第2章 第4节 函数的对称性(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学讲义聚焦函数对称性高考核心考点，涵盖函数自身轴对称与中心对称、两函数图象对称及对称性与周期性关系，按课标要求构建“定义-性质-应用”知识体系。通过考点梳理、方法指导（如对称性质应用口诀）、真题训练（改编题与高考题节选），帮助学生突破难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料特色在于教材题与高考题深度对接，采用“性质总结+口诀记忆+分层训练”策略，如中心对称问题通过“f(a+x)+f(a-x)=2b”模型培养数学思维，设置基础巩固到综合应用练习保障复习效果。助力学生提升解题能力，为教师精准把控复习节奏提供有力支撑。

第4节　函数的对称性 课标解读 1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．　2.会利用对称公式解决问题． 1．函数自身的对称性 (1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称； (2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a，0)对称． (3)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a，0)． 2．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称． 对称性与周期性之间的三个常用结论 (1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x＝a和x＝b对称，则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|； (2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|； (3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b，0) 对称，则函数f(x)的周期为T＝4|a－b|. 1．(多选)(苏教必修一P127习题T9改编)下列结论正确的是(　　) A．函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 B．函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 C．若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称 D．若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称 解析：AD　对于B，函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(－1，0)对称，故B错误；对于C，由函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0可得函数f(x)的周期是4，但不能推出f(x)的图象关于y轴对称，故C错误；易得A、D正确．故选AD. 2．(人A必修一P87习题T13改编)函数f(x)＝的图象的对称中心为(　　) A．(0，0) B．(0，1) C．(1，0) D．(1，1) 解析：B　因为f(x)＝，由y＝的图象向上平移一个单位长度得到y＝1＋的图象，又y＝＝1＋的图象的对称中心为(0，1)．故选B. 3．(苏教必修一P133复习题T14改编)已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点________． 解析：y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1，2)． 答案：(－1，2) 4．(人B必修一P115练习BT5改编)已知函数f(x)的定义域为R，且函数图象关于x＝3对称，f(x)在区间(－∞，3]上单调递增，则f(x)在[3，＋∞)上的单调性为________． 解析：因为函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，所以f(x)＝f(6－x)，设x≥3，则－x≤－3，所以6－x≤3.任取x1，x2∈[3，＋∞)，且x1＜x2，则6－x2＜6－x1≤3.因为f(x)在区间(－∞，3]上单调递增，所以f(6－x1)＞f(6－x2)，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在区间[3，＋∞)上单调递减． 答案：单调递减 考点一　轴对称问题(师生共研) 例1　(1)已知函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，求ab的值． 解：因为f(x)的图象关于直线x＝－2对称，所以f(－3)＝f(－1)，f(－5)＝f(1)，即解得所以ab＝120. (2)(2023·全国乙卷T21节选)已知函数f(x)＝ln (1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由． 解：假设存在a，b, 使得曲线y＝f关于直线x＝b对称．令g(x)＝f＝(x＋a)ln ＝(x＋a)ln ，因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称，所以g(x)＝g(2b－x)，即(x＋a)ln ＝(2b－x＋a)ln ＝(x－2b－a)ln ，于是解得当a＝时，g(x)＝ln ，g(－1－x)＝ln ＝ln ＝ln ＝ln ＝g(x)， 所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称，满足题意． 故存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称，且a＝. 轴对称问题的常用性质 (1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)． (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称． 1．已知函数f(x)＝32-x＋3x＋a，其中a为常数，若存在x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．2a 解析：C　因为f(2－x)＝3x＋32-x＋a＝f(x)，所以f(x)关于直线x＝1对称，又f(x1)＝f(x2)，所以x1＋x2＝2.故选C. 2．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在区间[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)＞f(－1)的解集为________． 解析：因为f(x＋2)是偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)在区间[2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在区间(－∞，2]上单调递增．又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)＞f(－1)，所以－x2＞－1，即x2＜1，所以－1＜x＜1，所以原不等式的解集为(－1，1)． 答案：(－1，1) 考点二　中心对称问题(师生共研) 例2　(1)若函数f(x)＝的图象关于点(1，2)对称，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：D　f(x)＝关于点(1，2)对称，所以f(1＋x)＋f(1－x)＝4，即a＋＝2a＝4，则a＝2.故选D. (2)已知函数f(x)满足f(－x)＋f(x＋2)＝0，若函数y＝f(x)－有6个零点，则6个零点的和为________． 解析：因为f(－x)＋f(x＋2)＝0，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，又y＝的图象也关于点(1，0)对称，所以函数y＝f(x)－(x≠1)的图象关于点(1，0)对称，该函数的零点之和为2×3＝6. 答案：6 中心对称问题的常用性质 (1)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)． (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称． 提醒　对于函数自身对称的性质可以简记为：函数自身对称求平均，即性质2关于点对称，也就是关于点对称． 1．已知函数y＝f(x＋2)为奇函数，则函数y＝f(x)＋2的图象(　　) A．关于点(2，2)对称 B．关于点(2，－2)对称 C．关于点(－2，2)对称 D．关于点(－2，－2)对称 解析：A　因为函数y＝f(x＋2)为奇函数，所以f(－x＋2)＝－f(x＋2)，所以函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以函数y＝f(x)＋2的图象关于点(2，2)对称．故选A. 2．已知函数f(x)＝x3－3x2，则f(k)＝(　　) A．－8098 B．－8096 C．0 D．8100 解析：A　f(x)＝x3－3x2＝(x－1)3－3x＋1＝(x－1)3－3(x－1)－2，所以f(1＋x)＋f(1－x)＝x3－3x－2－x3＋3x－2＝－4，即f(x)关于点(1，－2)中心对称，所以f(k)＝[f(－2023)＋f(2025)]＋[f(－2022)＋f(2024)]＋…＋[f(0)＋f(2)]＋f(1)＝2024×(－4)＋f(1)＝－8098.故选A. 考点三　两个函数图象的对称(师生共研) 例3　已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称 解析：A　设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．故选A. 函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称．可以简记为：两个函数对称解方程，即由a＋x＝b－x，得x＝. 下列函数与y＝2x－cos x的图象关于原点对称的是(　　) A.g(x)＝－2x＋cos x B．g(x)＝2－x－cos (－x) C．g(x)＝－2－x＋cos (－x) D．g(x)＝－2－x－cos (－x) 解析：C　令f(x)＝2x－cos x，f(x)与g(x)的图象关于原点对称，则g(x)＋f(－x)＝0，所以g(x)＝－f(－x)＝－[2－x－cos (－x)]＝－2－x＋cos (－x)．故选C. 高考题　(2024·新课标Ⅰ卷T18节选)已知函数f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3. 证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形． 证明：f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3的图象是由函数g(x)＝ln ＋ax＋bx3＋a向右平移1个单位得到，而函数g(x)＝ln ＋ax＋bx3＋a关于(0，a)中心对称，所以y＝f(x)图象为中心对称图形，且对称中心为(1，a)． 教材题　(人A必修一P87习题T13)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数． (1)求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心； (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论． 点评：高考题与教材题均围绕函数的对称性展开，教材题给出函数图象关于原点及点P(a，b)成中心对称图形的充要条件，并设置求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心及类比推广关于y轴对称结论的问题，旨在让学生理解和掌握函数对称性的基本结论与推广方法；高考题则要求证明给定函数f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3的曲线是中心对称图形，是对教材题中函数对称性知识的深化应用． 学科网（北京）股份有限公司 $