第2章 第6节 指数式与对数式的运算(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学高考复习讲义围绕指数式与对数式运算核心考点，按根式、有理数指数幂、对数的概念及运算性质逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建运算体系，突破化简求值难点。 讲义以“用数学思维思考”“用数学语言表达”为导向，设计实际应用案例如废气过滤问题，引导学生建立函数模型解决问题，培养模型意识与应用能力。设置分层练习与高考真题对接，配合师生共研的解题策略，助力学生高效提升运算与应考能力，为教师把控复习节奏提供系统支撑。

第6节　指数式与对数式的运算 课标解读 1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．　2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 1．根式与有理数指数幂 (1)根式 ①一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*； ②式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数； ③n＝a．当n为奇数时， ＝a；当n为偶数时， ＝|a|＝ (2)有理数指数幂 概念 正分数指数幂：＝ a＞0，m，n∈N*，n＞1 负分数指数幂：＝ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 运算 性质 aras＝ar＋s a＞0，b＞0，r，s∈Q (ar)s＝ars (ab)r＝arbr 2．对数 概念 般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 性质 对数式与指数式的互化：当a＞0，a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN 负数和0没有对数 1的对数是__0__：loga1＝__0__ 底数的对数是__1__：logaa＝__1__ 对数恒等式：alogaN＝__N__ 运算 性质 loga(MN)＝logaM＋logaN a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM (n∈R) 换底 公式 logab＝ 1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝； logab(a，b均大于0且a不等于1，m≠0，n∈R)． 2．换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d＞0)． 1．(多选)(人A必修一P109习题T1，T5改编)下列结论中，正确的是(　　) A．设a＞0，则＝a B．若m8＝2，则m＝± 8＝ D． ＝2－π 解析：BC　对于A，根据指数幂的运算性质，可得≠a，故A错误；对于B，m8＝2，故m＝± ，故B正确；对于8＝m2n-3＝，故C正确；对于D， ＝|2－π|＝π－2，故D错误．故选BC. 2．(多选)(人A必修一P126练习T1改编)下列运算正确的有(　　) A．lg 2＋lg 3＝lg 5 B．log3100＝10log310 C．4log45＝5 D．log34·log43＝1 解析：CD　lg 2＋lg 3＝lg 6，故A错误； log3100＝2log310，故B错误； 4log45＝5，故C正确； log34·log43＝1，故D正确．故选CD. 3．(人A必修一P127习题T3(6)改编)若log35·log2527＝a，则a＝________． 解析：log35·log2527＝log35·log53＝，所以a＝. 答案： 4．(人A必修一P110习题T7(2)改编)已知a2x＝3，则ax＋a－x＝________． 解析：因为a2x＝3，所以a-2x＝，所以(ax＋a－x)2＝a2x＋2＋a-2x＝3＋2＋，所以ax＋a－x＝. 答案： 考点一　指数幂的化简与求值(师生共研) 例1　化简与求值： ； (a＞0，b＞0)； . 解：(1)原式＝＋0.09＝－0.16. (2)原式＝. (3)原式＝＝2. 1．指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： (1)必须同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序． 2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． 3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 1．(多选)已知a＋a-1＝3，则下列选项正确的是(　　) A．a2＋a-2＝＝±1 解析：ABD　将a＋a-1＝3两边平方，得(a＋a-1)2＝a2＋2＋a-2＝9，所以a2＋a-2＝7，故A正确；因为2＝a－2＋a-1＝3－2＝的大小不确定，所以＝±1，故B正确；因为2＝a＋2＋a-1＝3＋2＝5，又因为>0，所以 ，故C错误；由立方和公式，可得3＝(a－1＋a-1)＝ ×(3－1)＝2 ，故D正确．故选ABD. ．＝________． 解析： ＝－＋1＋ ＝1. 答案：1 考点二　对数式的化简与求值(师生共研) 例2　(1)若2a＝3，3b＝5，5c＝4，则log4(abc)＝(　　) A．－2 B． C． D．1 解析：B　由2a＝3，3b＝5，5c＝4，可得a＝log23，b＝log35，c＝log54，所以abc＝log23×log35×log54＝＝2， 则log4(abc)＝log42＝.故选B. (2)计算：＝________． 解析：原式＝ ＝ ＝＝1. 答案：1 1．在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并． 2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算． 3．ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化． 1．计算： －log5－log514＝________． 解析：原式＝＝＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2. 答案：2 2．已知lg 2＝a，lg 3＝b，用a，b表示log1815＝________． 解析：log1815＝ ＝. 答案： 考点三　指数式与对数式的实际应用(师生共研) 例3　某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系为：P＝P0·e－kt(k为正常数，P0为原污染物数量)．若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤(　　) A．小时 B．小时 C．5小时 D．小时 解析：C　由题意，前5个小时消除了90%的污染物，因为P＝P0·e－kt，所以(1－90%)P0＝P0e-5k，所以0.1＝e-5k，即－5k＝ln 0.1，所以k＝－ln 0.1，则由0.01P0＝P0e－kt，即ln 0.01＝×ln 0.1，所以t＝10，即总共需要过滤10小时，污染物的残留含量才不超过1%，又因为前面已经过滤了5小时，所以还需过滤5小时．故选C. 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 第一步：理解题意、理清条件与所求之间的关系． 第二步：运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求． 　(2025·北京顺义一模)在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述．视星等m是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响，绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距(10秒差距≈32.6光年)时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度．视星等m和绝对星等M满足m－M＝，其中d是与地球的距离，单位为秒差距．若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足mB－mA＝4，则(　　) A．MB＝MA＋4 B．MB＝MA＋6 C．MA＝MB＋1 D．MA＝MB＋6 解析：C　由题意，dA＝10秒差距，dB＝100秒差距，mA－MA＝5lg ＝0，mB－MB＝，两式相减可得mA－MA－mB＋MB＝－5，又mB－mA＝4，所以MB－MA＝－1，所以MA＝MB＋1.故选C. 高考题　(2025·北京卷T9)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)(　　) A.2　　　 B．4　　　 C．20　　　 D．40 解析：B　设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，由题意，T1＝klog2106＝6klog210，T2＝klog2(1.024×109)＝klog2(210×106)＝k(10＋6log210)，T3＝klog2(4.096×109)＝klog2(212×106)＝k(12＋6log210)，因为T2－T1＝k(10＋6log210)－6klog210＝10k＝20，所以k＝2，所以T3－T2＝k(12＋6log210)－k(10＋6log210)＝2k＝4，所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时．故选B. 教材题　(人A必修一P126例5)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M. 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)？ 点评：两题均围绕对数函数模型展开，核心联系是利用对数运算性质解决实际问题中的变量关系．教材例题通过震级差计算能量倍数，高考题通过数据量倍数计算时间增量，两者均依赖对数的减法转化为变量的倍数关系，体现了对数函数将非线性倍数关系转化为线性增量关系的统一思想，且均需通过比例常数建立实际量与对数函数的联系． 学科网（北京）股份有限公司 $