第2章 第8节 对数函数(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学讲义聚焦对数函数高考核心考点，涵盖概念、图象、性质及反函数，按“定义-图象-性质-应用”逻辑架构梳理，通过考点梳理（表格对比a>1和0<a<1的性质）、方法指导（图象识别、比较大小技巧）、真题训练（教材改编题）等环节，帮助学生系统突破难点。 资料以多维探究（比较大小、解不等式、综合应用）和母题拓展（糖水不等式引申）为特色，通过例4复合函数单调性分析等活动，培养数学思维与逻辑推理能力。设置分层练习，配合即时反馈，保障复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控节奏提供指导。

第8节　对数函数 课标解读 1．通过具体实例，了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与图象中的特殊点．　2.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数． 1．对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象和性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过定点 (1，0) 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 增函数 减函数 3.反函数 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的图象关于直线y＝x对称． 1．函数y＝logax与y＝(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴对称． 2．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、第四象限． 3．对数函数的图象与底数大小的比较：如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 1．(人A必修一P133例3改编)已知实数a＝log32，b＝log2π，c＝log2 ，则(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 解析：A　a＝log32＜log33＝1＜b＝log2π＜c＝log2 .故选A. 2．(湘教必修一P126习题T18(2))函数y＝2x的反函数的图象经过点(　　) A．(1，3) B．(0，1) C．(3，1) D．(1，0) 解析：D　函数y＝2x的反函数为y＝log2x，经过点(1，0)．故选D. 3．(人A必修一P140习题T1改编)函数f(x)＝ 的定义域为________． 解析：由题意，要使函数f(x)＝ 有意义，则满足log2(2x－1)≥0，所以2x－1≥1，解得x≥1，即函数f(x)的定义域为[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞) 4．(人B必修二P27例2改编)已知log0.7(2m)<log0.7(m－1)，则m的取值范围是________． 解析：因为y＝log0.7x的定义域为(0，＋∞)，且是减函数，故2m>m－1>0，解得m>1. 答案：(1，＋∞) 考点一　对数函数的图象及应用(师生共研) 例1　(1)(多选)已知ax＝b－x，函数y＝loga(－x)与y＝bx的图象可能是(　　) 解析：AB　因为ax＝b－x，即ax＝ ，所以a＝在区间(－∞，0)上单调递增，且过点(－1，0)，故B符合题意．故选AB. (2)已知函数f(x)＝|log3x|，若a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是(　　) A． B． C．[5，＋∞) D．(5，＋∞) 解析：D　画出f(x)＝|log3x|的图象如图所示，因为a<b，且f(a)＝f(b)，所以－log3a＝log3b，故＝b，且0<a<1，令y＝a＋4b，所以y＝a＋，由对勾函数的性质可知y＝a＋在区间(0，1)上单调递减，故y＝a＋>1＋＝5，故a＋4b的取值范围是(5，＋∞)．故选D. 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 1．已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a-1<b<1 B．0<b<a-1<1 C．0<b-1<a<1 D．0<a-1<b-1<1 解析：A　由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0，解得<b<1.综上<b<1.故选A. 2．若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为________． 解析：若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在上有交点，由图象知解得0<a≤. 答案： 考点二　对数函数的性质及应用(多维探究) 角度1　比较大小 例2　已知函数f(x)＝|ln x|，若a＝f，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 解析：D　因为a＝f＝ln 4，b＝f＝ln 2，c＝f(3)＝ln 3，且y＝ln x在区间(1，＋∞)单调递增，所以ln 2＜ln 3＜ln 4，即b＜c＜a.故选D. 角度2　解对数不等式 例3　已知函数f(x)＝则不等式f((log2x)2－3)＜4f(log2x)的解集为________． 解析：当x≥0时，f(x)＝2x2≥0，4f(x)＝8x2＝f(2x)，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．当x＜0时，f(x)＝－2x2＜0，4f(x)＝－8x2＝f(2x)，且f(x)在区间(－∞，0)上单调递增．所以f(x)在R上是增函数，且4f(x)＝f(2x)，于是原不等式可化为(log2x)2－3＜2log2x，即(log2x)2－2log2x－3＜0，即(log2x＋1)(log2x－3)＜0，得－1＜log2x＜3，解得＜x＜8. 答案： 角度3　对数函数性质的综合应用 例4　已知函数f(x)＝. (1)若f(－1)＝－3，求f(x)的单调区间； (2)是否存在实数a，使f(x)在区间(－∞，2)上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由． 解：(1)由f(－1)＝－3，得＝－3.所以4＋2a＝8，所以a＝2.此时f(x)＝，由x2－4x＋3>0，得x>3或x<1.故函数定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．令u＝x2－4x＋3，则u＝x2－4x＋3(x＜1或x＞3)在区间(－∞，1)上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增．又y＝在定义域上单调递减，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)． (2)不存在．理由如下： 令h(x)＝x2－2ax＋3，要使f(x)在区间(－∞，2)上单调递增，应使h(x)在区间(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.因此即此不等式组无解． 所以不存在实数a，使f(x)在区间(－∞，2)上单调递增． 1．比较对数式大小的方法 (1)当底数为同一常数时，可由对数函数的单调性比较大小； (2)当底数为同一字母时，需对底数进行分类讨论； (3)当底数不同，真数相同时，先用换底公式化为同底后，再进行比较； (4)当底数与真数都不同时，可借助1，0，等中间值比较大小． 2．对数不等式常见的两种类型及求解方法 (1)求解形如logaf(x)＞logag(x)的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果a的取值不确定，需要分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论； (2)求解形如logax＞b的不等式，先将b化为以a为底的对数式的形式，再转化为(1)型求解． 3．利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题时，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用． 1．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝，则a，b，c的大小关系正确的是(　　) A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 解析：A　因为对数函数y＝log5x在区间(0，＋∞)上为增函数，对数函数y＝log0.5x在区间(0，＋∞)上为减函数，0＝log51＜a＝log52＜log5 ＝，b＝log0.50.2＞log0.50.5＝1，c＝，故a＜c＜b.故选A. 2．(多选)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最大值为1 B．f(x)在区间(0，2)上单调递增 C．f(x)的图象关于直线x＝2对称 D．f(x)的图象关于点(2，0)对称 解析：BC　函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)＝log2[－(x－2)2＋4](0<x<4)，当x＝2时，4x－x2取到最大值4，故此时f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2，故A错误；f(x)＝log2(4x－x2)(0<x<4)可以看作是由函数y＝log2u，u＝－x2＋4x(0<x<4)复合而成，而y＝log2u是定义域上的增函数，u＝－x2＋4x(0<x<4)在区间(0，2)上单调递增，在区间(2，4)上单调递减，故f(x)在区间(0，2)上单调递增，在区间(2，4)上单调递减，故B正确；因为函数f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x)，故f(x)的图象关于直线x＝2对称，故C正确；因为f(4－x)＋f(x)＝2f(x)＝0不恒成立，故f(x)的图象不关于点(2，0)对称，故D错误．故选BC. 3．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式)＞f(log38)的解集为________． 解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递减，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故)＞f(log38)可化为，即log3(2x－5)＞log38或log3(2x－5)＜－log38＝log3，即2x－5＞8或0＜2x－5＜，解得x＞或＜x＜，所以不等式的解集为∪. 答案：∪ 教材母题　(人A必修一P43T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立． 本题得到的不等式称为糖水不等式： (1)设b＞a＞0，m＞0，则有＜. (2)糖水不等式的倒数形式：设a＞b＞0，m＞0，则有＞. 结论引申　对数型糖水不等式 (1)设n∈N*，且n>1，则有logn＋1n<logn＋2(n＋1)． (2)设a>b>1，m>0，则有logab<loga＋m(b＋m)． (3)上式的倒数形式：设a>b>1，m>0，则有logba>logb＋m(a＋m)． 典例　(一题多解)已知a＝3log83，b＝，c＝log45，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．a>c>b D．c>b>a 解析：A　法一：a＝3log83＝log827＝ ＝log23，b＝log316＝log34.对任意x>y>0，m>0，>0，即>.所以a＝log23＝>＝log3>log34，即a>b，b＝log34＝>＝log4>log45，即b>c，所以a>b>c.故选A. 法二：a＝3log83＝log827＝ ＝log23，b＝log316＝log34，c＝log45，利用对数型糖水不等式得log23>log34>log45，即a>b>c.故选A. (一题多解)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　) A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a 解析：A　法一：(对数型糖水不等式)：因为9m＝10，所以m＝log910.由对数型糖水不等式可得 m＝log910>log1011＝lg 11，且 m＝log910<log89.所以a＝10m－11>10lg 11－11＝0，b＝ 8m－9<8log89－9＝0，即a>0>b.故选A. 法二：(普通型糖水不等式)：由已知条件 9m＝10，可得 m＝log910.可以得到m＝>＝lg >lg 11，即m >lg 11.所以a>10lg 11－11＝0，即a>0.又m＝<＝log8－ 9＝0，即b<0.综上，a>0>b.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $