第2章 第8讲 函数的奇偶性、周期性(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数奇偶性、周期性核心考点，依据课程标准要求梳理概念、几何意义及判断应用方法，以定义-性质-常用结论为逻辑架构。通过考点梳理、方法指导、真题训练及分层练习环节，帮助学生构建知识网络，突破奇偶性判断、周期性应用等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料特色在于溯源教材链接高考真题，如2023全国乙卷奇偶性求参数题，通过多维探究培养数学思维。设置自测诊断与对点练分层练习，结合定义法、周期性结论模型等策略，高效提升学生推理与应用能力，为教师把控复习节奏、提升教学效果提供有力支撑。

第8讲　函数的奇偶性、周期性 【课程标准】　1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.　2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.　3.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义，会判断、应用简单函数的周期性解决问题. 1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 前提 函数定义域关于原点对称 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 等价形式 f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1(f(x)≠0) f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1(f(x)≠0) 2.函数的周期性 (1)周期函数：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期； (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 【常用结论】 1.函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么f(0)＝0. 如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(｜x｜). (2)单调性与奇偶性的关系.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，即奇增增或奇减减；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，即偶增减或偶减增. (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. (4)[教材知识纵向延伸]若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a). 2.函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0). 3.常见奇、偶函数的类型 (1)f(x)＝ax＋(a＞0且a≠1)为偶函数；f(x)＝ax－(a＞0且a≠1)，f(x)＝＝(a＞0且a≠1)为奇函数. (2)f(x)＝loga(b＋x)＋loga(b－x)(a＞0且a≠1，b≠0)，f(x)＝loga(a2x＋1)－x(a＞0且a≠1)为偶函数；f(x)＝loga(a＞0且a≠1，b≠0)，f(x)＝loga(±x)(a＞0且a≠1)，f(x)＝loga(a2x－1)－x(a＞0且a≠1)为奇函数. (3)f(x)＝｜ax＋b｜＋｜ax－b｜为偶函数；f(x)＝｜ax＋b｜－｜ax－b｜为奇函数. 【自测诊断】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A.若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0 B.不存在既是奇函数，又是偶函数的函数 C.对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数 D.若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期 答案：ABC 学生用书⬇第31页 2.(链接人教A必修一P84例6)下列函数是奇函数的是(　　) A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x C.y＝ln ｜x｜ D.y＝ 答案：A 解析：根据奇函数的定义知奇函数满足f(－x)＝－f(x)，且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项为偶函数；D选项既不是奇函数，也不是偶函数. 3.(链接人教A必修一P101T9)若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1，2]上(　　) A.单调递增，且有最小值f(1) B.单调递增，且有最大值f(1) C.单调递减，且有最小值f(2) D.单调递减，且有最大值f(2) 答案：A 解析：偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，由偶函数的图象关于y轴对称，则有f(x)在[1，2]上单调递增，即有最小值为f(1)，最大值为f(2).故A正确.故选A. 4.(链接人教A必修一P203练习T4)已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝x2＋4，则f(2 026)＝　　　　. 答案：5 解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是以3为周期的周期函数，所以f(2 026)＝f(675×3＋1)＝f(1)＝5. 考点一　函数奇偶性的判断 自主练透 1.下列函数为偶函数的是(　　) A.y＝x2(x≥0) B.y＝(x－1) C.y＝0 D.y＝｜x｜(x≤0) 答案：C 解析：对于A、D，其定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；对于B，当x＝－1时，y＝0，而当x＝1时，函数无意义，故B也是非奇非偶函数；对于C，令y＝f(x)＝0，无论x取何值都满足f(－x)＝f(x)＝0.故选C. 2.(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A.f(x)＝tan x B.f(x)＝x2＋x C.f(x)＝ D.f(x)＝ln ｜1＋x｜ 答案：AC 解析：对于A，函数的定义域是{x｜x≠＋kπ，k∈Z}，关于原点对称，f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x)，故函数为奇函数，符合题意；对于B，函数的定义域是R，关于原点对称，f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于C，函数的定义域是R，关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，故函数为奇函数，符合题意；对于D，函数定义域为{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，不符合题意.故选AC. 3.(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，下列结论正确的有(　　) A.若恒有f(x2)＝－f(－x2)，则f(x)是奇函数 B.若恒有2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)，且f(0)≠0，则y＝f(x)为奇函数 C.若恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，则f(x)为偶函数 D.若恒有f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，则f(x)是奇函数 答案：AD 解析：对于A，若∀t∈R，当t＞0时，令t＝x2.因为f(x2)＝－f(－x2)，所以f(t)＝－f(－t)，即f(－t)＝－f(t)；当t＝0时，令t＝x2＝0.因为f(x2)＝－f(－x2)，所以f(0)＝－f(－0)，即f(0)＝0；当t＜0时，令t＝－x2，因为f(x2)＝－f(－x2)，所以f(－t)＝－f(t)，综上，∀t∈R，f(－t)＝－f(t)，所以f(x)是奇函数，故A正确；对于B，在2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝0，得2[f(0)]2＝2f(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)＝1，显然不符合f(－x)＝－f(x)，故B错误；对于C，令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝f(0)，所以f(0)＝0，令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数，故C错误；对于D，对任意x，y∈R，总有f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，令x＝y＝0得f(0)＝0；令x＝y＝1得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0；令x＝y＝－1得f(1)＝－f(－1)－f(－1)，所以f(－1)＝0；令y＝－1得f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故D正确.故选AD. 4.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝ 解：(1)由得－2＜x＜2，即函数f(x)的定义域是{x｜－2＜x＜2}，关于原点对称. 因此f(x)＝＝lg， 所以f(－x)＝f(x)， 因此函数f(x)是偶函数. (2)f(x)的定义域是{－1，1}，关于原点对称. 又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)法一(定义法)：f(x)的定义域是{x｜x≠0}，关于原点对称.当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)，所以f(x)是奇函数. 法二(图象法)：如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)是奇函数. 1.判断函数奇偶性的方法 (1)定义法；(2)图象法；(3)性质法. 2.判断函数的奇偶性的关键点 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(－x)的关系，在判断奇偶性的运算中，可以判断f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立. 考点二　函数奇偶性的应用 多维探究 角度1　已知函数的奇偶性求参数(高考超重点) (1)(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　 ) A.－2 B.－1 C.1 D.2 【溯源教材4】 溯源 (人教A必修一P161T12)对于函数f(x)＝a－(a∈R)， (1)探索函数f(x)的单调性； (2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？ 透视 高考题与教材习题考查角度完全相同，都是已知函数的奇偶性求参数值，此类问题的解法一般有两个：一是定义法，二是特殊值法.在2023年新课标Ⅱ卷进行了类似考查： (2023·新课标Ⅱ卷)若f＝·ln 为偶函数，则a＝(　　) A.－1　　B.0　　C.　　D.1 答案：B 解析：因为f(x) 为偶函数，则 f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0，当a＝0时，f＝xln ，＞0，解得x＞或x＜－，则其定义域是，关于原点对称.f＝ln ＝ln ＝ln ＝xln ＝f，故此时f为偶函数.故选B. 预测 (1)若函数y＝(2x－m·2－x)x5是R上的偶函数，则实数m＝　　　　　　. 答案：1 解析：设f(x)＝(2x－m·2－x)x5，若该函数为R上的偶函数，则对任意的x∈R，f(－x)＝f(x)，即(2－x－m·2x)·(－x)5＝(2x－m·2－x)·x5，整理可得2－x＋2x－m(2x＋2－x)＝(1－m)(2x＋2－x)＝0，所以1－m＝0，解得m＝1. (2)已知函数f(x)＝－ 为奇函数，则a＝　　　　. 答案：－1 解析：由题意知f(－x)＝－f(x)，即－＝－(－)，整理得＝1，所以解得a＝－1. 学生用书⬇第32页 (2)(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin(x＋)为偶函数，则a＝　　　　. 答案：(1)D　(2)2 解析：(1)因为f(x)＝为偶函数，则f(x)－f(－x)＝－＝＝0.又因为x不恒为 0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D. (2)因为f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin＝(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋(a－2)x＋1＋cos x，且函数为偶函数，所以a－2＝0，解得a＝2.经验证，当a＝2时满足题意. 角度2　利用奇偶性求值(解析式) (1) 已知函数f满足f＋f＝0，当x∈时，f＝x2＋6x＋8，当x∈时，f＝ (　　) A.－x2＋6x＋8 B.x2＋6x＋8 C.－x2＋6x－8 D.x2－6x＋8 (2)已知函数f(x)＝x＋ln(－x)－2 027(x∈[－2 026，2 026])的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝　　　　　　. 答案：(1)C　 (2)－4 054 解析：(1)当x∈时，－x∈，f(－x)＝(－x)2－6x＋8＝x2－6x＋8.又因为f＋f＝0，所以－f＝x2－6x＋8，所以f＝－x2＋6x－8.故选C. (2)设g(x)＝f(x)＋2 027＝x＋ln(－x)，则g(x)的定义域是[－2 026，2 026]，则g(x)＋g(－x)＝x＋ln(－x)－x＋ln(＋x)＝ln[(－x)(＋x)]＝ln 1＝0，所以g(－x)＝－g(x)，即g(x)是奇函数，因此g(x)min＋g(x)max＝0.又g(x)min＝f(x)min＋2 027＝m＋2 027， g(x)max＝f(x)max＋2 027＝M＋2 027，所以g(x)min＋g(x)max＝m＋2 027＋M＋2 027＝0，即M＋m＝－4 054. 角度3　利用奇偶性解不等式 (1)已知函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且f(x)在[－2，0]上单调递增.若f(2t－1)＋f(t)＜0，则实数t的取值范围是(　　) A. B. C. D. (2)设函数f(x)＝ln(x2＋1)－，则满足f(x)＞f(2x＋1)的x的取值范围是　　　　　. 答案：(1)D　(2)∪ 解析：(1)因为f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且f(x)在[－2，0]上单调递增，所以f(x)在[－2，2]上单调递增.又f(2t－1)＋f(t)＜0，则f(2t－1)＜－f(t)，所以f(2t－1)＜f(－t)，所以解得－≤t＜，故实数t的取值范围是.故选D. (2)f(x)＝ln(x2＋1)－，则f(x)的定义域是{x｜x≠0}.又f(x)＝f(－x)，故f(x)为偶函数，当x＞0时，f(x)＝ln(x2＋1)－.又y1＝ln(x2＋1)，y2＝－在(0，＋∞)上都单调递增，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减.因为f(x)＞f(2x＋1)，所以解得－1＜x＜－，且x≠－，故x的取值范围是∪. 函数奇偶性的应用类型及解题策略 1.利用函数的奇偶性求函数值或参数值：求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.尤其对于“奇函数f＋常函数A”的“最大值M＋最小值N”问题时，有结论M＋N＝2A成立. 2.比较大小：利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小. 3.利用奇偶性解不等式的步骤：转化、定性、去f、求解，即先把不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组).当涉及f是偶函数时，常用f(x)＝f()，将问题转化到区间上求解. 对点练1.若函数f(x)＝是奇函数，则实数a＝(　　) A.0 B.－1 C.1 D.±1 答案：C 解析：当x＞0时，－x＜0，则f＝a2－1＝－x－a＝－f，则解得a＝1，此时f＝当x＜0时，－x＞0，所以f＝－x＋1＝－＝－f，符合题意.所以a＝1.故选C. 对点练2.(2025·山东济南一模)已知函数f＝则f＋f＞0的解集为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：当x＞0时，f＝1－ex，－x＜0，f＝－1＝ex－1＝－f；当x＜0时，f＝e－x－1，－x＞0，f＝1－e－x＝－f；且当x＝0时，f＝0，所以f为奇函数，易知f为R上的递减函数，则f＋f＞0⇔f＞－f＝f⇒2x＜3－x⇒x＜1，所以原不等式的解集为.故选A. 考点三　函数的周期性 师生共研 (1)(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f(－)＝(　　) A.－ B.－ C. D. (2)函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(0)＝2，则f(2 026)＝　　　　. 答案：(1)A　(2) 解析：(1)当x∈[－1，0]时，－x＋2∈[2，3]，所以当x∈[－1，0]时，f(x)＝f(－x)＝f(－x＋2)＝5－2(－x＋2)＝1＋2x，所以f(－)＝1－＝－.故选A. (2)因为f(x)f(x＋2)＝13，所以f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝＝＝f(x)，所以f(x)的周期为4，所以f(2 026)＝f(4×506＋2)＝f(2)＝＝. 函数周期性的判定及应用 1.求解与函数周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期. 2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 对点练3.若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(1)，则f(2 027)＝　　　　. 答案：0 解析：因为f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(1)，将x用x－2代替，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(1).两式相减得，f(x＋3)＝f(x－1)，即f(x＋4)＝f(x)，所以4为函数f(x)的周期，因此f(2 027)＝f(4×506＋3)＝f(3).在f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(1)中，令x＝0，则f(3)＋f(1)＝f(1)，所以f(3)＝0，即f(2 027)＝0. 对点练4.设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为　　　　　. 答案：f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4] 解析：根据题意，设x∈[2，4]，则x－4∈[－2，0]，则有4－x∈[0，2]，当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x).又f(x)是周期为4的偶函数，所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]，则有f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]. 对点练5.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点有　　　　个. 答案：5 解析：当0≤x＜2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.当2≤x＜4时，0≤x－2＜2.又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x＜4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，综上可知，共有5个交点. 学科网（北京）股份有限公司 $