第2章 第5节 幂函数与几类特殊函数(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学高考复习讲义围绕幂函数与对勾函数、飘带函数等特殊函数，按概念、图象、性质的逻辑层次展开，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破函数性质应用难点。 讲义采用多维探究与分层训练结合的教学策略，如通过幂函数第一象限图象特征分析指数大小培养数学眼光，借助对勾函数单调性推理提升数学思维，设置基础到综合的例题与练习，有效提升学生解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第5节　幂函数与几类特殊函数 课标解读 1．了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝的图象，理解它们的变化规律．　2.了解对勾函数、飘带函数、高斯函数、狄利克雷函数、最值函数和一次分式函数的图象与性质． 1．幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．常见的五种幂函数的图象 3．幂函数的性质 (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义； (2)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在区间(0，＋∞)上单调递增； (3)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在区间(0，＋∞)上单调递减． 1．幂函数y＝xα在第一象限的两个重要结论 (1)恒过点(1，1)； (2)当x∈(0，1)时，α越大，函数值越小；当x∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大． 2．一般地，对于幂函数f(x)＝(m∈Z，n∈N*，m与n互质)，当m为偶数时，f(x)为偶函数；当m，n均为奇数时，f(x)为奇函数；当n为偶数时，f(x)为非奇非偶函数． 3．对勾函数y＝ax＋(ab>0)的极值与极值点可利用基本不等式求得． 1．(人A必修一P91练习T1改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(4)＝(　　) A． B．4 C． D． 解析：A　设f(x)＝xα，因为图象过点，所以f(2)＝2α＝，解得α＝－1，所以f(4)＝4-1＝.故选A. 2．(人B必修二P38习题CT1改编)若幂函数y＝x-1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m< C．－1<m<0<n< D．－1<n<0<m<1 解析：D　对于幂函数y＝xα(α∈R)，当α>0时，y＝xα在区间(0，＋∞)上单调递增，且当0<α<1时，图象上凸，所以0<m<1.当α<0时，y＝xα在区间(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2-1<2n，则－1<n<0.综上可知，－1<n<0<m<1.故选D. 3．(人A必修一P91练习T2(1))比较大小：(－1.5)3________(－1.4)3. 解析：由于函数y＝x3在R上单调递增，且－1.5<－1.4.故(－1.5)3<(－1.4)3. 答案：< 4．(人A必修一P92探究与发现改编)设x∈[－2，0)，则x＋的取值范围是________． 解析：设函数f(x)＝x＋，则当x∈[－2，－1]时，f(x)＝x＋单调递增，此时f(x)∈；当x∈(－1，0)时，f(x)＝x＋单调递减，此时f(x)∈(－∞，－2)，故x∈[－2，0)，则x＋的取值范围是(－∞，－2]. 答案：(－∞，－2] 考点一　幂函数(师生共研) 例1　(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A．－2，－，2 B．2，，－2 C．－ D．2， 解析：B　根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象：当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，所以曲线C1的n＝2，C2的n＝越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，C4的n＝－2.故选B. (2)已知幂函数f(x)＝(3m2＋m－1)xm为偶函数，且a＝f(－2)，b＝f(e)，c＝f(1)，则(　　) A．b<c<a B．c<b<a C．a<b<c D．c<a<b 解析：D　因为f(x)＝(3m2＋m－1)xm是幂函数，所以3m2＋m－1＝1，解得m＝－1或m＝，又因为f(x)是偶函数，所以m＝，故f(x)＝，因为>0，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，又a＝f(－2)＝f(2)，且1<2<e，所以f(1)<f(2)<f(e)，即c<a<b.故选D. 1．对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． 2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 1．幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值为(　　) A．2或－1 B．－1 C．2 D．－2或－1 解析：B　由题意可知，m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，当m＝－1时，f(x)＝x-3，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，成立；当m＝2时，f(x)＝x3，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，不成立，所以m＝－1.故选B. 2．若，则实数a的取值范围是________________． 解析：不等式等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或<a<. 答案：(－∞，－1)∪ 考点二　几类特殊函数(多维探究) 角度1　一次分式函数 例2　已知函数f(x)＝，其中a∈R. (1)当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值； (2)若函数f(x)在区间(－1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 解：(1)f(x)＝，所以f(x)的对称中心为点(－1，a)，由题意得a＝3. (2)由f(x)＝知直线x＝－1为f(x)的一条渐近线，又由一次分式函数的性质知，当且仅当2－2a＞0，即a<1时，f(x)在区间(－1，＋∞)上单调递减，故a的取值范围是(－∞，1)． 角度2　对勾函数、飘带函数 例3　(1)(一题多解)函数 f(x)＝ 的图象大致为 (　　) 解析：B　法一：当x≠0 时，f(x)＝，令g(x)＝x－(飘带函数)，则 g(x)的图象如图，当x<－1 时，g(x)单调递增，f(x)单调递减，且 f(x)<0，排除A、C；当－1<x<0 时，g(x)单调递增，f(x)单调递减，且 f(x)>0，排除D.故选B. 法二：当x>1时，f(x)>0，A、C错误；当0<x<1 时，f(x)<0，D错误．故选B. (2)(多选)已知函数f(x)＝x＋(a>0)在[2，4]上的最大值比最小值大1，则a的值可以是(　　) A．4 B．12 C．6－4 D．6＋4 解析：AD　依题意可得f(x)＝x＋(a>0)在区间上单调递减，在区间上单调递增，若≤2，即0<a≤4时，f(x)在区间[2，4]上单调递增，所以f(x)max＝f(4)＝4＋，f(x)min＝f(2)＝2＋，所以f(x)max－f(x)min＝4＋－＝2－＝1，解得a＝4；若≥4，即a≥16时，f(x)在区间[2，4]上单调递减，所以f(x)min＝f(4)＝4＋，f(x)max＝f(2)＝2＋，所以f(x)max－f(x)min＝2＋－＝－2＝1，解得a＝12(舍去)；当2<<4，即4<a<16时，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以f(x)min＝f＝2，f(x)max＝max{f(2)，f(4)}，若4＋>2＋且4<a<16，即4<a<8时，f(x)max＝f(4)＝4＋，所以f(x)max－f(x)min＝4＋＝1，解得a＝4(舍去)或a＝36(舍去)；若4＋且4<a<16，即8≤a<16时，f(x)max＝f(2)＝2＋，所以f(x)max－f(x)min＝2＋＝1，解得a＝6＋4或a＝6－4(舍去)；综上可得a＝6＋4或a＝4.故选AD. 角度3　高斯函数、狄利克雷函数 例4　(1)(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，如：[1.8]＝1，[－1.8]＝－2，人们更习惯称之为“取整函数”．下列说法正确的是(　　) A．函数y＝[x]，x∈R的图象不关于原点对称 B．函数y＝x－[x]，x∈R的值域为[0，1) C．∀x∈R，[2x]＝2[x] D．不等式2[x]2＋[x]－1<0的解集为(0，1) 解析：AB　对于A，y＝[1.8]＝1，y＝[－1.8]＝－2≠－1，所以函数y＝[x]，x∈R的图象不关于原点对称，故A正确；对于B，当x＝k，k∈Z时，y＝x－[x]＝k－k＝0，当k<x<k＋1时，y＝x－[x]＝x－k∈(0，1)，所以函数y＝x－[x]，x∈R的值域为[0，1)，故B正确；对于C，当x＝1.5时，[2x]＝[3]＝3，2[x]＝2[1.5]＝2，故C错误；对于D，不等式2[x]2＋[x]－1<0，即(2[x]－1)([x]＋1)<0，得－1<[x]<，所以0≤x<1，故D错误．故选AB. (2)(多选)德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始人，狄利克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，关于狄利克雷函数D(x)＝有以下四个命题，其中真命题是 (　　) A．函数D(x)是奇函数 B．∃x，y∈R，D(xy)＝D(x)＋D(y) C．函数D(D(x))是偶函数 D．∀x∈R，∀a∈Q，D(a＋x)＝D(a－x) 解析：BCD　对于A，若x是有理数，则－x也是有理数，则D(x)＋D(－x)＝1＋1＝2≠0，因此D(x)不是奇函数，故A错误；对于B，当x＝时，D(xy)＝D＝D＝0，D(x)＝D＝0，D(y)＝D＝0，此时D(xy)＝D(x)＋D(y)，故B正确；对于C，若x是有理数，则D(x)＝1，D(D(x))＝D(1)＝1；若x是无理数，D(x)＝0，D(D(x))＝D(0)＝1，所以∀x∈R，D(D(x))＝1，又－x∈R，则D(D(－x))＝1，因此D(D(－x))＝D(D(x))，所以函数D(D(x))是偶函数，故C正确；对于D，若x是有理数，a∈Q，则a＋x，a－x均是有理数，则D(a＋x)＝D(a－x)＝1；若x是无理数，a∈Q，则a＋x，a－x均是无理数，则D(a＋x)＝D(a－x)＝0，因此∀x∈R，a∈Q，D(a＋x)＝D(a－x)，故D正确．故选BCD. 这几类特殊函数问题的解题思想围绕着知识迁移，就是利用新、旧知识之间的联系，由旧知识的思考方式领会新知识的思考过程，而产生迁移的关键是正确概括两种知识之间包含的共同因素，并与函数的性质相结合． 1．函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：D　函数y＝与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象均关于点(1，0)成中心对称，从图象可知两函数共有8个交点，均关于点(1，0)成中心对称，即横坐标之和等于8.故选D. 2．设x∈R，y＝[x]称为高斯函数，[x]表示不超过x的最大整数，例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1，已知函数f(x)＝－3×2x＋4(0<x<2)，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　) A． B．{－1，0，1} C．{－1，0，1，2} D．{0，1，2} 解析：B　f(x)＝－3×2x＋4(0<x<2)，令t＝2x，t∈(1，4)，可得g(t)＝(t－3)2－，g(t)在区间(1，3]上单调递减，在区间[3，4)上单调递增，当t＝3时，g(t)有最小值g(3)＝－，又因为g(1)＝，g(4)＝0，所以当t∈(1，4)时，g(t)∈，即函数f(x)的值域为，当f(x)∈时，[f(x)]＝－1；f(x)∈[0，1)时，[f(x)]＝0；f(x)∈时，[f(x)]＝1.所以y＝[f(x)]的值域是{－1，0，1}．故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $