第2章 第9节 函数的图象(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数的图象核心考点，涵盖描点法、图象变换（平移、对称、伸缩、翻折）及图象应用（性质研究、方程解与不等式解集），按“方法—识别—应用”逻辑架构知识点。通过课标解读明确要求，考点梳理夯实基础，方法指导（如变换注意事项）突破难点，真题训练（改编题与高考题）强化应用，构建系统复习路径。 资料以“数学眼光”观察图象特征，“数学思维”推理性质规律，创新采用“性质分析+特殊点验证”策略突破图象识别难点，如例2通过奇偶性判断排除选项，结合特殊点f(1)符号确定图象。设置分层练习（基础题、高考真题）与方法总结（图象应用思路），保障复习效率，助力学生提升直观想象与逻辑推理能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学框架。

第9节　函数的图象 课标解读 1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析式法)表示函数．　2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题． 1．利用描点法作函数的图象 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； y＝ax(a>0，且a≠1)的图象 (a>0，且a≠1)的图象． (3)伸缩变换 y＝f(x)的图象 y＝f(ax)； y＝f(x)的图象 (4)翻折变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象． 1．图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换． 2．图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行． 1．(湘教必修一P92习题T19改编)将函数y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得函数的解析式为(　　) A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x－2)2＋1 C．y＝(x－2)2－1 D．y＝(x＋2)2－1 解析：C　将函数y＝x2的图象向右平移2个单位长度，可得函数y＝(x－2)2的图象，再将函数y＝(x－2)2的图象向下平移1个单位长度后得到函数y＝(x－2)2－1的图象．故选C. 2．(苏教必修一P133复习题T14改编)已知图(1)中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图(2)中的图象对应的函数可能是(　　) A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|) 解析：C　因为题图(2)中的图象是在题图(1)的基础上去掉函数y＝f(x)图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧的图象翻折到y轴右侧得到的，所以题图(2)中的图象对应的函数可能是y＝f(－|x|)．故选C. 3．(苏教必修一P116习题T9改编)小李在如图所示的跑道(其中左、右两边分别是两个半圆)上匀速跑步，他从点A处出发，沿箭头方向经过点B，C，D返回到点A，共用时80秒，他的同桌小陈在固定点O位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为t(单位：秒)，他与同桌小陈间的距离为y(单位：米)，若y＝f(t)，则f(t)的图象大致为(　　) 解析：D　由题图知，小李从点A到点B的过程中，y的值先增后减，从点B到点C的过程中，y的值先减后增，从点C到点D的过程中，y的值先增后减，从点D到点A的过程中，y的值先减后增，所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离(即y的值)的增减性为：增、减、增、减、增，D选项符合题意．故选D. 4．(人A必修一P102复习参考题T13改编)如图，函数y＝f(x)的图象由曲线OA和线段AB构成．当0≤x≤2时，f(x)＝ax＋k(a>0且a≠1，k∈R)，则函数f(x)的解析式为_______________________． 解析：当0≤x≤2时，因为点O(0，0)，A(2，3)在f(x)的图象上，所以解得故当0≤x≤2时，f(x)＝2x－1；当2<x≤5时，设f(x)＝cx＋b，因为点A(2，3)，B(5，0)在f(x)的图象上，所以解得故当2<x≤5时，f(x)＝－x＋5. 所以f(x)＝ 答案：f(x)＝ 考点一　作函数图象(师生共研) 例1　作出下列各函数的图象： (1)y＝； (2)y＝|x2－4x－5|； (3)y＝－1. 解：(1)原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． (2)y＝|x2－4x－5|的图象可由函数y＝x2－4x－5的图象保留x轴及上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示． (3)y＝－1，其图象可看作由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 而y＝＝其图象可由y＝x的图象保留x≥0时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，则y＝－1的图象如图所示． 函数图象的常见画法及注意事项 (1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图． (2)转化法：含有绝对值符号的，先去掉绝对值符号，再转化为分段函数来画． (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图． (4)画函数的图象一定要注意函数的定义域． 1．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　) 解析：C　要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先作出y＝f(x)的图象关于x轴对称的y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．故选C. 2．作出下列各函数的图象： (1)y＝x2－2|x|－3； (2)y＝|log2(x＋1)|. 解：(1)y＝x2－2|x|－3＝其图象如图所示． (2)y＝|log2(x＋1)|，其图象可由y＝log2x的图象向左平移1个单位长度， 再保留x轴及上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图所示． 考点二　函数图象的识别(师生共研) 例2　(1)(2024·全国甲卷T7)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]上的图象大致为(　　) 解析：B　f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x，则f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)sin (－x)＝＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，故f(x)为偶函数，故A、C错误；f(1)＝－1＋(e1－e-1)sin 1>－1＋sin >>0，故D错误，B正确．故选B. (2)(2025·天津卷T3)已知函数y＝f(x)的图象如下，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：D　由题图可知函数为偶函数，而函数f(x)＝和函数f(x)＝为奇函数，故排除选项A、B；又当x∈(0，1)时1－x2>0，x2－1<0，此时f(x)＝>0，f(x)＝<0，由题图可知当x∈(0，1)时，f(x)<0，故C不符合，D符合．故选D. 有关函数图象识别问题的解题思路 (1)关注函数的定义域，判断图象的左右位置； (2)关注函数的值域，判断图象的上下位置； (3)关注函数的单调性，判断图象的变化趋势； (4)关注函数的奇偶性，判断图象的对称性； (5)关注函数图象中的特殊点，排除不符合要求的图象． 1．函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＞0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＜0，b＜0，c＜0 解析：B　函数在点P处无意义，由题图可知，点P在y轴右边，所以－c＞0，则c＜0；f(0)＝＞0，则b＞0；由f(x)＝0得ax＋b＝0，则x＝－，根据题图，得－＞0，则a＜0.综上，a＜0，b＞0，c＜0.故选B. 2．(2025·河南焦作三模)已知函数f(x)的部分图象如下，则f(x)的解析式可能为(　　) A．＋1 B．＋1 C． D． 解析：C　因为f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，排除B，又f＝0，排除A，当<x<时，<0，排除D.故选C. 考点三　函数图象的应用(多维探究) 角度1　研究函数的性质 例3　(多选)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝1-x，则下列结论正确的是(　　) A．2是函数f(x)的周期 B．函数f(x)在区间(1，2)上单调递减，在区间(2，3)上单调递增 C．函数f(x)的最大值是1，最小值是0 D．当x∈(3，4)时，f(x)＝x-3 解析：ABD　由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，A正确；当－1≤x≤0 时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝1+x，画出函数y＝f(x)的部分图象如图所示．由图象知B正确，C错误；当3<x<4 时，－1<x－4<0，f(x)＝f(x－4)＝x-3，D正确．故选ABD. 角度2　解不等式 例4　若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，f(3)＝0，则满足不等式xf(x)＜0的x的取值范围是(　　) A．(－3，0)∪(3，＋∞) B．(－3，0)∪(0，3) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0，3) 解析：C　因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，f(3)＝0，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，且f(－3)＝0，作出简图，如图所示，当x＞0时，由xf(x)＜0得f(x)＜0，即x＞3，当x＜0时，由xf(x)＜0得f(x)＞0，即x＜－3，当x＝0时，xf(x)＝0不合题意，所以满足不等式xf(x)＜0的x的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．故选C. 角度3　求参数范围 例5　已知函数f(x)＝≥ax恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－4，0] C．[－3，0] D．(－∞，2] 解析：B　因为f(x)＝令g(x)＝|f(x)|，作出g(x)的图象，如图所示，令h(x)＝ax，由图知，要使对任意的x都有|f(x)|≥ax恒成立，则必有a≤0，当x≤0时，y1＝x2－4x，由消y得到x2－(4＋a)x＝0，由Δ＝0，得到(4＋a)2＝0，即a＝－4，由图可知－4≤a≤0.故选B. 1．根据函数的图象研究函数性质的方法 (1)观察函数图象是否连续，左右范围以及最高点和最低点，确定定义域、值域． (2)观察函数图象是否关于原点或y轴对称，确定函数的奇偶性． (3)根据函数图象上升和下降的情况，确定单调性． 2．利用函数图象研究不等式问题时，当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题，利用图象法求解．若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解． 3．利用函数图象解决参数的取值范围问题时，一般先准确地作出函数图象，再利用函数图象的直观性，结合其性质，求解参数的取值范围． 1．(多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2， F(x)＝min{f(x)，g(x)}，则(　　) A．F(x)是偶函数 B．方程F(x)＝0有三个解 C．F(x)在区间[－1，1]上单调递增 D．F(x)有4个单调区间 解析：ABD　根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象，如图，由图象可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象关于y轴对称，故A正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个解，故B正确；函数F(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，在区间(－1，0)上单调递减，在区间[0，1]上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，故C错误，D正确．故选ABD. 2．若关于x的不等式4ax-1＜3x－4(a＞0，且a≠1)对于任意的x＞2恒成立，则a的取值范围为________． 解析：不等式4ax-1＜3x－4等价于ax-1＜x－1.令f(x)＝ax-1，g(x)＝x－1，当a＞1时，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；当0＜a＜1时，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，由题意知，f(2)≤g(2)，即a2-1≤×2－1，解得a≤.综上，a的取值范围是. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $