学环节，配合待定系数法、验证法等策略，助力学生高效突破函数模型应用难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支持。

第11节　函数模型的应用 课标解读 1．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具；在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．　2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． 3．感悟数学模型中参数的现实意义． 1．指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质　　 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在区间 (0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象 的变化 随x的增大就像与y轴平行一样 随x的增大就像与x轴平行一样 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) “直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢． 1．(湘教必修一P139例1，P140例2改编)下列函数中，随着x的增长，y的增长速度最快的是(　　) A．y＝50 B．y＝1000x C．y＝2ln x D．y＝ex 解析：D　依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知随着x的增长，y＝ex的增长速度最快．故选D. 2．(人A必修一P154练习T1改编)在某个试验中，测得变量x和变量y的几组数据如表所示： x 0.50 1.09 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析：D　在平面直角坐标系中，描点连线画出图象(图略)，观察图象知选D最适合．故选D. 3．(人A必修一P140习题T6改编)某工厂近6年来生产某种产品的情况：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是(　　) 解析：A　因为前3年年产量的增长速度越来越快，所以当0≤t≤3时，随着t的增大c的增长速度越来越快，c关于t的函数图象下凹．又后3年年产量保持不变，所以当3＜t≤6时，c随着t的增大保持固定的增长速度．故选A. 4．(苏教必修一P251复习题T7改编)某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)，销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则这种商品的日销售金额的最大值是________． 解析：日销售金额y＝(－t＋35)(t＋10)＝， 因为t∈N，所以t＝12或13时，ymax＝506. 答案：506 考点一　利用函数图象刻画实际问题的变化过程(自主练透) 1．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　) 　 解析：B　水位由高变低，排除C，D；流完半缸水前水位下降速度先快后慢，流完半缸水后水位下降速度先慢后快．故选B. 2．为了能在规定时间T内完成预期的运输量Q0，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如图(四个选项)所示，其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的选项是(　　) 解析：B　由题意，运输效率逐步提高，即函数增长速率逐渐加快，选项B满足．故选B. 3．(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是(　　) A．首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用 B．每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒 C.首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒 解析：ABC　从图象中可以看出，首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用，故A正确；根据图象可知，首次服用1单位该药物，约1小时后血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，故B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，故C正确；首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，故D错误．故选ABC. 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 考点二　已知函数模型解决实际问题(师生共研) 例1　(多选)(2025·甘肃定西模拟)声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质(如固体、液体、气体)中进行传播．在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I(W/cm2)．但在实际生活中，常用声音的声强级D(dB)来度量，声强级D(dB)与声强I(W/cm2)的关系近似满足D＝a lg I＋b，经过多次测定，得到如下数据： 声强I(W/cm2) 10-11 10-10 m 声强级D(dB) 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在(90，100)，其声强为I1；鞭炮的噪声的声强级一般在(100，110)，其声强为I2；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在(135，145)，其声强为I3，则(　　) A．b－a＝110 B．m＝10-8 C．<I2< 解析：ACD　由题意可得即解得所以b－a＝110，故A正确；因为D＝10lg I＋120，所以30＝10lg m＋120，解得m＝10-9，故B错误；由100<10lg I2＋120<110，得<I2<，故C正确；设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为D1，D2，D3，由题意知90<D1<100，100<D2<110，135<D3<145，所以D1＋D3>2D2，所以＋120>2(10lg I2＋120)，所以>2lg I2，即，所以，故D正确．故选ACD. 已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 1．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间为8小时，那么在12 ℃时，该类果蔬的保鲜时间为(　　) A．72小时 B．36小时 C．24小时 D．16小时 解析：A　当x＝6时，e6a＋b＝216；当x＝24时，e24a＋b＝8，则＝27，整理可得e6a＝.于是eb＝216×3＝648，当x＝12时，y＝e12a＋b＝(e6a)2·eb＝×648＝72.故选A. 2．(2025·陕西咸阳模拟)“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强m与标准声强m0(m0约为10-12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lg ，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y＝40x，现知A同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若A同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则A同学不用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度约为(　　) A．1.75米 B．1.5米 C．1.25米 D．1米 解析：A　设A同学不用喇叭时的声强为m，喷出泉水最高高度为x，则A同学用喇叭时的声强为10m，喷出泉水最高高度为2米．由题意知，10×lg ＝40x，即lg m－lg m0＝4x　①.又10×lg ＝40×2＝80，即lg ＝lg 10＋lg m－lg m0＝1＋lg m－lg m0＝8，即lg m－lg m0＝7　②.由①②可得4x＝7，解得x＝＝1.75.故选A. 考点三　构建函数模型解决实际问题(师生共研) 例2　通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场.2025年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元． (1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？ (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2026年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到m欧元/平方米(其中m>25)，其中投入(m2－600)万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入2m万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量n(单位：万平方米)至少达到多少时，才可能使2026年的销售收入不低于2025年销售收入与2026年投入之和？并求出此时的售价． 解：(1)设该种玻璃的售价提高到x(x≥25)欧元/平方米，则有[80－2(x－25)]x≥2000，解得25≤x≤40，所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米． (2)由题意得mn≥2000＋500＋2m＋(m2－600)，整理得mn≥1500＋2m＋m2，两边同除以m得n≥m＋2.由基本不等式得 ＋2＝102，当且仅当m，m＞0，即m＝30时，等号成立，所以该种玻璃的销售量n(单位：万平方米)至少达到102时，才可能使2026年的销售收入不低于2025年销售收入与2026年投入之和，此时的售价为30欧元/平方米． 构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型． (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解． (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解． 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法将报警时间分为4段(如图所示)，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：m/s)，且0＜v≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9)． 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 t0 t1＝0.8 s t2＝0.2 s t3 距离 d0＝30 m d1 d2 d3＝ m (1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90 m，则汽车的行驶速度应限制在多少以下？ 解：(1)根据题意，d＝d0＋d1＋d2＋d3＝30＋0.8v＋0.2v＋(0＜v≤33.3)． (2)根据题意，对任意的k∈[0.5，0.9]，d<90恒成立，即对任意的k∈[0.5，0.9]，30＋v＋<90恒成立．当0<v≤33.3时，有<对任意的k∈[0.5，0.9]恒成立，由k∈[0.5，0.9]，得∈，所以>，即v2＋10v－600<0，解得－30<v<20，所以0<v<20.所以汽车的行驶速度应限制在20 m/s 以下． 学科网（北京）股份有限公司 $