第1章 第1节 集合(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学讲义聚焦集合核心考点，涵盖元素特性、集合关系、交并补运算等课标要求，按概念理解、关系判断、运算应用逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建集合问题解题框架。 资料采用分层教学策略，设自主练透夯实基础、师生共研突破难点，如用数轴和Venn图直观分析集合关系培养数学思维，结合创新问题训练提升数学语言表达能力，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第1节　集合 课标解读 1．了解集合的含义，了解全集、空集的含义．　2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系．　3.会求两个集合的并集、交集及给定集合中一个子集的补集．　4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算． 1．元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)常用数集及记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 2.集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集．记作A⊆B(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)． (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形 表示 集合 表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 1．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 3．∁ U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 4．一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． 1．(多选)(人A必修一P9习题T1改编)若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论正确的是(　　) A．1∈A B．{－1}⊆A C．∅⊆A D．{－1，1}∉A 答案：ABC 2．(人A必修一P8例1改编)已知集合A＝{x∈N|x<3}，则集合A的真子集个数为(　　) A．1 B．2 C．4 D．7 解析：D　由已知可得A＝{0，1，2}，其真子集个数为23－1＝7.故选D. 3．(人A必修一P35复习参考题T8改编)若集合M＝{(x，y)|y＝1}，集合N＝{(x，y)|x＝0}，则M∩N＝(　　) A．{0，1} B．{(0，1)} C．{(1，0)} D．{(0，1)，(1，0)} 解析：B　集合M表示纵坐标为1的点集，集合N表示横坐标为0的点集，所以M∩N＝{(0，1)}．故选B. 4．(人A必修一P14习题T4改编)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T＝(　　) A．{x|－2＜x≤1} B．{x|x≤－4} C．{x|x≤1} D．{x|x≥1} 解析：C　因为S＝{x|x＞－2}，所以∁RS＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．故选C. 考点一　集合的概念(自主练透) 1．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤ ，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　) A．4 B．5 C．8 D．9 解析：B　因为x2＋y2≤ ，x∈Z，所以x可取－1，0，1.当x＝－1时，得y＝0；当x＝0时，得y＝－1，0或1；当x＝1时，得y＝0，所以A＝{(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)}，共有5个元素．故选B. 2．已知集合A＝{x|x2－ax＋1≤0}，若2∈A，且3∉A，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：A　由题意得4－2a＋1≤0且9－3a＋1＞0，解得≤a＜，即实数a的取值范围为.故选A. 3．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则a2025＋b2026＝________． 解析：由题意知a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2025＋b2026＝－1＋1＝0. 答案：0 4．若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则满足条件的实数k的取值集合是________． 解析：若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则方程x2＋2kx＋1＝0有两个相等的实数根，即Δ＝(2k)2－4＝0，解得k＝±1，所以k的取值集合是{1，－1}． 答案：{1，－1} 解决与集合中的元素有关问题的一般思路 考点二　集合间的基本关系(师生共研) 例1　(1)设M＝{x|x＝4k－3，k∈Z}，N＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，则(　　) A．M⊆N B．N⊆M C．M＝N D．M∩N＝∅ 解析：A　因为M＝{x|x＝4k－3，k∈Z}＝{x|x＝2(2k－1)－1，k∈Z}，N＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，所以M⊆N.故选A. (2)(2025·广东广州一模改编)已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|x2－2x≤0}． ①若B⊆A，则实数a的取值范围是________； ②若A⊆B，则实数a的取值范围是________． 解析：①A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|x2－2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，B⊆A，则a≥2. ②当a<0时，A＝∅，显然A⊆B.当a≥0时，若A⊆B，则a≤2，所以实数a的取值范围是a≤2. 答案：①[2，＋∞)　　②(－∞，2] 根据两集合的关系求参数的方法 (1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性． (2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到． 提醒　若有条件B⊆A，则应注意判断是否需要分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论． 1．已知全集U＝R，集合A，B满足A⊆(A∩B)，则下列关系一定正确的是(　　) A．A＝B B．B⊆A C．A∩(∁UB)＝∅ D．(∁UA)∩B＝∅ 解析：C　因为集合A，B满足A⊆(A∩B)，故可得A⊆B，对于A，当A为B的真子集时，不成立；对于B，当A为B的真子集时，也不成立；对于C，A∩(∁UB)＝∅，恒成立；对于D，当A为B的真子集时，不成立．故选C. 2．设集合A＝{x|x－5＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为________． 解析：因为A＝{x|x－5＝0}＝{5}，又B⊆A.