第2章 第10节 函数的零点与方程的解(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数零点与方程的解核心考点，涵盖零点定义、等价关系、存在定理及二分法，按“概念-定理-应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理、方法指导（如定理法、图象法）、真题训练（改编题、高考题）等环节，助力学生突破零点区间判定、个数计算及参数应用难点，体现复习系统性与针对性。 讲义突出数学思维与数学语言融合，创新采用“零点存在定理+函数单调性”判定零点个数，设计嵌套函数换元策略（如设f(x)=t转化问题）。设置基础巩固、能力提升、高考真题分层练习，配合即时反馈，培养学生逻辑推理与模型建构能力，高效提升应考技能，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第10节　函数的零点与方程的解 课标解读 1．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系．　2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程的近似解，了解用二分法求方程的近似解具有一般性． 1．函数的零点 (1)定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)三个等价关系 (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 3．周期函数若存在零点，则必有无穷多个零点． 1．(人A必修一P155习题T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求函数的零点的是(　　) 解析：B　因为B选项中的零点不是变号零点，所以该零点不宜用二分法求解．故选B. 2．(人A必修一P143例1改编)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：B　由或 解得x＝－2或x＝e，故f(x)有2个零点．故选B. 3．(人A必修一P155习题T2改编)若函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算，如表所示． x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 f(x) －1 0.875 －0.2969 0.2246 －0.051 51 那么方程x3－x－1＝0的一个近似根(精确度为0.1)可以为(　　) A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.25 解析：B　因为f(1.375)＞0，f(1.3125)＜0，且1.375－1.3125＜0.1，所以该方程的一个近似根(精确度为0.1)在区间[1.3125，1.375]内，结合选项知．故选B. 4．(人A必修一P144练习T2改编)函数f(x)＝ ＋x－3的零点所在区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：B　f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，f(1)＝－1<0，f(2)＝ －1>0，所以f(x)的零点所在区间为(1，2)．故选B. 考点一　函数零点所在区间的判定(自主练透) 1．(一题多解)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　) A．(0，1) B．(1，2)　　 C．(2，3) D．(3，4) 解析：B　法一：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1＜0，f(2)＝log32＞0，根据函数零点存在定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．故选B. 法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B. 2．若函数f(x)＝2x＋－5的零点x0∈[a－1，a]，a∈N*，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　f(x)为增函数，已知f(1)＝2＋－5<0，f(2)＝4＋－5<0，f(3)＝8＋－5>0，所以f(2)f(3)<0，可知函数零点所在区间为[2，3]，故a＝3.故选C. 3．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 解析：A　函数y＝f(x)的图象是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．故选A. 函数零点所在区间的判断方法 (1)定理法：利用函数零点存在定理进行判断，适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形． (2)图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，适用于容易画出函数图象的情形． 考点二　函数零点个数的判定(师生共研) 例1　(1)(一题多解)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：B　法一：因为f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，所以函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点．故选B. 法二：设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一平面直角坐标系中画出两函数的图象如图所示， 在区间(0，1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数．故函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点．故选B. (2)(2025·四川绵阳一模)若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x2，已知函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－6，6]内的零点个数为(　　) A．14 B．13 C．12 D．11 解析：B　因为f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数，因为当x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x2，则y＝f(x)，y＝g(x)＝的图象如图， 当x≤0时，g(x)∈(0，1]且单调递增，当0<x<1时，g(x)∈(0，＋∞)且单调递减，当x>1时，g(x)∈(0，＋∞)且单调递增，又f(－6)＝f(0)＝1>g(－6)，f(1)＝g(1)＝0，f(6)＝f(0)＝1>g(6)，f(0)＝g(0)＝1，函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－6，6]内的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象在[－6，6]内的交点个数，由图知，函数h(x)在区间[－6，6]内的零点共有13个．故选B. 判断函数零点个数的三种方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)就有多少个零点． (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等． (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 1．函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：C　函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数即函数f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象的交点个数，在同一平面直角坐标系中，分别作出f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象，如图所示， 由图可知，两函数图象有2个交点，故原函数有2个零点．故选C. 2．函数f(x)＝ ·cos x的零点个数为________． 解析：令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，所以f(x)的定义域为[－6，6].令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0，由36－x2＝0得x＝±6，由cos x＝0得x＝＋kπ，k∈Z，又x∈[－6，6]，所以x的取值为－.故f(x)共有6个零点． 答案：6 考点三　函数零点的应用(多维探究) 角度1　根据函数零点所在区间求参数 例2　已知函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1，3]上有零点，则实数m的取值范围为(　　) A． B．∪(0，＋∞) C．∪(0，＋∞) D． 解析：D　由于函数y＝log2(x＋1)，y＝m－在区间(1，3]上单调递增，所以函数f(x)在区间(1，3]上单调递增，由于函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1，3]上有零点，则即解得－≤m＜0.因此实数m的取值范围是.故选D. 角度2　根据函数零点个数求参数 例3　已知函数f(x)＝函数g(x)＝mx，若函数y＝f(x)－2g(x)恰有三个零点，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：A　根据题意，画出函数f(x)＝的图象如图所示， 因为函数y＝f(x)－2g(x)恰有三个零点，所以f(x)＝2g(x)有三个不等实根，即f(x)的图象与y＝2g(x)＝2mx的图象有三个不同的交点，由图象可知，当直线y＝2mx的斜率在kOA，kOB(OB与直线y＝x－4平行)之间时，有三个交点，即kOA＜2m＜kOB，因为kOA＝－，kOB＝1，所以－＜2m＜1，解得－＜m＜.故选A. 利用函数零点求参数的方法 1．已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C．(－∞，0) D． 解析：B　由f(x)＝3x－＝0，可得a＝3x－，令g(x)＝3x－，其中x∈(－∞，－1)，由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域．由于函数y＝3x，y＝－在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g(x)在区间(－∞，－1)上单调递增．当x∈(－∞，－1)时，g(x)＝3x－<g(－1)＝3-1＋1＝，又g(x)＝3x－>0，所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为.因此，实数a的取值范围是.故选B. 2．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是________． A．(－∞，－1) B．(－∞，1) C．(－1，0) D．[－1，0) 解析：当x＞0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，所以a＝－ex(x≤0)，则－1≤a＜0. 答案：[－1，0) 高考题　(2024·新课标Ⅱ卷T6)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　) A.－1  B．　　　　 C．1 D．2 解析：D　由题意知f(x)＝g(x)，则a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，即cos x＝a(x2＋1)－1.令h(x)＝cos x－a(x2＋1)＋1.易知h(x)为偶函数，由题意知h(x)在(－1，1)上有唯一零点，所以h(0)＝0，即cos 0－a(0＋1)＋1＝0，得a＝2.故选D. 教材题　(人A必修一P160复习参考题T4)已知函数f(x)＝ 求使方程f(x)＝k的实数解个数分别为1，2，3时k的相应取值范围． 点评：高考题是教材习题的拓展，都考查了已知函数零点求参数(范围)，需适当变形后利用函数零点存在定理解决问题，是高考试题源于教材且高于教材的典例． 我们把形如y＝f(f(x))或y＝f(g(x))的一类函数称为嵌套函数，把含有嵌套函数的函数问题称为嵌套函数问题．嵌套函数问题有两类基本形式： 1．“f(f(x))”型 这一类型是同一个函数f(x)自身嵌套问题，求解这一类型的策略是：首先将“内层函数”换元，即设f(x)＝t，然后根据题设条件解出相应t的值或范围，最后利用函数f(x)或利用函数y＝f(x)与y＝t的图象关系解决问题． 2．“f(g(x))”型 这一类型是两个函数f(x)，g(x)的互嵌问题，求解这一类型的策略是：首先将“内层函数”换元，即设g(x)＝t，然后通过中间变量既是“内层函数”的函数值，又是y＝f(t)的自变量，利用y＝f(t)与t＝g(x)两个函数的性质，或做出并利用y＝f(t)与t＝g(x)两个函数的图象来解决问题． 典例　若函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x))的零点的个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：C　当x>0时，由1＋ln x＝0，得x＝，当x≤0时，由x2＋4x＋3＝0，得x＝－1或x＝－3，所以f(x)的零点为－3，－1，，令t＝f(x)，则t∈R，f(t)＝0的根分别为t1＝－3，t2＝－1，t3＝，结合f(x)的图象可知，方程f(x)＝t1，f(x)＝t2，f(x)＝t3的根的个数分别为1，2，3，故g(x)＝f(f(x))的零点个数为6.故选C. (多选)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝3[f(x)]2－(m＋3)f(x)＋m有5个不同的零点，则实数m的值可能是(　　) A．－5 B．－6 C．－7 D．－8 解析：CD　令g(x)＝3[f(x)]2－(m＋3)f(x)＋m＝0，即[f(x)－1][3f(x)－m]＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝，如图，画出函数f(x)的图象，当f(x)＝1时，直线y＝1与y＝f(x)的图象有4个交点，所以直线y＝与y＝f(x)的图象只能有1个交点，则<－2，得m<－6，结合选项可知，m的值可能是－7或－8.故选CD. 学科网（北京）股份有限公司 $