第1章 第5节 二次函数(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学讲义聚焦二次函数核心考点，涵盖解析式三种形式、图象性质及闭区间最值，按“定义-性质-应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理（如性质对比表格）、方法指导（求解析式三策略）、真题训练（改编题与例题），帮助学生突破图象分析、最值求解等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出分层教学与核心素养培养，采用“自主练透+师生共研”模式，如在性质应用中引导学生通过分类讨论闭区间最值，培养数学思维的推理能力。设置基础巩固与能力提升题组，配合即时反馈，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第5节　二次函数 课标解读 1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．　2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题． 1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． 2．二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在区间上单调递减；在区间上单调递增 在区间上单调递增；在区间上单调递减 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，闭区间为[m，n]. (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)． (2)当m＜－时，最小值为f，最大值为f(n)． (3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m)． (4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)． 1．(多选)(苏教必修一P133复习题T10改编)已知函数y＝x2，其值域为(1，4)，则此函数的定义域可以为(　　) A．(1，2) B．(－2，2) C．(－2，－1) D．(0，2) 解析：AC　对于A，当x∈(1，2)时，y∈(1，4)，符合题意； 对于B，当x∈(－2，2)时，y∈[0，4)，不符合题意； 对于C，当x∈(－2，－1)时，y∈(1，4)，符合题意； 对于D，当x∈(0，2)时，y∈(0，4)，不符合题意．故选AC. 2．(人B必修一P127习题B组T9改编)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　) 解析：D　由a＞b＞c且a＋b＋c＝0，得a＞0，c＜0，所以函数f(x)是二次函数，图象开口向上，排除A、C；又f(0)＝c＜0，所以B错误，D正确．故选D. 3．(人A必修一P100复习参考题T4改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在区间[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为________． 解析：依题意知，≥20或≤5，解得k≥160或k≤40. 答案：(－∞，40]∪[160，＋∞) 4．(人B必修一P139复习题A组T8改编)已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为____________． 解析：由题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a＞0)，又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x. 答案：f(x)＝x2－4x 考点一　二次函数的解析式(自主练透) 1．已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝x2＋x＋1 B．f(x)＝－x2－x＋1 C．f(x)＝x2－x＋1 D．f(x)＝－x2＋x－1 解析：C　因为f(0)＝1，y＝f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，又因为f(x＋1)－f(x)＝2x，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x，所以2a＝2，a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1.故选C. 2．(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)的解析式为________． 解析：法一(一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝，所以m＝.又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a2＋8.因为f(2)＝－1，所以a2＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(零点式)：由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8.解得a＝－4.故所求函数的解析式为f(x)＝＋4x＋7. 答案：f(x)＝－4x2＋4x＋7 3．已知二次函数f(x)的图象过点(0，3)，对称轴为直线x＝2，且方程f(x)＝0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为________． 解析：依题意，设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)，由二次函数f(x)的图象过点(0，3)，得f(0)＝3，所以4a＋h＝3，即h＝3－4a，所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a，令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0，所以ax2－4ax＋3＝0，设方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝4，x1x2＝，所以＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－，所以16－＝10，解得a＝1，所以f(x)＝x2－4x＋3. 答案：f(x)＝x2－4x＋3 求二次函数解析式的三个策略 (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式． (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式． (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式． 考点二　二次函数的图象(师生共研) 例1　(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x＝－.则下列结论正确的是(　　) A．abc＜0 B．b＜a＋c C．3b＜－4c D．当x＞－时，y随x的增大而增大 解析：ACD　由二次函数图象和性质可得a＞0，c＜0，因为－，所以a＝b＞0，所以abc＜0，故A正确；由图象可知当x＝－1时，函数值小于0，即a－b＋c＜0，所以b＞a＋c，故B错误；由图象可知x＝1时，函数值小于0，即a＋b＋c＜0，因为a＝b，所以2b＋c＜0，即2b＜－c，所以8b＜－4c，因为b＞0，所以3b＜8b，所以3b＜－4c，故C正确；根据函数图象可知，函数在对称轴的右侧y随x的增大而增大，因为二次函数的对称轴为x＝－，所以当x＞－时，y随x的增大而增大，故D正确．故选ACD. 研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向． (多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c＜0 C．9a＋3b＋c＜0 D．abc＜0 解析：ACD　由二次函数图象开口向下知a＜0，对称轴为x＝－＝1，即2a＋b＝0，故b＞0.又因为f(0)＝c＞0，所以abc＜0，f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c＞0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c＜0.故选ACD. 考点三　二次函数的性质(师生共研) 例2　已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1. (1)若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围； (2)若a>0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式． 解：(1)由题意知a≠0.当a>0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝，所以f(x)在区间[1，2]上单调递减需满足≥2，又a>0，所以0<a≤；当a<0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝<0，所以f(x)在区间[1，2]上单调递减恒成立．综上，a的取值范围是(－∞，0)∪. (2)①当0<≤1，即a≥时，f(x)在区间[1，2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2. ②当1<<2，即<a<时，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时g(a)＝f＝2a－－1. ③当≥2，即0<a≤时，f(x)在区间[1，2]上单调递减，此时g(a)＝f(2)＝6a－3. 综上所述，g(a)＝ 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 1．已知函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域为，则m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：B　设f(x)＝x2－3x－4＝2－，x∈R，所以f(x)的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x＝，如图所示， 所以f＝－，易知f(－1)＝f(4)＝0，由图可知，要使函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域为，则m的取值范围是.故选B. 2．函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，则b－a的取值范围是________． 解析：解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，得x＝0或x＝4，解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，得x＝2，由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2，2].若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝[2，4]，此时b－a取得最小值2；若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0，4]，所以b－a的最大值为4，所以b－a的取值范围是[2，4]. 答案：[2，4] 学科网（北京）股份有限公司 $