第2章 第10讲 简单的幂函数与几类常见的特殊函数(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学讲义聚焦幂函数、对勾函数、高斯函数等高考核心特殊函数，按“定义-图象-性质-应用”逻辑架构梳理知识，通过教材梳理夯实基础，自测诊断检测漏洞，考点探究分模块突破，配合规律方法总结与真题训练，构建系统复习体系。 资料突出数学思维与数学眼光培养，如分析幂函数图象时对比指数差异揭示单调性规律，探究高斯函数时结合取整定义绘制分段图象。设置基础自测、典例精讲、分层对点练三级训练，助力学生快速掌握特殊函数性质，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供高效指导。

第10讲　简单的幂函数与几类常见的特殊函数 【课程标准】　1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．　2.了解一次分式函数、对勾函数、飘带函数、新定义函数(高斯函数、狄利克雷函数和最值函数)的图象与性质． 1.幂函数 (1)定义：一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． (2)简单幂函数的图象和性质 幂函数 y＝x y＝x－1 y＝x2 y＝ y＝x3 图象 定义域 R {x|x≠0} R ［0，＋∞) R 值域 R {y|y∈R且y≠0} ［0，＋∞) ［0，＋∞) R 单调性 增 x∈(－∞，0)减， x∈(0，＋∞)减 x∈［0，＋∞)增， x∈(－∞，0)减 增 增 奇偶性 奇函数 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 奇函数 2.对勾函数、飘带函数 对勾函数 飘带函数 解析式 y＝ax＋(a＞0，b＞0) y＝ax－(a＞0，b＞0) 续表 对勾函数 飘带函数 图象 定义域 {x|x≠0} {x|x≠0} 单调性 单增区间：(－∞，－)，(，＋∞)； 单减区间：， 单增区间：(－∞，0)，(0，＋∞) 奇偶性 奇函数 奇函数 渐近线 y＝ax和x＝0 y＝ax和x＝0 说明 关注北师教材必修一P64例5、P69T3(4) 关注北师教材必修一P73B组T5 3.一次分式函数、高斯函数 一次分式函数 高斯函数 解析式 y＝(a≠0，ad≠bc) y＝［x］ (不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作［x］，又叫取整函数) 图象 定义域 R 学生用书⬇第39页 值域 Z 性质 (1)单调性：当ad＞bc时，单减区间：(－∞，－)，(－，＋∞)； 当ad＜bc时，单增区间：(－∞，－)，(－，＋∞) (2)对称性：对称中心(－，) (3)渐近线方程：x＝－和y＝ 不具有单调性、奇偶性、周期性、对称性 说明 关注北师教材必修一P72A组T3，P73B组T4 关注北师教材必修一P57例4，必修二P2例1、例2 4.最值函数、狄利克雷函数 (1)设min{a，b}＝max{a，b}＝ 直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数． (2)狄利克雷函数D(x)＝的性质 ①定义域R；值域{0，1}．②奇偶性：偶函数． ③周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期． ④无法画出函数的图象，但其图象客观存在． ［常用结论］ 1.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质． (2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限． 2.对勾函数y＝ax＋(ab＞0)的极值与极值点可利用基本不等式求得． 【自测诊断】 1.(多选)下列结论正确的有(　　) A．函数y＝2x是幂函数 B．当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数 C．当n是偶数时，幂函数y＝x(m，n∈Z，且m是奇数)是偶函数 D．函数y＝x＋的单调增区间是(－∞，－)，(，＋∞) 答案：BC 2.(2025·河南驻马店模拟)已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm的图象与坐标轴无公共点，则m＝(　　) A．－2 B.1 C．－2或1 D．－1或2 答案：A 解析：因为f(x)为幂函数，所以m2＋m－1＝1，即m2＋m－2＝0，解得m＝－2或m＝1.当m＝－2时，f(x)＝x－2＝，图象与坐标轴无公共点，符合题意；当m＝1时，f(x)＝x，其图象与坐标轴有公共点，不合题意．综上，m＝－2.故选A． 3.(链接北师必修一P64例5)函数f(x)＝x＋在上的最小值为(　　) A.4 B． C． D.5 答案：B 解析：由对勾函数的单调性知，函数f(x)＝x＋上单调递增，所以f(x)min＝f．故选B． 4.(链接北师必修一P59B组T2)函数f(x)＝［x］的函数值表示不超过x的最大整数，例如，［－3.5］＝－4，［2.1］＝2，则函数g(x)＝x－［x］的值域为　　． 答案：［0，1) 解析：设x＝a＋b，其中a＝［x］，b为x的小数部分，则0≤b＜1，则g(x)＝x－［x］＝b∈，所以函数g(x)的值域为． 考点一　幂函数的图象和性质自主练透 1.如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2，2， D．2，，－2，－ 答案：B 解析：根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象：当n＞0时，n越大，y＝xn递增速度越快，所以曲线C1的n＝2，C2的n＝；当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，C4的n＝－2.故选B． 2.(2026·上海模拟)幂函数y＝xa在上是严格减函数，且经过，则a的值可能是(　　) A．－ B．－ C． D.3 答案：B 解析：因为幂函数y＝xa在上是严格减函数，所以a＜0，故C错误，D错误；对于A，若a＝－，则y＝，当x＝－1时，y＝＝＝＝1，所以幂函数y＝过点，故A错误；对于B，若a＝－，则y＝，当x＝－1时，y＝＝＝－1，所以幂函数y＝过点，故B正确.故选B. 3.(2026·河北石家庄模拟)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b 答案：D 解析：由a＝，b＝，c＝，得a＝，b＝，c＝.因为幂函数y＝在区间(0，＋∞)上单调递增，且＜＜，所以＜＜，即c＜a＜b.故选D. 学生用书⬇第40页 4.(多选)已知函数f(x)＝xα，则下列说法正确的是(　　) A．∀α∈，f＝1 B．∃α∈，f(0)＝0 C．两个幂函数的图象最多只有5个交点，且交点关于原点中心对称 D．当x∈时，α越小，f(x)越大 答案：AD 解析：对于A，对任意α∈＝1α＝1，恒成立，故A正确；对于B，α∈时，f(0)＝0α无意义，故B错误；对于C，两个幂函数y＝xa和y＝xb的交点满足xa＝xb，解得x＝0(仅当指数非负时)、x＝1、x＝－1(可能不存在)．实数范围内最多有3个交点，且当函数为奇函数时交点关于原点对称．故C错误；对于D，当x∈时，f(x)＝xα的值随α的减小而增大，如－1＝2，故D正确．故选AD． 1.对于幂函数的图象先画出其第一象限内的部分，再依奇偶性补全其余象限． 2.比较幂值大小，根据幂值特点选合适的函数，借助单调性判断． 考点二　对勾函数、飘带函数与一次分式函数 师生共研 已知函数f(x)＝＋． (1)若a＝0，求不等式f(x)≥0的解集； (2)若对于一切x∈，不等式f(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝0时，f(x)＝≥0， 得x＞0或解得x＞0或x≤－2， 所以x∈． (2)由题设条件，即＋≥1， 当a≤0时，x－a＋≥1，x＋－1≥a， 因为x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号， 所以a≤3，所以a≤0符合题意. 当a＞0时，f(x)＝ ①当x≥a时，x＋－a≥1，即a≤x＋－1. 设g(x)＝x＋－1，函数g(x)在上单调递减，在上单调递增. 当0＜a≤2时，a≤g＝3，所以0＜a≤2， 当a＞2时，a≤g(a)＝a＋－1，所以a≤4，即2＜a≤4. ②当0＜x＜a时，－x＋＋a≥1，即a≥x－＋1，所以a≥a－＋1，a≤4. 综上，实数a的取值范围是. 　　对于对勾函数、飘带函数与一次分式函数，要利用其性质(对称性、奇偶性、单调性以及渐近线)解决问题． 对点练1.已知函数y＝(常数a∈Z)．有如下三个条件：(1)在区间(1，＋∞)上是严格增函数；(2)在定义域上函数值恒为负值；(3)对称中心为(1，a)． 问：是否存在整数a，使该函数满足条件(1)、(2)、(3)中的两个条件，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：y＝＝a＋＝f(x)，当a＋2≠0时，函数值域. 所以(2)成立只能a＝－2. 要使得y＝a＋在区间(1，＋∞)上是严格增函数，则a＋2＜0，a＜－2； 因为f(x)＋f(－x＋2)＝a＋＋a＋＝2a，所以函数f(x)的对称中心为(1，a)， 由(1)(3)得a＜－2，a∈Z．由(2)(3)可得a＝－2. 综上所述，a≤－2且a∈Z． 【教师备选】　(多选)已知函数f(x)＝x－，下面结论中正确的有(　　) A．f(x)的图象关于原点对称 B．f(x)的图象关于y轴对称 C．方程f(x)＝3的解集为{－1，4} D．∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，不等式＞0恒成立 答案：ACD 解析：函数f(x)的定义域是{x|x≠0}．因为f(－x)＝－x－()＝－(x－)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确，B错误；令f(x)＝x－＝3，得x2－3x－4＝0，解得x＝－1或x＝4，所以解集为{－1，4}，故C正确；在(0，＋∞)内任取x1，x2，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1－－(x2－)＝(x1－x2)＋()＝(x1－x2)·()．因为0＜x1＜x2，x1－x2＜0，x1x2＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数，不等式＞0恒成立，故D正确．故选ACD． 考点三　高斯函数、狄利克雷函数与最值函数 多维探究 角度1　高斯函数 (多选)(2026·山西太原模拟)函数f(x)＝［x］的函数值表示不超过x的最大整数，例如，＝－4，＝2，函数g(x)＝x－［x］，下列说法正确的是(　　) A．函数g(x)的最小正周期为1 B．函数g(x)为奇函数 C．函数g(x)的值域为 D．函数g(x)的单调递增区间为，n∈Z 答案：ACD 解析：对于g(x)＝x－［x］，当n≤x＜n＋1，n∈Z时，［x］＝n，所以g(x)＝x－［x］＝x－n，n≤x＜n＋1，n∈Z，作出g(x)＝x－［x］＝的部分图象，如图． 对于A，函数f(x)每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数，所以函数g(x)的最小正周期为1，故A正确；对于B，结合图象可知，g(x)不是奇函数，故B错误；对于C，结合图象可知，g(x)的值域为，故C正确；对于D，结合图象可知，g(x)的单调递增区间为，n∈Z，故D正确.故选ACD. 角度2　狄利克雷函数 (多选)(2026·山东滨州模拟)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名字命名，该函数解析式为D(x)＝x∈R，其中Q为有理数集，则下列结论正确的为(　　) A．狄利克雷函数是偶函数 B．狄利克雷函数是周期函数，无最小正周期 C．不等式D(x)≥x2的解集为 D．函数f(x)＝x2－2D(x)·x－3有四个不同的零点 答案：ABD 解析：对于A，x是有理数时，－x是有理数，x是无理数时，－x也是无理数，因此总有D(－x)＝D(x)，故A正确；对于B，对任意的有理数T，x是有理数时，x＋T是有理数，x是无理数时，x＋T也是无理数，因此D(x＋T)＝D(x)，所以非零有理数都是其周期，但没有最小正周期，故B正确；对于C，当x∈Q时，不等式D(x)≥x2为1≥x2，此时－1≤x≤1，因此［－1，1］上的所有有理数都是不等式的解，同样当x∉Q时，不等式D(x)≥x2为0≥x2，无实解，故C错误；对于D，当x∈Q时，f(x)＝x2－2D(x)·x－3＝x2－2x－3＝0，x＝3或x＝－1，当x∉Q时，f(x)＝x2－2D(x)·x－3＝x2－3＝0，x＝±，所以f(x)有4个零点，故D正确．故选ABD． 角度3　最值函数 (多选)(2025·江苏苏州模拟)定义min{x，y}表示x，y中的最小者，设函数f(x)＝min{x2－3x＋3，3－|x－3|}，则(　　) A．f(x)有且仅有一个极小值点为 B．f(x)有且仅有一个极大值点为3 学生用书⬇第41页 C．∀x∈⋃，f(x)≤1 D．∃k∈R，f(x)≤k恒成立 答案：ACD 解析：依题意，函数f(x)＝作出函数f(x)的图象，如图所示.由图象知，f(x)有且仅有一个极小值点为，故A正确；函数有两个极大值点1和3，故B错误；令f(x)≤1，可得解得x≤2或x≥5，即当x∈∪时，f(x)≤1，故C正确；由图象知，当x＝3时，函数f(x)的最大值f(3)＝3，所以存在实数k≥3，使得f(x)≤k恒成立，故D正确.故选ACD. 1.处理取整函数和狄利克雷函数这类特殊函数时，先明确函数的核心定义(如取整、分段规则)，再结合其独有的性质(奇偶性、定义域分段性)，将问题转化为可操作的步骤(补全图象、解不等式组、分类验证)，避免脱离定义的盲目运算． 2.最值函数的本质是“分段函数”，需先通过分界点拆分为基础函数，分段分析函数的图象，再研究最值函数的单调性、奇偶性、值域等性质． 对点练2.(多选)(2026·山东青岛模拟)已知狄利克雷函数D(x)＝设函数f(x)＝D(x)·sin πx，则(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)是周期函数 C．f(x)的值域是［－1，1］ D．f(x)在区间［－1，1］上的有理数零点恰有3个 答案：ABD 解析：D(x)的定义域是R，当x为有理数时，－x是有理数，则D(－x)＝D(x)＝1，当x为无理数时，－x是无理数，则D(－x)＝D(x)＝0，即D(x)为偶函数，故f(－x)＝sin·D(－x)＝－sin πx·D(x)＝－f(x)，f(x)是奇函数，故A正确；对于任意的整数2k，k∈Z，当x为有理数时，x＋2k也是有理数，则D＝D(x)＝1，当x为无理数时，x＋2k也是无理数，则D＝D(x)＝0，f＝D·sin＝D(x)·sin πx＝f(x)，即函数f(x)是周期函数，故B正确；函数D(x)的值域为，当x为无理数时，f(x)＝0，当x为有理数时，f(x)＝sin πx，πx不能取到一个周期所有实数，所以f(x)＝sin πx取不到[－1，1]全部，故C错误；f(x)＝D(x)·sin πx＝0，当x为有理数时，f(x)＝sin πx，得出在区间[－1，1]上有－1，0，1，3个有理数零点，故D正确.故选ABD. 对点练3.(2026·安徽合肥模拟)高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称．函数f(x)＝［x］称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过x的最大整数，例如，＝－4，［2.1］＝2，＝3.若＋＋＋＋…＋＋＝114，则实数a的取值范围是　　　　　　． 答案：［10.3，10.4) 解析：由114÷11＝10，得10＜a＜11.又114＝10×7＋11×4，则［a］＝［a＋0.1］＝［a＋0.2］＝…＝［a＋0.6］＝10，［a＋0.7］＝［a＋0.8］＝［a＋0.9］＝［a＋1］＝11，因此解得10.3≤a＜10.4，所以实数a的取值范围是［10.3，10.4)． 对点练4.(2026·广西柳州模拟)记实数x1，x2，…，xn的最小数为min，若f(x)＝min，则函数f(x)的最大值为　　　　． 答案： 解析：如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数y1＝x＋1，y2＝x2－2x＋1，y3＝－x＋8的图象.而f(x)＝min{x＋1，x2－2x＋1，－x＋8}的图象即是图中的实线部分，要求的函数f(x)的最大值即图中最高点A的纵坐标.由联立解得故所求函数f(x)的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $