第2章 第2节 函数的单调性与最值(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学讲义聚焦函数单调性与最值高考核心考点，按定义理解、判断证明、应用（比较大小、解不等式、求参数）及最值求法的逻辑架构梳理知识，通过考点分层探究、方法归纳（定义法、导数法等）、真题改编训练等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破单调性判断与应用难点。 资料以数学思维培养为核心，创新采用多维探究模式，如通过函数图象分析培养数学眼光，用定义法证明单调性强化逻辑推理。设置基础巩固、高考真题对比等分层练习，配合即时方法总结，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第2节　函数的单调性与最值 课标解读 1．借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义．　2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质． 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象 是上升的 自左向右看图象 是下降的 (2)单调性、单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有 f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得 f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有 f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得 f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 1．有关单调性的常用结论 在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数． 2．函数y＝f(x)(f(x)＞0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 1．(人A必修一P85习题T1改编)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为(　　) A．(－3，－1)∪(1，4) B．(－5，－3)∪(－1，1) C．(－3，－1)，(1，4) D．(－5，－3)，(－1，1) 解析：C　函数y＝f(x)的图象在区间(－3，－1)和(1，4)自左向右看是下降的，在区间(－5，－3)和(－1，1)自左向右看是上升的，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4)．故选C. 2．(多选)(人A必修一P86习题T3改编)下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝－2x＋1 B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝1－ D．f(x)＝|x| 解析：BCD　对于A，f(x)＝－2x＋1是一次函数，所以f(x)在R上是减函数，故A错误；对于B，因为f(x)＝x2＋1 图象的对称轴为y轴，且开口向上，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，因为y＝－ 在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，函数f(x)＝|x|＝ 函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故D正确．故选BCD. 3．(人A必修一P81例5改编)已知函数f(x)＝，x∈[0，2]，则f(x)的最大值为________，最小值为________． 解析：因为函数f(x)在区间[0，2] 上单调递减，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(2)＝. 答案：2　 4．(人A必修一P100复习参考题T4改编)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[1，2]上具有单调性，则实数a的取值范围为__________________________． 解析：由f(x)在区间[1，2]上具有单调性可知－≤1或－≥2，即a≤－4或a≥－2.所以实数a的取值范围是(－∞，－4]∪[－2，＋∞)． 答案：(－∞，－4]∪[－2，＋∞) 考点一　确定函数的单调性(多维探究) 角度1　求函数的单调区间 例1　(1)函数f(x)＝的单调递增区间是________． 解析：当x≠0时，f(x)＝，因为y＝x＋在区间(－1，0)，(0，1)上单调递减，所以f(x)在区间(－1，0)，(0，1)上单调递增，且x＜0时f(x)＜0，x＝0时，f(x)＝0，x＞0时，f(x)＞0，所以f(x)在区间(－1，1)上单调递增，即f(x)的单调递增区间是(－1，1)． 答案：(－1，1) (2)函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间是______________________． 解析：作出函数的图象如图所示，由图象知，其单调递增区间是. 答案： 角度2　判断或证明函数的单调性 例2　(一题多解)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在区间(－1，1)上的单调性． 解：法一：设－1<x1<x2<1，f(x)＝＝a，则f(x1)－f(x2)＝a－a＝，由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在区间(－1，1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在区间(－1，1)上单调递增． 法二：f′(x)＝.当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(－1，1)上单调递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(－1，1)上单调递增． 1．求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间． 2．(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法． (2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则． 提醒　函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”连接，不要用“∪”． 1．求函数f(x)＝|4－x|·(x－1)的单调区间． 解：f(x)＝|4－x|·(x－1)＝作出函数y＝f(x)的图象如图所示， 根据图象可知其单调递增区间为，(4，＋∞)，单调递减区间为. 2．设f(x)是定义在R上的函数，∀m，n∈R，f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1.求证： (1)x∈R时，恒有f(x)＞0； (2)f(x)在R上是减函数． 证明：(1)由题意知当x＞0时，0＜f(x)＜1；当x＝0时，f(0)＝1＞0；当x＜0时，－x＞0，所以0＜f(－x)＜1.因为f(x＋(－x))＝f(x)·f(－x)，所以f(x)·f(－x)＝1，所以f(x)＝＞0.故x∈R时，恒有f(x)＞0. (2)任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x2)＝f(x1＋(x2－x1))，所以f(x2)－f(x1)＝f(x1＋(x2－x1))－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1].由(1)知f(x1)＞0，又x2－x1＞0，所以0＜f(x2－x1)＜1，故f(x2)－f(x1)＜0，故f(x)在R上是减函数． 考点二　函数单调性的应用(多维探究) 角度1　比较大小 例3　已知f(x)＝2x－，a＝f，b＝f，c＝f，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a 解析：D　易知f(x)＝2x－在区间(1，＋∞)上单调递增， 又 > > >1， 故f>f>f， 即c>b>a.故选D. 角度2　解不等式 例4　(1)已知函数y＝f(x)在定义域(－1，3)上是增函数，则不等式f(2x－1)<f(2－x)的解集是(　　) A．(1，2) B．(－∞，1) C．(0，1) D．(1，＋∞) 解析：C　因为函数y＝f(x)在定义域(－1，3)上是增函数，则 即 解得0<x<1，所以不等式f(2x－1)<f(2－x)的解集是(0，1)．故选C. (2)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足>0，且f＝2，则不等式f(x)－4x>0的解集为________． 解析：易知x1，x2∈(0，＋∞)，则x1x2>0，所以>0，即>0，设g(x)＝，x∈(0，＋∞)，有>0，则任意0<x1<x2，都有g(x1)<g(x2)，所以g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，g＝＝4，则当x∈(0，＋∞)时，由f(x)－4x>0，得>4，即g(x)> g，解得x>，故原不等式的解集为. 答案： 角度3　求参数的范围 例5　(1)已知函数f(x)＝在区间[－1，a－2]上单调递增，则实数a的取值范围为________． 解析：由分段函数解析式知f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在区间[－1，1]上单调递增，由f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，得－1＜a－2≤1，即a∈(1，3]. 答案：(1，3] (2)已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是________． 解析：因为函数f(x)＝是定义在R上的增函数，所以解得0＜a≤，所以实数a的取值范围为. 答案： 函数单调性的应用 (1)比较大小：利用单调性可以比较函数值的大小，但需将各自变量的值化到同一单调区间上． (2)解不等式：利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域． (3)求参数：利用单调性求参数时，把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数． 1．已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)(e为自然对数的底数)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c 解析：D　因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f＝f.又因为当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．因为2＜＜e，所以f(2)＞f＞f(e)，所以b＞a＞c.故选D. 2．已知函数f(x)＝(t＞0)是区间(0，＋∞)上的增函数，则实数t的取值范围是(　　) A．{1} B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：D　因为f(x)＝(t＞0)是区间(0，＋∞)上的增函数，所以所以t≥1.故选D. 3．已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(a2－4)＜2，则实数a的取值范围是_______________． 解析：因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(a2－4)＜2，得f(a2－4)＜f(1)，所以0＜a2－4＜1，解得－ ＜a＜－2或2＜a＜ . 答案：∪ 考点三　函数的最值(师生共研) 例6　求下列函数的最值： (1)f(x)＝，x∈[1，4]； (2)f(x)＝2x2－ . 解：(1)因为f(x)＝，x∈[1，4]，所以f(x)在区间[1，4]上单调递增，所以函数的最小值为f(1)＝，最大值为f(4)＝. (2)令 ＝t，t≥1，则x2＝t2－1，所以设y＝2(t2－1)－t＝2t2－t－2(t≥1)．因为y＝2t2－t－2(t≥1)的图象的对称轴为直线t＝，所以当t≥1时，y＝2t2－t－2的图象是上升的，所以ymin＝2×12－1－2＝－1，所以函数f(x)的最小值为－1，无最大值． 求函数最值的五种常用方法 (1)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (2)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求出最值． (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求出最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． (5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h(x)＝，x∈，则水流喷出的高度h的最大值是________m. 解析：由函数h(x)＝－x2＋2x＋，x∈的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点，此时函数取得最大值．对于函数h(x)＝－x2＋2x＋＝－(x－1)2＋，故当x＝1时，函数有最大值 m．于是水流喷出的最高高度是 m. 答案： 高考题　(2024·新课标Ⅰ卷T6)已知函数f(x)＝ 在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，0]　　　　B．[－1，0] C.[－1，1] D．[0，＋∞) 解析：B　因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)单调递增，则需满足解得－1≤a≤0，即实数a的取值范围是[－1，0].故选B. 教材题　(人A必修一P100T4)已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，求实数k的取值范围． 点评：该高考题主要考查已知函数的单调性求参数，与教材习题角度相同，只不过将函数换为分段函数，源于教材而高于教材． 求函数的值域通常有下列五种方法： (1)配方法：形如函数y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c的最值问题，可以考虑用配方法； (2)单调性法：求函数值域时，如果能够先判断函数的单调性，可以利用函数在给定区间上的单调性求值域； (3)分离常数法：对于形如y＝的函数，可以变形为y＝m±的形式，再利用反比例函数的性质求值域； (4)换元法：对于形如y＝ax±b± 的无理函数，可以通过换元消去根式，转化为求有理函数的值域，间接地求解原函数的值域； (5)基本不等式法：通过对函数解析式变形，利用基本不等式求最值，进而求得值域． 典例　(1)函数f(x)＝x2－2x＋3，x∈[0，3)的值域为________． 解析：(配方法)：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，x∈[0，3)，其图象开口向上，对称轴为直线x＝1，所以f(x)在区间[0，1]上单调递减，在区间(1，3)上单调递增，而f(0)＝3，f(1)＝2，f(3)＝6，故其值域为[2，6)． 答案：[2，6) (2)函数f(x)＝x－，x∈[1，2]的值域为________． 解析：(单调性法)：因为函数y＝x，y＝－在区间[1，2]上均单调递增，故函数f(x)在区间[1，2]上单调递增，当x∈[1，2]时，f(x)min＝f(1)＝1－2＝－1，f(x)max＝f(2)＝2－1＝1.所以f(x)＝x－，x∈[1，2]的值域为[－1，1]. 答案：[－1，1] (3)函数y＝的值域为________． 解析：(分离常数法)：y＝≠.故值域为{y}． 答案：{y} 1．函数f(x)＝2x－ 的值域为________． 解析：(换元法)：设t＝ ，则x＝t2＋1，且t≥0，所以设y＝2(t2＋1)－t＝22＋(t≥0)， 其图象开口向上，对称轴为直线t＝，所以当t＝时，ymin＝，可得函数f(x)的值域为. 答案： 2．若x≥，则函数f(x)＝的值域为________． 解析：(基本不等式法)：因为x≥，所以x－2>0，所以f(x)＝ ＝1，当且仅当，即x＝3时等号成立．因为x＝3在定义域内，所以最小值为1.所以函数的值域为[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $