第2章 第10讲 幂函数与几类常见的特殊函数(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

**基本信息** 聚焦幂函数与特殊函数，通过定义辨析、性质应用及新定义问题，系统构建“概念-性质-应用”逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂函数基础|1-3题|定义法（系数为1）、单调性比较大小、待定系数求解析式|从幂函数定义（系数、指数）到单调性、奇偶性，形成概念应用闭环| |特殊函数|4-8题、11题|狄利克雷函数奇偶性判断、对勾函数分类讨论最值、高斯函数分段求值|特殊函数性质与基本函数性质对比，强化函数概念本质理解| |新定义与综合|9、12-14题|“弱增函数”双条件验证、“倍值区间”单调性与值域结合|以新定义为载体，整合函数性质，提升数学抽象与逻辑推理能力|

课时分层测评12　幂函数与几类常见的特殊函数 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8题，每小题5分，共40分) 1.若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　) A.1或3 B.1 C.3 D.2 答案：B 解析：由题意得m2－4m＋4＝1，且m2－6m＋8＞0，解得m＝1.故选B. 2.已知函数f(x)＝x－3，若a＝f(0.60.6)，b＝f(0.60.4)，c＝f(0.40.6)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＜c＜b B.b＜c＜a C.b＜a＜c D.c＜a＜b 答案：C 解析：因为0＜0.40.6＜0.60.6＜0.60.4，又y＝f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，所以b＜a＜c.故选C. 3.已知幂函数f(x)的图象经过点，则函数g(x)＝(x2－6)f(x)在区间上的最大值是(　　) A.－2 B.－3 C.－4 D.－5 答案：D 解析：设幂函数f(x)＝xα，α∈R，因为其图象过点，所以＝2α，解得α＝－1，则f(x)＝＝，则函数g(x)＝(x2－6)f(x)＝＝x－ .因为函数y＝x－上单调递增，所以g(x)在上单调递增，则当x∈时，g(x)max＝g(1)＝－5.故选D. 4.已知狄利克雷函数D(x)＝则下列结论正确的是(　　 ) A.D(x)是偶函数 B.D(x)是单调函数 C.D(x)的值域为[0，1] D.D(π)＞D(3.14) 答案：A 解析：对于A，当x∈Q时，显然－x∈Q，此时恒有D(x)＝D(－x)＝1，当x∉Q时，此时x是无理数，显然－x也是无理数，此时恒有D(x)＝D(－x)＝0，所以D(x)是偶函数，故A正确；对于B，因为D(0)＝D(1)＝1，所以函数D(x)不是实数集上的单调函数，故B不正确；对于C，由函数的解析式，可知D(x)的值域为{0，1}，故C不正确；对于D，因为D(π)＝0，D(3.14)＝1，所以D(π)＜D(3.14)，故D不正确.故选A. 5.(多选)已知函数f(x)＝x－，下面结论中正确的有(　　) A.f(x)的图象关于原点对称 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.方程f(x)＝3的解集为{－1，4} D.∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，不等式＞0恒成立 答案：ACD 解析：函数f(x)的定义域是{x｜x≠0}，因为f(－x)＝－x－()＝－(x－)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确，B错误；令f(x)＝x－＝3，得x2－3x－4＝0，解得x＝－1或x＝4，所以解集为{－1，4}，故C正确；在(0，＋∞)内任取x1，x2，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1－－(x2－)＝(x1－x2)＋(－)＝(x1－x2)·().因为0＜x1＜x2，x1－x2＜0，x1x2＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数，不等式＞0恒成立，故D正确.故选ACD. 6.(多选)对于函数f(x)＝(x∈R)，下列结论中正确的是(　　 ) A.f(－x＋1)＋f(x－1)＝0 B.当m∈(0，1)时，方程f(x)＝m有唯一实数解 C.函数f(x)的值域为(－∞，＋∞) D.∀x1≠x2，＞0 答案：ABD 解析：因为f(－x)＋f(x)＝＋＝0，故f(x)为奇函数.令t＝x－1，即f(－t)＋f(t)＝f(－x＋1)＋f(x－1)＝0，故A正确；当x＞0时，f(x)＝＝1－，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.又f(0)＝0，f(x)＝＜1，且f(x)是奇函数，所以f(x)的值域为(－1，1)，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，故B正确，C错误；故对∀x1≠x2，＞0，故D正确.故选ABD. 7.若f(x)＝，则不等式f(x)＞f(8x－16)的解集为　　　　. 答案： 解析：因为f(x)＝在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f(x)＞f(8x－16)，所以即2≤x＜，所以不等式的解集为. 8.已知函数f(x)＝x＋(a＞0)在[2，4]上的最大值比最小值大1，则a＝　　　　. 答案：4或6＋4 解析：由对勾函数的性质，可得f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增.①当≤2，即0＜a≤4时，f(x)在[2，4]上单调递增，f(x)max－f(x)min＝f(4)－f(2)＝4＋－2－＝2－＝1，解得a＝4；②当≥4，即a≥16时，f(x)在[2，4]上单调递减，f(x)max－f(x)min＝f(2)－f(4)＝2＋－4－＝－2＝1，解得a＝12(舍去)；③当2＜＜4，即4＜a＜16时，f(x)在[2，)上单调递减，在(，4]上单调递增，f(x)min＝f()＝2，f(x)max＝f(2)或f(4).当f(x)max＝f(2)时，f(x)max－f(x)min＝f(2)－f()＝2＋－2＝1，解得＝2＋＝2－(舍去)，则a＝6＋4，经验证，符合题意.当f(x)max＝f(4)时，f(x)max－f(x)min＝f(4)－f()＝4＋－2＝1，解得＝6或＝2，即a＝36(舍去)或a＝4(舍去).综上，a的值为4或6＋4. 【教师备选】　因为函数f(x)＝x＋(t＞0)的图象形状像对勾，我们称形如“f(x)＝x＋(t＞0)”的函数为“对勾函数”.该函数具有性质：在(0，)上是减函数，在(，＋∞)上是增函数，若对勾函数f(x)＝x＋(t＞0) 对于任意的k∈Z，都有f(k－)≤f(k＋)，则实数t的最大值为　　　　　. 答案： 解析：因为f(k－)≤f(k＋)，则f(k－)－f(k＋)≤0，k－＋－k－－＝－1≤0，即≤1，当k2－＜0时，－＜k＜.因为k∈Z，则k＝0，t＞0.当k2－＞0，即｜k｜＞时，因为k∈Z，则｜k｜≥1，t≤k2－恒成立，所以t≤＝.综上，0＜t≤，所以实数t的最大值为. 9.(10分)(新定义)若函数f(x)在定义域内的某个区间I上是增函数，且y＝在区间I上是减函数，则称函数f(x)在区间I上是“弱增函数”. (1)分别判断函数f(x)＝xex，g(x)＝x2＋4x＋2在区间(1，2)上是否是“弱增函数”(不必证明)； (2)若函数h(x)＝x2＋(m－)x＋b(m，b是常数)在区间(0，1]上是“弱增函数”，求m，b应满足的条件. 解：(1)因为＝ex是增函数， 所以f(x)不是“弱增函数”. 因为g(x)＝x2＋4x＋2在(1，2)上单调递增，但＝x＋＋4在(1，2)上不单调， 所以g(x)在(1，2)上不是“弱增函数”. (2)由题意得h(x)＝x2＋(m－)x＋b在区间(0，1]上是增函数，且＝x＋＋m－在区间(0，1]上是减函数， 所以－≤0，b＞0，≥1，所以m≥，b≥1. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　 ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案：D 解析：函数y＝与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象均关于点(1，0)成中心对称，从图象可知两函数共有8个交点，均关于点(1，0)成中心对称，即横坐标之和等于8.故选D. 11.函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log2x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝　　　　. 答案：4 107 解析：由题意，当2i＋1≤x≤2i＋1－1，i∈N*时，f(x)＝i，在[2i＋1，2i＋1－1]上奇数共有2i－1个，且f(1)＝0，f(3)＝1，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝0＋1＋2×2＋3×22＋…＋9×28＋10.设T＝1＋2×2＋3×22＋…＋9×28，则2T＝2＋2×22＋3×23＋…＋8×28＋9×29，两式相减得－T＝1＋2＋22＋…＋28－9×29＝29－1－9×29＝－1－8×29，所以T＝1＋8×29＝4 097.所以f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝4 097＋10＝4 107. 12.(15分)已知函数f(x)＝｜x－a｜－＋a，a∈R. (1)若a＝0，试判断f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)(一题多解)若f(x)在[1，a]上单调，且对任意x∈[1，a]，f(x)＜－2恒成立，求实数a的取值范围； (3)若x∈[1，6]，当a∈(3，6)时，求f(x)的最大值的表达式M(a). 解：(1)当a＝0时，f(x)＝｜x｜－(x≠0)，f(－x)＝｜x｜＋≠f(x)，f(－x)≠－f(x)， 所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数. (2)当x∈[1，a]时，f(x)＝－x－＋2a， 因为f(x)在[1，a]上单调，所以1＜a≤3. 法一：由上可知f(x)在[1，a]上单调递增， 则f(x)max＝f(a)＝－＋a， 由题意f(x)max＝－＋a＜－2恒成立， 即a2＋2a－9＜0，所以－－1＜a＜－1. 又1＜a≤3，所以1＜a＜－1， 所以实数a的取值范围是(1，－1). 法二：(参数分离)由于f(x)＝－x－＋2a＜－2，即a＜－1， 只要a＜－1，解得－－1＜a＜－1， 又1＜a≤3，所以1＜a＜－1， 所以实数a的取值范围是(1，－1). (3)当x∈[1，6]时，f(x)＝ 又a∈(3，6)，由上式知，f(x)在区间(a，6]上单调递增. 当a∈(3，6)时，f(x)在[1，3)上单调递增，在[3，a]上单调递减. 所以f(x)在[1，3)上单调递增，在[3，a]上单调递减，在(a，6]上单调递增， 则f(x)max＝max{f(3)，f(6)}＝max＝ 综上所述，f(x)的最大值的表达式为M(a)＝ (每小题5分，共10分) 13.(多选)已知函数f的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D使得：(1)f在上是单调函数；(2)f在上的值域是，则称区间为函数f的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有(　　) A.f＝x2 B.f＝ C.f＝x＋ D.f＝ 答案：ABD 解析：根据题意，函数中存在“倍值区间”，则满足f(x)在内是单调函数，其次有依次分析选项：对于A，f＝x2，在区间上，是增函数，其值域为，则区间是函数f的“倍值区间”，故A正确；对于B，f(x)＝，在区间上，是减函数，其值域为，则区间是函数f的“倍值区间”，故B正确；对于C，f(x)＝x＋，当x＞0时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，若函数存在“倍值区间”，则有解可得m＝n＝1，不符合题意，对于变形可得m2－2mn＋1＝0且n2－2mn＋1＝0，必有m＝n，不符合题意；当x＜0时，同理可得，也不符合题意，故f不存在“倍值区间”，故C错误；对于D，f(x)＝，在区间上，有f'＝＞0，则f是增函数，且其值域为，则区间是函数f的“倍值区间”，故D正确.故选ABD. 14.(多选)高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 x∈R，用 表示不超过x的最大整数，则 y＝称为高斯函数，例如 ＝－3，＝2.已知函数 f＝sin＋，函数 g＝，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是(　　) A.函数g不是周期函数 B.函数g的值域为{0，1，2} C.函数g的图象关于 x＝对称 D.方程·g＝x只有一个实数根 答案：ABD 解析：函数 f的定义域是R，因为 f＝sin＋＝sin＋＝f，所以 f为偶函数，当 x≥0时，f＝sin x＋，则 f＝sin＋＝sin x＋＝f，当0＜x≤π时，f＝sin x＋sin x＝2sin x，当π＜x≤2π时，f＝sin x－sin x＝0，所以函数 f的图象如图①所示： 由g＝可知，在 x≥0内，g＝＝＝g，当 x＝2kπ＋，k∈Z时，g＝2，当 2kπ＋≤x≤2kπ＋，且 x≠2kπ＋，k∈Z时，g＝1，当2kπ≤x＜2kπ＋或2kπ＋＜x≤2kπ＋2π，k∈Z时，g＝0.因为 g＝＝＝g，所以 g为偶函数，则函数 g的图象如图②所示： 由函数g的图象得到 g不是周期函数，故 A正确；所以函数 g，故B正确；由 g＝＝＝1，g＝＝＝0，所以函数 g的图象不关于 x＝对称，故C不正确；对于方程 ·g＝x，当 g＝0时，x＝0，方程有一个实数根，当g＝1时，x＝，此时 g＝2≠1，方程没有实数根，当 g＝2时，x＝π，此时 g＝0≠2，方程没有实数根，所以方程·g＝x只有一个实数根，故D正确.故选ABD. 学生用书⬇第45页 学科网（北京）股份有限公司 $