第2章 第8讲 函数的奇偶性、周期性(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学讲义围绕函数奇偶性、周期性高考核心考点，按“定义-性质-应用”逻辑梳理知识，涵盖概念辨析、图象特征、常用结论等内容。通过考点梳理、方法指导（如奇偶性判断三步骤）、真题训练（2023-2026年高考题及模拟题），帮助学生突破定义域对称、周期性转化等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料采用“溯源教材-真题变式-素养融合”策略，如由教材习题衍生高考题，用一题多解（奇偶性求参的定义法与性质法）培养数学思维。设置分层练习（自测诊断、对点练），结合周期性结论推导（如f(x+a)=-f(x)得T=2a）培养数学语言表达，助力学生高效掌握规律，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第8讲　函数的奇偶性、周期性 【课程标准】　1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．　2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．　3.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义，会判断、应用简单函数的周期性解决问题． 1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为A，如果∀x∈A，都有－x∈A，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为A，如果∀x∈A，都有－x∈A，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 等价形式 f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1(f(x)≠0) f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0 ⇔＝－1(f(x)≠0) 2.函数的周期性 ［常用结论］ 1.函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2.函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)． 3.常见奇、偶函数的类型 (1)f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函数；f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)，f(x)＝＝(a＞0且a≠1)为奇函数. (2)f(x)＝loga(b＋x)＋loga(b－x)，f(x)＝loga(a2x＋1)－x(a＞0且a≠1)为偶函数；f(x)＝loga，f(x)＝loga(±x)(a＞0且a≠1)，f(x)＝loga(a2x－1)－x(a＞0且a≠1)为奇函数. (3)f(x)＝｜ax＋b｜＋｜ax－b｜为偶函数；f(x)＝｜ax＋b｜－｜ax－b｜为奇函数. 【自测诊断】 1.(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0 B．存在既是奇函数，又是偶函数的函数 C．对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数 D．若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈N＋)也是函数f(x)的周期 答案：BD 2.(链接北师必修一P69A组T3)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在［a－1，2a］上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：D 解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝.又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝.故选D. 3.(链接北师必修一P67例2)(多选)下列函数是奇函数的有(　　) A．y＝x3 B．y＝xcos x C．y＝x2＋ D．y＝xtan x 答案：AB 解析：对于A，y＝x3，定义域是R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以y＝x3为奇函数，故A正确；对于B，y＝xcos x，定义域是R，关于原点对称，f(－x)＝－xcos (－x)＝－xcos x＝－f(x)，所以y＝xcos x为奇函数，故B正确；对于C，y＝x2＋，定义域是∪，关于原点对称，f(－x)＝(－x)2＋＝x2－，所以y＝x2＋为非奇非偶函数，故C错误；对于D，y＝xtan x，定义域是，关于原点对称，f(－x)＝(－x)tan (－x)＝xtan x＝f(x)，所以y＝xtan x为偶函数，故D错误，故选AB. 4.(链接北师必修二P4A组T3)已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当x∈［0，2］时，f(x)＝x2＋4，则f(2 026)＝　　　　． 答案：5 解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是以3为周期的周期函数，所以f(2 026)＝f(675×3＋1)＝f(1)＝5. 学生用书⬇第29页 考点一　函数奇偶性的判断 自主练透 1.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 答案：B 解析：对于A，f(－x)＝＝≠f(x)，故f(x)不是偶函数；对于B，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C，f(x)的定义域是{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D，f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数.故选B. 2.(多选)下列函数中具有奇偶性的是(　　) A．f(x)＝x2－2－1 B．f(x)＝(x－1) C．f(x)＝ln (－x) D．f(x)＝ 答案：ACD 解析：对于A，f(x)的定义域是R，由f(－x)＝(－x)2－2－1＝f(x)，知f(x)为偶函数；对于B，令≥0，解得x≤－1或x＞1，即函数f(x)的定义域是(－∞，－1]∪(1，＋∞)，不关于原点对称，即f(x)为非奇非偶函数；对于C，因为x2＋1＞x2，所以－x＞0恒成立，即f(x)的定义域是R，又f(－x)＋f(x)＝ln (＋x)＋ln (－x)＝0，故f(x)为奇函数；对于D，显然函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.因为当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，所以函数f(x)为奇函数.故选ACD. 3.(多选)(2026·湖南长沙模拟)若函数f(x)，g(x)，h(x)的定义域都是R，且f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则(　　) A．f是偶函数 B．是偶函数 C．g是奇函数 D．f(x)h是奇函数 答案：ABD 解析：函数f(x)，g(x)，h(x)的定义域都是R，对于A，因为f＝f，所以f是偶函数，故A正确；对于B，因为f(x)为奇函数，所以＝＝，则是偶函数，故B正确；对于C，因为g(x)为偶函数，则g[f(－x)]＝g＝g，即g[f(x)]是偶函数，故C错误；对于D，因为h＝h，则h为偶函数，又因为f(x)为奇函数，则f(x)h是奇函数，故D正确.故选ABD. 4.已知函数f(x)＝4log4－3的图象经过点M(－1，1)，则函数y＝f(x)的奇偶性为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 答案：A 解析：f(－1)＝4log4(＋1)－3＝1，整理得log4(＋1)＝1，即a＝8，则f(x)＝4log4(－x)－3，－x＞｜x｜－x.当x≥0时，｜x｜－x＝x－x＝0；当x＜0时，｜x｜－x＝－x－x＝－2x＞0，即－x＞0对一切实数都成立，即函数f(x)的定义域是R.f(－x)＝4log4(＋x)－3＝4log4－3＝4log4－4log4－3＝－4log4(－x)＋3＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数.故选A. 判断函数奇偶性的方法与关键 1.方法：定义法、图象法、性质法． 2.关键：(1)定义域关于原点对称(否则非奇非偶)．(2)判断f(x)与f(－x)的关系，在判断奇偶性的运算中，可以判断f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立． 考点二　函数奇偶性的应用 多维探究 角度1　已知函数的奇偶性求参数(高考超重点) (一题多解)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝ln为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B.0 C． D.1 答案：B 解析：法一：因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)ln＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0，当a＝0时，f(x)＝xln，由＞0，解得x＞或x＜－，则其定义域是，或，关于原点对称.f＝ln＝ln＝ln＝xln＝f(x)，故此时f(x)为偶函数.故选B. 法二：因为y＝ln是奇函数，又f(x)为偶函数，所以函数y＝x＋a是奇函数，所以a＝0.故选B. 【溯源教材4】 溯源 (北师必修一P73B组T7)已知函数f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，求实数a的值． 续表 透视 高考题以教材习题为原型，通过替换函数类型(对数换二次)增加复杂度，核心考点一致、解题方法相同、均为多项式与简单函数的乘积形式，解题逻辑完全一致．在2023年全国甲、乙卷进行了类似考查： (1)(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2　　　　B．－1　　　　C.1　　　　D.2 答案：D 解析：因为f(x)＝为偶函数，则f(x)－f(－x)＝－＝＝0. 又因为x不恒为0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D． (2)(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin(x＋)为偶函数，则a＝　　　　． 答案：2 解析：因为f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin(x＋)＝(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋(a－2)x＋1＋cos x，且函数为偶函数，所以a－2＝0，解得a＝2. 预测 (1)若函数y＝(2x－m·2－x)x5是R上的偶函数，则实数m＝　　　　． 答案：1 解析：设f(x)＝(2x－m·2－x)x5，则该函数为R上的偶函数，则对任意的x∈R，f(－x)＝f(x)，即(2－x－m·2x)·(－x)5＝(2x－m·2－x)·x5，整理可得2－x＋2x－m(2x＋2－x)＝(1－m)(2x＋2－x)＝0，所以1－m＝0，解得m＝1. (2)已知函数f(x)＝－为奇函数，则a＝　　　　． 答案：－1 解析：由题意知f(－x)＝－f(x)，即－＝－(－)，整理得＝1，所以解得a＝－1. 角度2　利用奇偶性求值(解析式) (1)(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2＋x＋5，则(　　) A．f(0)＝0 B．g(x)＝xf(x)是奇函数 C．f＝7 D．当x＜0时，f(x)＝－x2＋x－5 (2)函数f(x)＝＋lg在区间［－m，m］内的最大值为M，最小值为N，其中m＞0，则M＋N＝　　　　． 答案：(1)AD　(2)6 解析：(1)对于A、B，因为f(x)是定义在R上的奇函数，根据奇函数性质可知，f(0)＝0，故A正确；g(x)＝xf(x)的定义域是R，由于f(－x)＝－f(x)，则g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，即g(x)为偶函数，故B错误；对于C，当x＞0时，f(x)＝x2＋x＋5，则f＝－7，故C错误；对于D，当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝x2－x＋5＝－f(x)，所以f(x)＝－x2＋x－5，故D正确．故选AD． (2)依题意，可知f(x)＝＋lg (＋x)＝3－＋lg (＋x)．设g(x)＝－＋lg (＋x)，g(x)的定义域为是［－m，m］，所以g(－x)＝－＋lg (－x)＝－［－＋lg (＋x)］＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，所以f(x)max＋f(x)min＝M＋N＝g(x)max＋3＋g(x)min＋3＝6. 学生用书⬇第30页 角度3　利用奇偶性解不等式 (1)(2026·四川绵阳模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数a满足f＞f，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D．⋃ (2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在上单调递减，且f＝0，则不等式xf＞0的解集为　　　　． 答案：(1)D　(2)⋃ 解析：(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增.因为2｜a－1｜＞0，f＝f，所以2｜a－1｜＞＝，所以＞，即a－1＜－或a－1＞，解得a＜或a＞.故选D. (2)由题意可得函数f(x)在上单调递减，f＝－f＝0，f(0)＝0，则当x∈(－∞，－2)∪时，f(x)＞0，当x∈∪时，f(x)＜0，由f＞0，则2x－1∈(－∞，－2)∪，解得x∈∪(，)，由f＜0，则2x－1∈∪(2，＋∞)，解得x∈∪，所以xf(2x－1)＞0的解集为(－，0)∪(，). 1.求函数值或参数：借奇偶性转化，用方程思想求参；“奇函数＋常函数A”型，最大值M＋最小值N＝2A． 2.比较大小：用奇偶性将自变量转至同一单调区间，再依单调性比较． 3.解不等式：化f(g(x))＞f(h(x))，借单调性脱“f”；偶函数用f(|x|)转至［0，＋∞)求解． 对点练1.(2026·河南南阳模拟)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x－4，则不等式f(x)≥0的解集为(　　) A．［－2，2］ B．［－2，0］⋃［2，＋∞) C．［－2，0)⋃［2，＋∞) D．(－∞，－2］⋃［2，＋∞) 答案：B 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，结合题意作出f(x)的大致图象，如图所示，由图可知，不等式f(x)≥0的解集为［－2，0］⋃［2，＋∞)．故选B． 对点练2.(2026·广东广州模拟)若函数f(x)＝是奇函数，则f＝　　． 答案：3 解析：因为函数f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－x2－2x＝－f(x)＝－x2－ax，所以a＝2，则f(x)＝＝9－6＝3. 对点练3.设f(x)＝＋a为奇函数，若g(x)＝f(x)＋sin x＋a在x∈(m＞0)的最大值为3，则g(x)在x∈(m＞0)的最小值为　　． 答案：－5 解析：f(x)的定义域是R且为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝＋a＋＋a＝0，＋2a＝2＋2a＝0，a＝－1，所以f(x)＝－1，g(x)＝－1＋sin x－1.设h(x)＝g(x)＋1＝f(x)＋sin x，则h(－x)＝f(－x)＋sin (－x)＝－f(x)－sin x＝－h(x)，所以h(x)是奇函数，根据题意可知，h(x)在x∈(m＞0)的最大值为3＋1＝4，所以h(x)在x∈(m＞0)的最小值为－4，所以g(x)＝h(x)－1在x∈(m＞0)的最小值为－4－1＝－5. 考点三　函数的周期性 高考超重点，师生共研 (一题多变)(1)(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f(－)＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)(2026·福建龙岩模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且当0＜x＜2时，f(x)＝3x－ln x，则f(2 027)＝　　　　． (3)设函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且f＝f(－x)，若f≤2，f＝，则实数m的取值范围是　　　　． 答案：(1)A　(2)－3　(3) 解析：(1)当x∈［－1，0］时，－x＋2∈［2，3］，所以当x∈［－1，0］时，f(x)＝f(－x)＝f(－x＋2)＝5－2(－x＋2)＝1＋2x，所以f(－．故选A． (2)由已知可得f＋f(x)＝0，所以f(x＋4)＋f＝0，所以f＝f(x)，即T＝4是函数f(x)的一个周期，所以f＝f＝－f＝－＝－3. (3)因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以－f(x)＝f(－x).又f＝f(－x)＝－f(x)，故f＝－f＝f(x)，所以y＝f(x)的一个周期为4，f＝f＝f＝，故≤2，解得m≥或m＜0. ［变式探究］ 1.(变条件，变设问)本例(1)条件变为：设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝f(1－x)，当x∈时f(x)＝2x＋a，且f(2 026)＝2a2，则a＝　　　　． 答案：1或－ 解析：因为f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)＝f(x)，函数f(x)的周期为T＝2，f(2 026)＝f(0)＝1＋a＝2a2，所以a＝1或a＝－． 2.(变条件)本例(2)条件变为：若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(1)，则f(2 027)＝　　　　． 答案：0 解析：因为f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(1)，代入x－2，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(1)．两式相减得，f(x＋3)＝f(x－1)，即f(x＋4)＝f(x)，所以4为函数f(x)的周期．因此f(2 027)＝f(4×506＋3)＝f(3)，在f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(1)中，令x＝0，则f(3)＋f(1)＝f(1)，所以f(3)＝0，即f(2 027)＝0. 3.(变条件)本例(3)条件变为：已知函数f(x)的定义域为R，且ff(x)＝1，若f(0)∈，则f的取值范围是　　　　． 答案： 解析：因为ff(x)＝1，所以f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝＝＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，所以4为函数f(x)的一个周期，所以f＝f(0).因为f(0)∈(1，2)，所以f(2 026)＝＝∈. 【教师备选】　［变式探究4］(变条件)本例(2)条件变为：设奇函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)＝－f(x)，当x∈时f(x)＝2x＋1，则f(x)在区间上的表达式为　　　　　　　　． 答案：f(x)＝－2－x＋4－1 解析：当x∈[－2，0)时，－x∈，所以－x＋4∈.又因为当x∈时，f(x)＝2x＋1，所以f(－x＋4)＝2－x＋4＋1.又因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f＝f(x)，所以函数f(x)的周期为T＝4，所以f(－x＋4)＝f(－x).又因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝2－x＋4＋1，所以当x∈时，f(x)＝－2－x＋4－1. 1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． 2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $