第2章 第7节 指数函数(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学讲义聚焦指数函数高考核心考点，涵盖概念、图象与性质及应用，按“概念—性质—应用”逻辑架构知识体系。通过课标解读明确要求，梳理定义、图象特征及单调性等性质，结合考点分析、方法指导和真题训练，帮助学生系统突破难点。 资料突出数学思维与几何直观培养，如例1通过平移分析函数图象象限，变式探究结合翻折变换讨论交点问题，渗透数形结合思想。设置分层练习配合即时反馈，助力学生高效掌握性质应用，为教师把控复习节奏、提升应考能力提供支持。

第7节　指数函数 课标解读 1．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．　2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 1．指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2．指数函数的图象和性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域为R，值域为(0，＋∞) 图象过定点 (0，1) 当x＞0时，恒有y＞1；当x＜0时，恒有0＜y＜1 当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜0时，恒有y＞1 增函数 减函数 1．函数y＝ax与y＝ (a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称． 2．作指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 3．底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”． 1．(人A必修一P114例1改编)若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点，则f(－1)等于(　　) A．1 B．2 C． D．3 解析：C　依题意可知a2＝，解得a＝，所以f(x)＝x，所以f(－1)＝-1＝ .故选C. 2．(苏教必修一P147练习T7改编)函数y＝2|x|的大致图象是(　　) 解析：B　易知函数y＝2|x| 的定义域为R，且满足2|－x|＝2|x|，可得其为偶函数，图象关于y 轴对称；又当x＝0 时，y＝1，排除A，又y＝2|x|＝ 利用指数函数图象性质可知其在区间[0，＋∞)上单调递增，且增长速度越来越快，排除C，D.故选B. 3．(人A必修一P119习题T6改编)已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b 解析：C　因为函数y＝1.01x在R上是增函数，且3.5＞2.7，故1.013.5＞1.012.7＞1＞0.750.1，即c＞b＞a.故选C. 4．(湘教必修一P114习题T14改编)若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________． 解析：若a＞1，则f(x)max＝f(1)＝a＝2；若0＜a＜1，则f(x)max＝f(－1)＝a-1＝2，得a＝. 答案：2或 考点一　指数函数的图象及应用(师生共研) 例1　(1)已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：A　因为0＜a＜1，所以y＝ax的图象经过第一、第二象限，且当x越来越大时，图象与x轴无限接近．又b＜－1，所以y＝ax的图象向下平移超过一个单位长度得到y＝ax＋b的图象，故y＝ax＋b的图象不过第一象限．故选A. (2)若函数y＝|3x－1|在区间(－∞，k]上单调递减，则实数k的取值范围为________． 解析：函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在区间(－∞，0]上单调递减，所以实数k的取值范围为(－∞，0]. 答案：(－∞，0] [变式探究1] (变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|的图象与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________． 解析：曲线y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个交点，则实数m的取值范围是(0，1)． 答案：(0，1) [变式探究2] (变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________． 解析：作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示．由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]. 答案：(－∞，－1] 指数函数的图象及其应用策略 (1)已知函数解析式判断其图象时，可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断． (2)进行图象识别与应用时，可从基本的指数函数图象入手，通过平移、伸缩、对称等变换得到相关函数的图象． (3)根据指数函数图象判断底数的大小问题，可通过直线x＝1与图象的交点进行判断． 1．(多选)已知实数a，b满足等式2025a＝2026b，则下列关系式可能成立的是(　　) A．0＜b＜a B．a＜b＜0 C．0＜a＜b D．a＝b 解析：ABD　如图，观察易知，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.故选ABD. 2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b的取值范围是________． 解析：作出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b，如图所示，由图象可得，要想曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b应满足的条件是b∈[－1，1]. 答案：[－1，1] 考点二　指数函数的性质及应用(多维探究) 角度1　比较指数式的大小 例2　(1)若a＝1.50.8，b＝1.50.7，c＝0.90.7，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b 解析：B　由y＝1.5x在R上单调递增，则a＝1.50.8＞1.50.7＝b，由y＝x0.7在区间[0，＋∞)上单调递增，则b＝1.50.7＞0.90.7＝c，所以a＞b＞c.故选B. (2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，则下列结论一定成立的是(　　) A．a＋b≤0 B．a－b≥0 C．a－b≤0 D．a＋b≥0 解析：D　因为ea＋πb≥e－b＋π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb　(*)，令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，(*)式即为f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0.故选D. 角度2　解简单的指数方程或不等式 例3　(1)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围是(　　) A．[2，4] B．(－∞，0) C．(0，1)∪[2，4] D．(－∞，0]∪[1，2] 解析：D　因为y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，所以1≤4x－3·2x＋3≤7，且2x>0，所以0<2x≤1或2≤2x≤4，所以x≤0或1≤x≤2.故选D. (2)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________． 解析：①当a＜1时，由f(1－a)＝f(a－1)，得41-a＝2a－(a-1)，即22-2a＝2，所以2－2a＝1，解得a＝；②当a＞1时，由f(1－a)＝f(a－1)，得2a－(1-a)＝4a-1，即22a-1＝22a-2，所以2a－1＝2a－2，无解．综上可知，a＝. 答案： 角度3　指数函数性质的综合应用 例4　已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数． (1)求a的值； (2)若∀x∈[1，2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)＝，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以＋2x＝－，所以＝0，即＋1＝0，解得a＝－1. (2)因为f(x)＝－2x，x∈[1，2]，所以－22x≥m，所以m≥＋2x，x∈[1，2]，令t＝2x，t∈[2，4]，由于y＝t＋在区间[2，4]上单调递增，所以m≥4＋，则实数m的取值范围是. 1．比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小． 2．指数不等式的求解主要利用指数函数的单调性进行转化． 3．解指数方程的依据，af(x)＝ag(x)(a＞0，且a≠1)⇔f(x)＝g(x)． 4．涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 提醒　在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论． 1．(多选)下列大小关系正确的是(　　) 解析：BD　对于A，函数y＝πx在R上单调递增，故π2.5<π3.4，故A错误；对于B，函数y＝在区间(0，＋∞)上单调递增，故，故B正确；对于C，函数y＝0.7x在R上单调递减，故0.70.2>0.72.3，故C错误；对于D，因为<0.60＝>0.90＝1，所以，故D正确．故选BD. 2．(多选)已知函数f(x)＝＋a(a∈R)，则(　　) A．f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) B．f(x)的值域为R C．当a＝1时，f(x)为奇函数 D．当a＝2时，f(－x)＋f(x)＝2 解析：ACD　对于函数f(x)＝＋a(a∈R)，令2x－1≠0，解得x≠0，所以f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A正确；当x>0时，2x>1，2x－1>0，>0，所以＋a>a；当x<0时，0<2x <1，－1<2x－1<0，<－2，所以＋a<－2＋a，综上可得，f(x)的值域为(－∞，－2＋a)∪(a，＋∞)，故B错误；当a＝1时，f(x)＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)＝＋1为奇函数，故C正确；当a＝2时，f(x)＝＋1，则f(x)＋f(－x)＝＋1＝2，故D正确．故选ACD. 3．已知p：ax<1(a>1)，q：2x+1－x<2，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　因为ax<1，当a>1时，y＝ax是增函数，所以p：x<0.对于不等式2x+1<x＋2，作出函数y＝2x+1与y＝x＋2的图象，如图所示． 由图象可知，不等式2x+1<x＋2的解集为{x|－1<x<0}，所以q：－1<x<0.又因为{x|－1<x<0}{x|x<0}，所以p是q的必要不充分条件．故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $