第2章 第6讲 函数的概念及其表示(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数概念及其表示核心模块，涵盖定义域、解析式、分段函数等高考高频考点，以基本初等函数为载体构建知识网络，通过知识构建梳理概念联系，分考点进行方法指导与真题训练（含2025全国卷真题），帮助学生系统突破函数基础难点。 讲义采用一题多变、多维探究教学策略，如求解析式时结合配凑法、换元法培养数学思维，分段函数问题渗透数形结合思想提升数学语言表达能力。设置自测诊断、对点练分层练习，配合方法总结与真题解析，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

金版开篇——27备考导航　备课授课＋素材资源 【知识构建】 【命题趋势】 　　函数模块作为高中数学内容的一条主线，是高考核心考查内容之一，主要以基本初等函数或者基本初等函数组成的复合函数为载体，考查定义域、值域、性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)[2025全国一卷T5]、性质应用[2025全国一卷T8]、图象、零点等相关知识，常与导数、不等式、方程等必备知识结合，在知识网络的交汇点设计题目，强调融会贯通，增强同一主题必修模块与选择性必修模块间的联系、增强不同主题之间的联系[2025全国二卷T10].考查数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想，难度中等. 1.题型设置：常以两个小题的形式呈现. 2.内容考查：本章高考考查频率非常高，近年来有逐渐加强的趋势，常考查函数的图象与性质. 3.能力考查：高考题凸显对数学抽象能力、模型构建能力、直观想象能力、数学运算能力的考查. 【备考策略】 1.明晰重要概念，注重回归数学本质的复习：熟练掌握常见基本初等函数的图象与性质：定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性、零点等概念是解决函数问题的基础，应明确；二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质贯穿在解决函数问题的全过程，应熟练掌握. 2.注重数学运算能力的提升：首先重视幂的运算性质、对数的运算性质及其应用，其次关注代数推理、变形化简、数值计算，这些都是影响解题成败的关键因素，因此在复习中应重视运算能力的训练与提升. 3.注重研究教材：回归数学本质，重视教材是备考根源，教材是高考命题的发源地，是高考题的源和流.尤其在函数的复习过程中，要善于运用教材中函数性质深化拓展得出的结论，快速、简洁地解决相关问题. 4.强化数学思想方法的训练：(1)数形结合思想：函数的图象为解决与函数有关的问题提供了有力的图形保障，研究函数的性质、函数的零点、方程的根的个数、不等式的解集等问题，往往用到数形结合思想. (2)转化与化归思想：通过构造函数，将方程问题、不等式问题转化为函数的单调性、最值等问题. (3)数学建模思想：一方面在解决抽象函数问题时，应注意寻找函数原型帮助分析和解决问题；另一方面在解决函数应用问题时，需要在复杂的问题情境中对数学内容进行抽象、转化、表达，从而运用或建立适当的函数模型解决问题. 第6讲　函数的概念及其表示 【课程标准】　1.用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会用集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.　2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.　3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 1.函数的有关概念 (1)函数的概念 (2)同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. [微提醒]　(1)直线x＝a(a为常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.(2)判断两个函数是同一个函数的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.若解析式可以化简，则要注意化简过程的等价性. 2.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)可转化为分段函数的函数 ①含有绝对值的函数：形如y＝｜x｜，y＝｜x－2｜等，有时也称“V型函数”. ②最值函数：设min{a，b}＝max{a，b}＝直观上来说min{a，b}用来表示a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数. [微提醒]　分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数，各部分函数的定义域的交集是空集. 【常用结论】 基本初等函数的定义域与值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的定义域是R，值域为R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a＞0时，值域为［，＋∞)；当a＜0时，值域为(－∞，］. (3)y＝(k≠0)的定义域是{x｜x≠0}，值域为{y｜y≠0}. (4)y＝ax(a＞0且a≠1)的定义域是R，值域为(0，＋∞). (5)y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域是(0，＋∞)，值域为R. (6)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集. 学生用书⬇第23页 【自测诊断】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A.若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数 B.函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线 C.y＝x0与y＝1是同一个函数 D.函数f(x)＝的定义域是R 答案：ABC 2.(链接苏教必修一P115练习T4)在下列图形中，能表示函数关系y＝f(x)的是(　　) 答案：D 3.(多选)(链接人教A必修一P67T3)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A.f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 B.f(x)＝与g(x)＝x C.f(x)＝与g(x)＝ D.f(x)＝x与g(x)＝ 答案：AC 解析：f(x)＝与g(x)＝x的值域不同；f(x)＝x与g(x)＝＝｜x｜的对应关系不同，故B、D错误，A、C正确.故选AC. 4.(链接人教A必修一P101复习参考题T7)已知函数f(x)＝则f(f())＝(　　) A.62 B.63 C.64 D.65 答案：B 解析：f()＝－＋1＝－4，所以f(f())＝f(－4)＝4×16－1＝63. 考点一　函数的定义域 自主练透 1.(1)函数f(x)＝＋(x－1)0的定义域是(　　) A.(，＋∞) B.［，1)∪(1，＋∞) C.(，1)∪(1，＋∞) D.［，＋∞) (2)函数y＝的定义域是　　　　　. 答案：(1)C　(2)(－1，0)∪(0，2] 解析：(1)要使函数f(x)＝＋(x－1)0有意义，则解得x＞且x≠1，所以函数f(x)的定义域是(，1)∪(1，＋∞).故选C. (2)由已知可得所以函数y＝的定义域是(－1，0)∪(0，2]. 2.(1)若函数y＝f(x)的定义域为[0，2 026]，则函数g(x)＝的定义域是　　　　　　. (2)若函数f(x－1)的定义域为[0，2 026]，则函数g(x)＝的定义域是　　　　　　. 答案：(1)［－，1)∪(1，675]　(2)［－，1)∪(1，］ 解析：(1)要使函数f(3x＋1)有意义，则0≤3x＋1≤2 026，解得－≤x≤675，故函数f(3x＋1)的定义域是[－，675]，所以函数g(x)有意义的条件是解得－≤x＜1或1＜x≤675.故函数g(x)的定义域是［－，1)∪(1，675]. (2)由函数f(x－1)的定义域是[0，2 026]，得函数y＝f(x)的定义域是[－1，2 025]，所以函数g(x)有意义的条件是解得－≤x＜1或1＜x≤，所以函数g(x)的定义域是［－，1)∪(1，］. 【教师备选】　已知函数f的定义域是，则f的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：在y＝f中，x∈[－1，3]，所以x＋1∈[0，4]，所以f(x)的定义域是[0，4]，故在f中0≤x2≤4，解得－2≤x≤2，所以f.故选A. 3.若函数y＝的定义域是R，则实数a的取值范围是　　　　　　. 答案： 解析：根据题意，知ax2－4ax＋2＞0的解集是R.当a＝0时，2＞0恒成立，满足题意；当a≠0时，解得0＜a＜.综上，实数a的取值范围是. 求函数定义域的方法 1.求给定解析式的函数的定义域：其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域：(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域. 考点二　函数的解析式 师生共研 (一题多变)根据下列条件求函数的解析式： (1)已知f(＋1)＝x＋2，求函数f(x)的解析式； (2)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； (3)已知函数f(x)是单调递增的一次函数，且满足f(f(x))＝16x＋5，求函数f(x)的解析式； (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式. 解：(1)(配凑法)已知f(＋1)＝x＋2，则f(＋1)＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1. 令t＝＋1(t≥1)，则f(t)＝t2－1(t≥1)， 所以f(x)＝x2－1(x≥1). (2)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t，因为f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， 所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]，即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2]. (3)(待定系数法)因为f(x)是单调递增的一次函数，所以设f(x)＝ax＋b，a＞0， 故f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，所以 解得(不符合题意，舍去). 因此f(x)＝4x＋1. (4)(构造法)因为2f(x)＋f(－x)＝3x①， 所以将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x②， 由①②解得f(x)＝3x. 学生用书⬇第24页 [变式探究](数智赋能辅助) 1.(变条件)若本例(1)条件变为“f＝x4＋”，则f(x)的解析式为　　　　　　　　. 答案：f(x)＝x2－2(x≥2) 解析：f＝x4＋＝－2，又x2＋≥2＝2，当且仅当x2＝，即x＝±1时等号成立.设t＝x2＋，则t≥2，所以f(t)＝t2－2(t≥2)，所以f(x)＝x2－2(x≥2). 2.(变条件)若本例(2)条件变为“f(2x)＝4x－2x”，则f(x)的解析式为　　　　　　　　. 答案：f(x)＝x2－x(x＞0) 解析：根据题意，f(2x)＝4x－2x＝－2x，设t＝2x(t＞0)，则f(t)＝t2－t(t＞0)，所以f(x)＝x2－x(x＞0). 3.(变条件)若本例(3)条件变为“f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1”，则f(x)的解析式为　　　　　　　　. 