当B＝∅时，a＝0，符合题意；当B＝{5}时，5a－1＝0，解得a＝.综上可得，a＝0或a＝. 答案：0或 考点三　集合的基本运算(多维探究) 角度1　集合的运算 例2　(1)(2026·江苏南京一模)已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x<2}，则A∩B＝(　　) A．{x|－1<x<2}　　　　　 B．{x|－1<x<2} C．{x|0≤x<1} D．{x|0≤x<2} 解析：C　在数轴上分别标出集合A，B所表示的范围，如图所示， 由图可知，A∩B＝{x|0≤x<1}．故选C. (2)(2025·山东齐鲁名校大联考)已知全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|1<x<5}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{x|x≤5} B．{x|0<x≤1} C．{x|x≤4} D．{x|1<x≤5} 解析：B　由题图可得，图中阴影部分表示的集合为(∁UB)∩A，因为log2x≤2＝log24，所以A＝{x|0<x≤4}，因为B＝{x|1<x<5}，所以∁UB＝{x|x≤1或x≥5}，所以(∁UB)∩A＝{x|0<x≤1}．故选B. 角度2　利用集合的运算求参数的值(范围) 例3　(1)已知集合A＝{x|y＝ln (1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若(∁RA)∪B＝R，则实数a的取值范围为(　　) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] 解析：B　由题可知A＝{x|y＝ln (1－x2)}＝{x|－1<x<1}，∁RA＝{x|x≤－1或x≥1}， 所以由(∁RA)∪B＝R，得a≥1.故选B. (2)已知集合A＝{x∈Z|x2＜3}，B＝{x}，若A∩B有2个元素，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C．∪ D．∪(1，＋∞) 解析：C　A＝{x∈Z|x2＜3}＝{－1，0，1}，B＝{x}，若A∩B有2个元素，则或解得－＜a＜－1或－＜a＜0，所以实数a的取值范围是∪.故选C. 1．集合的基本运算的方法技巧 (1)进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算； (2)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． 2．利用集合的运算求参数的方法 (1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍； (2)若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． 1．(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|1<x≤3}，则下列判断正确的是(　　) A．A∪B＝B B．(∁RB)∪A＝R C．A∩B＝{x|1<x≤2} D．(∁RB)∪(∁RA)＝{x|x≤1或x>2} 解析：CD　由x2－3x＋2≤0，即(x－2)(x－1)≤0，解得1≤x≤2，所以A＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，由B＝{x|1<x≤3}，所以A∪B＝{x|1≤x≤3}，故A错误；A∩B＝{x|1<x≤2}，故C正确；又∁RB＝(－∞，1]∪(3，＋∞)，所以(∁RB)∪A＝(－∞，2]∪(3，＋∞)，故B错误；∁RA＝(－∞，1)∪(2，＋∞)，所以(∁RB)∪(∁RA)＝(－∞，1]∪(2，＋∞)，故D正确．故选CD. 2．设集合A＝{x|x<a2}，B＝{x|x>a}，若A∩(∁RB)＝A，则实数a的取值范围为________． 解析：因为B＝{x|x>a}，所以∁RB＝{x|x≤a}，又A∩(∁RB)＝A，所以A⊆∁RB，又A＝{x|x<a2}，所以a2≤a，解得0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0，1]. 答案：[0，1] 考点四　集合的创新问题(师生共研) 例4　(多选)对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差．例如：若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}．下列命题中，为真命题的是(　　) A．若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅ B．若A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝B C．若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B D．存在A，B⊆R，使得A⊕B≠∁RA⊕∁RB 解析：AB　对于A，因为A⊕B＝B，所以B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，所以A⊆B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A＝∅，故A正确；对于B，因为A⊕B＝∅，所以∅＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，即A∪B与A∩B是相同的，所以A＝B，故B正确；对于C，因为A⊕B⊆A，所以{x|x∈A∪B，x∉A∩B}⊆A，所以B⊆A，当A≠B时，A⊆B不成立，故C错误；对于D，由于(∁RA)⊕(∁RB)＝{x|x∈(∁RA)∪(∁RB)，x∉(∁RA)∩(∁RB)}＝{x|x∈∁R(A∩B)，x∉∁R(A∪B)}＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，而A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，故A⊕B＝(∁RA)⊕(∁RB)，故D错误．故选AB. 解决集合新定义问题的关键 解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆． (多选)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A＝{－2，0，，1}，B＝{x|(ax－1)(x＋a)＝0}，若A与B构成“全食”或“偏食”，则实数a的取值可以是(　　) A．－2 B．－ C．0 D．1 解析：BCD　若A与B构成“全食”或“偏食”，则A∩B≠∅.当a＝0时，B＝{0}，当a≠0时，B＝{－a，}．对于A，若a＝－2，则B＝{2，－}，此时A∩B＝∅，不满足题意；对于B，若a＝，则B＝{，－2}，此时B⊆A，满足题意；对于C，若a＝0，则B＝{0}，此时B⊆A，满足题意；对于D，若a＝1，则B＝{－1，1}，此时A∩B＝{1}≠∅，满足题意．故选BCD. 高考题　(2025·全国一卷T2)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA中元素的个数为(　　) A.0　　　　　　　 B．3 C.5 D．8 解析：C　由题知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁UA＝{2，4，6，7，8}，有5个元素．故选C. 教材题　(人A必修一P13例5)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求∁UA，∁UB. 点评：高考题只是在教材题的基础上，将教材题中的A＝{1，2，3}更换为A＝{1，3，5}而已，几乎完全一致． 学科网（北京）股份有限公司 $