第2章 第3节 函数的奇偶性、周期性(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数奇偶性与周期性核心考点，依据课标要求构建“定义-结论-应用”知识体系，通过考点梳理（奇偶性判断、周期性应用等）、方法指导（定义法、性质法等）、真题训练（改编题与高考题）三阶教学环节，帮助学生系统掌握概念本质与解题策略。 讲义采用多维探究与一题多解策略，如通过抽象函数奇偶性判断培养数学思维，结合周期性转化区间求解析式发展数学语言表达能力。设置基础巩固与能力提升分层练习，配合即时反馈，确保高效突破难点，为教师把控复习节奏、学生提升应考能力提供有力支持。

第3节　函数的奇偶性、周期性 课标解读 1．了解函数奇偶性的概念和几何意义，会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．　2.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 1．函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D 且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 图象 特征 关于y轴对称 关于原点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期； (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)； (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)． 1．(人A必修一P84例6改编)下列函数是奇函数的是(　　) A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝ln |x| D．y＝2－x 解析：A　根据奇函数的定义知奇函数满足f(－x)＝－f(x)，且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项为偶函数；D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选A. 2．(苏教必修一P127习题T5改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－ B． C． D．－ 解析：B　显然b＝0，a－1＋2a＝0，所以a＝，所以a＋b＝.故选B. 3．(人A必修一P85练习T1改编)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为____________． 解析：由图象可知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，所以当－2<x<0时，f(x)<0，当－5≤x<－2时，f(x)>0.综上，f(x)<0的解集为(－2，0)∪(2，5]. 答案：(－2，0)∪(2，5] 4．(人A必修一P203练习T4改编)已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝x2＋4，则f(2026)＝________． 解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是以3为周期的周期函数，所以f(2026)＝f(675×3＋1)＝f(1)＝5. 答案：5 考点一　函数奇偶性的判断(多维探究) 角度1　常见函数奇偶性的判断 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ ＋ ； (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； (3)f(x)＝； (4)(一题多解)f(x)＝ 解：(1)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f(－x)＝ ＋ ＝f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)f(x)的定义域为R，且f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． (3)由1－x2≥0得－1≤x≤1，所以x＋2＞0， 所以f(x)＝，定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称． 又f(－x)＝，所以函数f(x)是奇函数． (4)法一(图象法)：画出函数f(x)＝的图象如图所示，图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数． 法二(定义法)：易知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x＞0时，f(x)＝x2－x，则当x＜0时，－x＞0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2＋x，则当x＞0时，－x＜0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)，故原函数是偶函数． 法三(性质法)：f(x)还可以写成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)为偶函数． 角度2　抽象函数奇偶性的判断 例2　已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y＋1)＝f(x)＋f(y)，则下列结论一定正确的是(　　) A．f(x)＋1是奇函数 B．f(x－1)是奇函数 C．f(x)－1是奇函数 D．f(x＋1)是奇函数 解析：B　对于B，因为f(x＋y＋1)＝f(x)＋f(y)，令x＝y＝－1，可得f(－1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0.令y＝－2－x，则f(－1)＝f(x)＋f(－2－x)＝0，故f(x)的图象关于点(－1，0)对称，则f(x－1)的图象关于点(0，0)对称，即f(x－1)是奇函数，故B正确； 对于C，法一：令x＝y＝0，可得f(1)＝f(0)＋f(0)，则f(0)＝f(1)，当f(1)≠2时，f(0)－1≠0，此时f(x)－1不可能是奇函数，由于无法确定f(1)的值，故f(x)－1不一定是奇函数． 法二：取f(x)＝－x－1，满足f(x＋y＋1)＝f(x)＋f(y)，但f(x)－1＝－x－2，不是奇函数，故C错误；对于A、D，取f(x)＝x＋1，满足f(x＋y＋1)＝f(x)＋f(y)，但f(x)＋1＝x＋2与f(x＋1)＝x＋2都不是奇函数，故A、D错误．故选B. 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 1．设函数f(x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－1|，则f(x)(　　) A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是奇函数，且在区间上单调递减 C．是偶函数，且在区间上单调递增 D．是奇函数，且在区间上单调递减 解析：D　f(x)的定义域为{x}，f(－x)＝ln |－2x＋1|－ln |－2x－1|＝ln |2x－1|－ln |2x＋1|＝－f(x)，则f(x)为奇函数．当x∈时，f(x)＝ln (2x＋1)－ln (1－2x)单调递增；当x∈时，f(x)＝ln (－2x－1)－ln (－2x＋1)＝ln ＝ln 单调递减．因为f(x)为奇函数，所以当x∈时，f(x)单调递减．故选D. 2．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则函数f(x)＋2为________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 解析：由题意，得函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)＋2，故f(0)＝－2.令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2，故f(x)＋2＝－f(－x)－2＝－[f(－x)＋2].故f(x)＋2为奇函数． 答案：奇 考点二　函数奇偶性的应用(多维探究) 角度1　利用函数奇偶性求值(解析式) 例3　(1)已知偶函数f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝2sin x，当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f＋f(4)＝(　　) A．－ ＋2 B．1 C． ＋2 D．3 解析：C　因为函数f(x)是偶函数，当x∈[0，2)时，f(x)＝2sin x，所以f＝f＝2sin .又因为当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x，所以f(4)＝log24＝2，所以f f(4)＝ ＋2.故选C. (2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x＜0时，f(x)＝____________________． 解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即1＋a＝0，所以a＝－1.当x≥0时，f(x)＝2x－2x－1，设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－2－x－2x＋1. 答案：－1　－2－x－2x＋1 角度2　利用函数奇偶性解不等式 例4　已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋2)．若f(3＋m)＋f(3m－7)＞0，则m的取值范围为(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 解析：D　当x≥0时，f(x)的对称轴为x＝－1，故f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．函数在x＝0处连续，又f(x)是定义域为R的奇函数，故f(x)在R上是增函数．因为f(－x)＝－f(x)，由f(3＋m)＋f(3m－7)＞0，可得f(3＋m)＞f(7－3m)，又因为f(x)在R上是增函数，所以3＋m＞7－3m，解得m＞1.故选D. 角度3　构造函数求值 例5　已知函数f(x)＝x＋ln －5(x∈[－2026，2026])的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝____________． 解析：设g(x)＝f(x)＋5＝x＋ln ，则g(x)的定义域为[－2026，2026]， 则g(x)＋g(－x)＝x＋ln －x＋ln ＝ln []＝ln 1＝0， 所以g(－x)＝－g(x)，即g(x)是奇函数， 因此g(x)min＋g(x)max＝0. 又g(x)min＝f(x)min＋5＝m＋5，g(x)max＝f(x)max＋5＝M＋5， 所以g(x)min＋g(x)max＝m＋5＋M＋5＝0，即M＋m＝－10. 答案：－10 函数奇偶性的应用类型及解题策略 (1)求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式． (2)求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (3)求参数值：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性，得出参数的值．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解，注意检验． (4)解不等式：利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，将问题转化到同一单调区间内求解，涉及偶函数时常用f(x)＝f(|x|)，将问题转化到区间[0，＋∞)上求解． 1．(一题多解)若函数f(x)＝是奇函数，则实数a＝(　　) A．0 B．－1 C．1 D．±1 解析：C　法一(定义法): 因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝－a2x－1，－f(x)＝－x－a，则－a2x－1＝－x－a，可得a＝1.故选C. 法二(特殊值法)：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即－a2－1＝－(1＋a)，解得a＝0或a＝1，经检验a＝1符合题意．故选C. 2．设函数f(x)＝x5＋2x3＋3x＋1在区间[－2025，2025]上的最大值是M，最小值为m，则M＋m等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：C　由题意知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，令g(x)＝f(x)－1＝x5＋2x3＋3x，则函数g(x)为奇函数，所以g(x)在区间[－2025，2025]上的最大值与最小值之和为0，即(M－1)＋(m－1)＝0，所以M＋m＝2.故选C. 3．已知偶函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则不等式xf(x－2)＞0的解集为(　　) A．(1，3) B．(3，＋∞) C．(－3，－1)∪(3，＋∞) D．(0，1)∪(3，＋∞) 解析：D　偶函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，则在区间(0，＋∞)上单调递增．因为f(1)＝0，则当x＞0时，xf(x－2)＞0即f(|x－2|)＞0＝f(1)，所以x－2＞1或x－2＜－1，解得x＞3或x＜1，所以x∈(0，1)∪(3，＋∞)．当x＜0时，xf(x－2)＞0即f(x－2)＜0，f(|x－2|)＜0＝f(1)，所以－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3，所以解集为空集．综上，原不等式的解集为(0，1)∪(3，＋∞)．故选D. 考点三　函数的周期性(师生共研) 例6　(1)若函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝，则f(23)＝(　　) A．－1 B．－ C．0 D． 解析：B　由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，f(23)＝f(23－4×6)＝f(－1)．因为f(－1＋2)＝－f(－1)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝，所以f(－1)＝－f(1)＝.故选B. (2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在区间[2，4]上的解析式为____________． 解析：根据题意，设x∈[2，4]，则x－4∈[－2，0]，则有4－x∈[0，2]，又x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x)，又f(x)为周期为4的偶函数，所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]，则有f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]. 答案：f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4] 函数周期性的判定与应用 (1)判定：判断函数为周期函数只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． (2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间上的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是定义在R上的函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． 1. (2025·全国一卷T5)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：A　由题知f(x)＝f(－x)，f(x＋2)＝f(x)对一切x∈R成立，于是f＝f＝f＝5－2×.故选A. 2．(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2，则(　　) A．f(2026)＝2 B．f(x)的值域为[－1，2] C．f(x)在区间[4，6]上单调递减 D．f(x)在[－6，6]上有8个零点 解析：AB　f(2026)＝f(506×4＋2)＝f(2)＝2，故A正确；当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增，所以当x∈[0，2]时，函数的值域为[－1，2]，由于函数是偶函数且周期为4，所以函数的值域为[－1，2]，故B正确；当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增，又函数的周期是4，所以f(x)在区间[4，6]上单调递增，故C错误；令f(x)＝2x－2＝0，所以x＝1，所以f(1)＝f(－1)＝0，由于函数的周期为4，所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，所以f(x)在区间[－6，6]上有6个零点，故D错误．故选AB. 学科网（北京）股份有限公司 $