答案：f(x)＝x2－x＋2 解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，所以所以f(x)＝x2－x＋2. 4.(变条件)若本例(4)条件变为“2f(x)＋f()＝3x”，则f(x)的解析式为　　　　　　　　. 答案：f(x)＝2x－ 解析：因为2f(x)＋f()＝3x①，所以将x用替换，得2f()＋f(x)＝3·②，由①②解得f(x)＝2x－. 函数解析式的求法 1.配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.特别注意形如x±与x2＋，ax±a－x与a2x＋a－2x，sin x±cos x与sin xcos x一般都运用配凑法. 2.换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. 3.待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法. 4.构造法：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)，充分体现了方程思想的应用. 考点三　分段函数(高考超重点) 多维探究 角度1　分段函数求值 (1)(2025·山东潍坊一模)已知函数f＝则f＝(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)已知函数f(x)＝则f(2 026)＝　　　　. 答案：(1)B　 (2)e－2 解析：(1)将x＝－1代入，得到f(－1)＝＋＝0，所以f(f(－1))＝f(0).将x＝0代入，得到f(0)＝e0＋ln 1＝1.因此，f(f(－1))＝f(0)＝1.故选B. (2)因为当x≥2时，f(x)＝f(x－1)，所以f(2 026)＝f(2 025)＝…＝f(2)＝f(1)＝e1－2＝e－2. 角度2　分段函数与方程、不等式 (1)已知函数f＝且f＝－12，则f＝(　　) A.－1 B.－3 C.－5 D.－7 (2)(一题多解)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f＞1的x的取值范围是　　　　. 答案：(1)D　(2) 解析：(1)由题意知，当m≤1时，f(m)＝2m＋1－8＝－12，得2m＋1＝－4，又2m＋1＞0，所以方程无解；当m＞1时，f(m)＝4lo(m＋1)＝－12，得(m＋1)＝－3，即m＋1＝8，解得m＝7，所以f(6－m)＝f(－1)＝2－1＋1－8＝－7.故选D. (2)法一：由题意知，当x＞时，2x＋＞1恒成立，即x＞满足题意；当0＜x≤时，2x＋＋1＞1恒成立，即0＜x≤满足题意；当x≤0时，x＋1＋＋1＝2x＋＞1，所以x＞－，即－＜x≤0.综上，x的取值范围是. 法二：f(x)＝f(x)＋f(x－)＞1，即f(x－)＞1－f(x)，由图象变换可画出y＝f(x－)与y＝1－f(x)的图象如图所示： 由图可知x＋＝－x，即x＝－，所以满足f(x－)＞1－f(x)的解集为(－，＋∞). 【教师备选】　已知函数f(x)＝则f(x)＜f(x＋1)的解集为　　　　. 答案： 解析：当x≤0时，x＋1≤1，f(x)＜f(x＋1)等价于x2－1＜(x＋1)2－1，解得－＜x≤0；当0＜x≤1时，x＋1＞1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)＞0，所以当0＜x≤1时，恒有f(x)＜f(x＋1)；当x＞1时，x＋1＞2，f(x)＜f(x＋1)等价于log2x＜log2(x＋1)，此时也恒成立.综上，不等式f(x)＜f(x＋1)的解集为. 解决分段函数问题的方法 1.求分段函数的函数值：首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.当求f(f)的值时，应由内到外依次求值. 2.已知函数值或范围求自变量的值或范围：应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 注意：(1)当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.(2)若分段函数某一段的解析式形如f＝f(m≠0)的形式，则应由此得出函数的周期，利用周期将自变量的值进行转化，然后代入到另一段解析式求值. 对点练1.已知函数f(x)＝若f(a－2)＝f(a)，则f＝(　　) A.11 B.6 C.4 D.2 答案：D 解析：由题意得函数f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上均为增函数.因为f(a－2)＝f(a)，所以解得0＜a≤2，所以a2＋a＝5(a－2)＋6，即a2－4a＋4＝0，解得a＝2，符合题意，所以f＝f(1)＝12＋1＝2.故选D. 对点练2.设函数f(x)＝若f(f(a))≥3，则实数a的取值范围是(　　) A.[－1，＋∞) B.(－∞，－－1] C.[－3，1] D.[1，＋∞) 答案：A 解析：因为f(x)＝令f(a)＝t，则f(f(a))≥3可化为f(t)≥3，当t≥0时，t2＋2t≥3，解得t≥1(负值舍去)，即f(a)≥1；当t＜0时，－t2＋2t≥3，即t2－2t＋3≤0，而t2－2t＋3＝(t－1)2＋2＞0，故上述不等式无解，综上，f(a)≥1，若a≥0，则a2＋2a≥1，解得a≥－1(负值舍去)；若a＜0，则－a2＋2a≥1，解得a＝1(舍去).综上，a≥－1.故选A. 对点练3.(2025·山东威海二模)已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，1) B.(－1，＋∞) C.[－1，1) D.(1，＋∞) 答案：C 解析：因为y＝x在单调递增，y＝－单调递增，所以当x≥1时，f＝x－单调递增，则f≥f＝0.又函数f的值域为R，所以x＜1时，函数y＝(1－a)x＋2a的值域要取到的所有实数，所以1－a＞0，当1－a＞0时，即a＜1时，函数y＝(1－a)x＋2a单调递增，x→－∞时，y→－∞，当x＝1时，y＝1－a＋2a＝a＋1≥0，即a≥－1，所以－1≤a＜1.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $