第2章 第7讲 函数的单调性与最值(Word教师用书)【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数单调性与最值核心考点，按定义、性质、应用逻辑架构知识体系，涵盖单调区间判定、单调性证明、最值求解及参数范围问题，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建完整知识网络，突破复合函数、分段函数等难点。 资料采用多维探究与分层训练结合策略，如用定义法与导数法证明单调性培养数学思维，通过高考真题溯源教材强化应用意识，设置自测诊断与对点练分层巩固，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第7讲　函数的单调性与最值 【课程标准】　1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大(小)值，理解它们的作用和实际意义. 2.掌握函数单调性的简单应用. 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间. [微提醒]　(1)求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.例如对勾函数y＝x＋(a＞0)的单调递增区间是(－∞，－)，(，＋∞)；单调递减区间是[－，0)，(0，].(3)“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 2.函数的最大(小)值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值 【常用结论】 1.函数单调性的两个等价定义 设∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则： (1)＞0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0)⇔f(x)在I上单调递增； (2)＜0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0)⇔f(x)在I上单调递减. 2.若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： (1)当f(x)，g(x)都单调递增(减)时，f(x)＋g(x)单调递增(减)； (2)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)单调性相反； (3)函数y＝f(x)(f(x)＞0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反. 3.对于复合函数y＝f(g(x))，若u＝g(x)在(a，b)上是单调函数，并且y＝f(u)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也是单调函数，则y＝f(g(x))在(a，b)上的单调性为“同增异减”. 学生用书⬇第26页 4.(1)对勾函数y＝x＋(a＞0)的单调性：在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减. (2)对勾函数y＝ax＋(a＞0，b＞0)的单调递增区间是(－∞，－］和［，＋∞)，单调递减区间是［－，0)和(0，］. 【自测诊断】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A.因为f(x)在[－3，2]上是增函数，则f(－3)＜f(2) B.函数f(x)在(－2，3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2，3) C.若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1，3)上为增函数 D.函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞) 答案：BCD 2.(多选)(链接人教A必修一P86T3)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A.y＝－x B.y＝x2－x C.y＝－x2－2x D.y＝ex 答案：AC 3.(链接人教A必修一P81例5)函数f(x)＝在区间[1，5]上的最大值为　　　　，最小值为　　　　. 答案：3　 4.(链接人教A必修一P86T7(1))函数y＝的单调递减区间是　　　　　　. 答案：(－∞，－2] 解析：根据题意，要使函数y＝有意义，需满足x2＋2x≥0，解得x≤－2或x≥0.又由t＝x2＋2x在(－∞，－2]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数y＝的单调递减区间是(－∞，－2]. 考点一　函数的单调性 多维探究 角度1　求函数的单调区间(自主练透) 1.函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的增区间是(　　) A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞) 答案：D 解析：由x2－2x－8＞0，得f(x)的定义域是{x｜x＞4，或x＜－2}.设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数.要求函数f(x)的增区间，即求函数t＝x2－2x－8的增区间(定义域内).因为函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，所以函数f(x)的增区间是(4，＋∞).故选D. 2.(双空题)函数f(x)＝的单调递减区间是　　　　　　，单调递增区间是　　　　　　. 答案：(－3，－1]　[－1，1) 解析：因为3－2x－x2＞0，所以－3＜x＜1.由二次函数图象结合复合函数的单调性，可知f(x)的单调递减区间是(－3，－1]，单调递增区间是[－1，1). 3.函数y＝｜－x2＋2x＋1｜的增区间是　　　　　　. 答案：[1－，1]，[1＋，＋∞) 解析：作出函数的图象如图所示，由图象知，其增区间是[1－，1]，[1＋，＋∞). 角度2　判断或证明函数的单调性 (一题多解)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性. 解：法一(定义法)：设－1＜x1＜x2＜1， 因为f(x)＝a＝a， 所以f(x1)－f(x2)＝a－a(1＋)＝， 由于－1＜x1＜x2＜1， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增. 法二(导数法)：f'(x)＝＝＝－. 故当a＞0时，f'(x)＜0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a＜0时，f'(x)＞0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增. 1.判断函数单调性(或求单调区间)的方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法(见常用结论). 2.抽象函数单调性的判断策略 (1)若给出的是“和型”(f(x＋y)＝…)抽象函数，判定符号时一般变形为f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2). (2)若给出的是“积型”(f(xy)＝…)抽象函数，判定符号时一般变形为f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f. 注意：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 对点练1.(多选)在下列函数中，满足对任意x1，x2∈，＜0的是(　　) A.f(x)＝－2(x－1)2－2 B.f(x)＝3x＋5 C.f(x)＝1＋ D.f(x)＝｜x－4｜ 答案：AC 解析：由题意可知，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减.对于A，f(x)＝－2(x－1)2－2，其图象开口向下，对称轴为直线x＝1，故f(x)在(1，＋∞)上单调递减，满足题意；对于B，f(x)＝3x＋5为一次函数，且k＝3＞0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增，不满足题意；对于C，f(x)＝1＋在(1，＋∞)上单调递减，满足题意；对于D，f(x)＝｜x－4｜＝显然f(x)在(1，4)上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，不满足题意.故选AC. 学生用书⬇第27页 对点练2.设f(x)是定义在R上的函数，∀m，n∈R，f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1.求证： (1)f(0)＝1； (2)x∈R时，恒有f(x)＞0； (3)f(x)在R上是减函数. 证明：(1)根据题意，令m＝0， 可得f(0＋n)＝f(0)·f(n). 因为f(n)≠0，所以f(0)＝1. (2)由题意知x＞0时，0＜f(x)＜1； 当x＝0时，f(0)＝1＞0； 当x＜0时，－x＞0，所以0＜f(－x)＜1. 因为f(x＋(－x))＝f(x)·f(－x)， 所以f(x)·f(－x)＝1，所以f(x)＝＞0. 故x∈R时，恒有f(x)＞0. (3)任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x2)＝f(x1＋(x2－x1))， 所以f(x2)－f(x1)＝f(x1＋(x2－x1))－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]. 由(2)知f(x1)＞0， 又x2－x1＞0，所以0＜f(x2－x1)＜1， 故f(x2)－f(x1)＜0，故f(x)在R上是减函数. 考点二　函数的最值 师生共研 (1)函数f(x)＝－log2在区间[－2，2]上的最大值为　　　　. (2)(一题多解)对于任意实数a，b，定义min＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值为　　　　. 答案：(1)8　(2)1 解析：(1)因为函数y＝，y＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上都单调递减，所以函数f(x)＝－log2在区间[－2，2]上单调递减，所以函数f(x)的最大值为f＝－log2＝9－1＝8. (2)法一：在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分.易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1. 法二：依题意h(x)＝当0＜x≤2时，h(x)＝log2x是增函数；当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数，因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1. 求函数最值的三种常用方法 注意：对于较复杂的函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 对点练3.(1)函数f(x)＝x－(x∈[1，2])的最大值为　　　　. (2)设函数f(x)＝则f(x)的最小值为　　　　. 答案：(1) 1　 (2)2－3 解析：(1)因为函数y＝x，y＝－在区间[1，2]上均单调递增，故函数f(x)在[1，2]上单调递增，当x∈[1，2]时，f(x)max＝f(2)＝2－1＝1. (2)当x≥1时，f(x)＝x＋－3在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在x＝时取得最小值，即f(x)min＝2－3；当x＜1时，f(x)＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以f(x)在x＝0时取得最小值，即f(x)min＝1.综上，f(x)的最小值为2－3. 考点三　函数单调性的应用 多维探究 角度1　利用单调性比较大小 已知f(x)＝2x－，a＝f()，b＝f()，c＝f()，则(　　) A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞a＞b D.c＞b＞a 答案：D 解析：易知f(x)＝2x－在(1，＋∞)上单调递增，又＞＞＞1，故f()＞f()＞f()，即c＞b＞a.故选D. 角度2　利用单调性解函数不等式 (1)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)＜2，则实数x的取值范围是　　　　. (2)(双空题)函数y＝f(x)满足f(t＋1)＜f(2t)，若函数f(x)是定义在R上的减函数，则实数t的取值范围是　　　　　　；若函数f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，则实数t的取值范围是　　　　　　　. 答案：(1)(－，－2)∪(2，)　(2)(－∞，1)　[－1，1) 解析：(1)因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，由f(x2－4)＜2，得f(x2－4)＜f(1)，所以0＜x2－4＜1，解得－＜x＜－2或2＜x＜. (2)第一空：根据题意得2t＜t＋1，即t＜1，所以实数t的取值范围是(－∞，1). 第二空：根据题意得⇒－1≤t＜1.所以实数t的取值范围是[－1，1). 角度3　利用单调性求参数的取值范围(高考超重点) (1)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，－2] B.[－2，0) C.(0，2] D.[2，＋∞) (2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞) 学生用书⬇第28页 【溯源教材3】 溯源 (北师必修一P73C组T3)已知函数f(x)＝在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围. 透视 高考题与教材习题“考点同源、逻辑同构、形式呼应”，都是以分段函数为载体考查单调性的应用，共同强化对“分段函数单调条件”的掌握.高考题可视为教材习题的深化(函数复杂化)，印证了“同一主题跨模块联系”的重要性 预测 已知函数f(x)＝满足：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有＞0成立，则实数a的取值范围是(　　) A.[2，＋∞) B.(，2］ C.(，1］ D.[1，2] 答案：C 解析：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有＞0成立，所以函数f(x)＝在R上是增函数，所以＜a≤1，所以实数a的取值范围是(，1］.故选C. 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围是[2，＋∞).故选D. (2)因为f在R上单调递增，且x≥0时，f(x)＝ex＋ln单调递增，则需满足解得－1≤a≤0，即实数a的取值范围是[－1，0].故选B. 1.比较函数值的大小：先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. 2.解与抽象函数有关的不等式：由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，需要注意函数的定义域. 3.利用单调性求参数的取值(范围)：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，既要保证每一段函数的单调性，还要注意衔接点的取值. 对点练4.已知函数f(x)＝ex－e－x，则使f(｜x｜)＜f(－3x2＋4)成立的实数x的取值范围是(　　) A.(－1，0) B.(－1，＋∞) C.(－1，1) D.(1，＋∞) 答案：C 解析：函数y＝ex为增函数，函数y＝e－x为减函数，所以函数f(x)＝ex－e－x为增函数，所以f(｜x｜)＜f(－3x2＋4)⇔｜x｜＜－3x2＋4，即3｜x｜2＋｜x｜－4＜0，(｜x｜－1)(3｜x｜＋4)＜0，得0≤｜x｜＜1，解得－1＜x＜1，所以实数x的取值范围是(－1，1).故选C. 对点练5.设函数f(x)＝若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，1] B.[4，＋∞) C.(－∞，1)∪(4，＋∞) D.(－∞，1]∪[4，＋∞) 答案：D 解析：函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.故选D. 【教师备选】　已知函数f(x)＝在区间[－1，a－2]上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：(1，3] 解析：由分段函数解析式知，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在[－1，1]上单调递增，由f(x)在[－1，a－2]上单调递增，得－1＜a－2≤1，即a∈(1，3]. 对点练6.(2025·山东泰安一模)若＋log5a＝16b＋2log25，则(　　) A.a＜b8 B.a＞b8 C.a＞8b D.a＜8b 答案：D 解析：由题意可得a，b＞0，则16b＋2log25＝24b＋log5＜24b＋log5，即＋log5a＜24b＋log5，令f＝2x＋log5(2x)，y＝f在R上单调递增，则f＝＋log5a，f＝24b＋log5，即f＜f，故＜4b，即a＜8b.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $