第1章 第2节 常用逻辑用语(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦常用逻辑用语专题，覆盖充分条件、必要条件、充要条件的判定与应用，全称量词与存在量词的命题及否定等核心考点，按“概念梳理-结论总结-考点分层突破”架构组织知识，通过课标解读、方法指导、真题训练等环节帮助学生构建逻辑体系，突破难点。 资料以数学思维和数学语言为导向，创新采用集合关系判断条件关系，设计多维探究活动分析量词命题，如将参数范围问题转化为集合包含关系求解，配合分层练习和即时反馈，培养学生推理能力与表达能力，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考效率。

第2节　常用逻辑用语 课标解读 1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系、数学定义与充要条件的关系．　2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定． 1．充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 1．若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件． 2．用集合间的包含关系判断充分、必要条件：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 3．命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假． 1．(人A必修一P22习题T2改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　由“三角形是等边三角形”可得到“三角形是等腰三角形”，但反之不成立．故选A. 2．(人A必修一P21例3(3)改编)“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　因为xy＞0⇏ x＜0，y＜0，且x＜0，y＜0⇒xy＞0，所以“xy＞0” 不是“x＜0，y＜0”的必要充分条件．故选B. 3．(人A必修一P30例4(1)改编)若命题p：∃x∈R，x＋1≥0，则命题p的否定是(　　) A．∀x∈R，x＋1＜0 B．∀x∈R，x＋1≥0 C．∃x∈R，x＋1＜0 D．∃x∈R，x＋1≤0 答案：A 4．(多选)(人A必修一P27例1、P28例2改编)下列命题中的真命题是(　　) A．∀x∈R，2x-1＞0 B．∀x∈N*，(x－1)2＞0 C．∃x0∈R，lg x0＜1 D．∃x0∈R，tan x0＝2 解析：ACD　x∈N*时，x－1∈N，得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A、C、D正确．故选ACD. 考点一　充分、必要条件的判定(自主练透) 1．(2025·天津卷T2)设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　充分性：当x＝0时，sin 2x＝sin 0＝0，故充分性成立；必要性：当sin 2x＝0时，2x＝kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，x的可能取值为0，±，±π，…，故必要性不成立．故选A. 2．已知x，y∈R，则“x＞y”是“(x－y)y2＞0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　当(x－y)y2＞0时，可得y≠0且x＞y，则“x＞y”是“(x－y)y2＞0”的必要条件；当y＝0且“x＞y”，则“(x－y)y2＝0”，所以“x＞y”是“(x－y)y2＞0”的不充分条件．故选B. 3．(2025·山东青岛一模)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　由B⊆∁UC，得B∩C＝∅，而A⊆C，则A∩B＝∅，故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充分条件；由A∩B＝∅，存在一个集合C＝A，使得A⊆C，B⊆∁UC，如图，所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的必要条件．故选C. 4．下列选项中，使“x2＜1”成立的一个必要不充分条件为(　　) A．－2＜x＜1 B．－1＜x＜1 C．0＜x＜2 D．－1＜x＜0 解析：A　不等式x2＜1等价于－1＜x＜1，使“x2＜1”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为A，则(－1，1)是A的真子集，由此对照各项，可知只有A项符合题意．故选A. 判断充分、必要条件及充要条件的两种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断．多适用于条件中涉及参数范围的推断问题． 考点二　充分、必要条件的应用(师生共研) 例1　(1)①已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________； ②若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是________． 解析：①因为p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则(－∞，a](－∞，1]，因此a<1，即实数a的取值范围是(－∞，1)． ②若p是q的必要条件，则(－∞，a]⊆(－∞，1]，因此a≤1，即实数a的取值范围是(－∞，1]. 答案：①(－∞，1)　②(－∞，1] (2)已知p：x>1或x<－3，q：x>a(a为实数)．若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是____________． 解析：由已知得¬p：－3≤x≤1，¬q：x≤a.设A＝{x|－3≤x≤1}，B＝{x|x≤a}，若¬p是¬q的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，¬q ⇏¬p，所以集合A＝{x|－3≤x≤1}是集合B＝{x|x≤a}的真子集．所以a≥1. 答案：[1，＋∞) 应用充分、必要条件求解参数范围的方法 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． (2)注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． 1．已知p：>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　) A．[0，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，0] D．(－∞，1] 解析：C　由>1可得x(x－1)<0，解得0<x<1，记A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x>m}，若p是q的充分条件，则A是B的子集，所以m≤0，所以实数m的取值范围是(－∞，0].故选C. 2．已知α：－1<x<0，β：m－1<x<－3m.若α是β的充分不必要条件，则实数m的取值范围是____________． 解析：因为α是β的充分不必要条件，所以{x|－1<x<0}是{x|m－1<x<－3m}的真子集， 则(不同时取等号)，解得m<0，所以实数m的取值范围是(－∞，0)． 答案：(－∞，0) 考点三　全称量词与存在量词(多维探究) 角度1　含量词的命题的否定 例2　(多选)下列说法正确的是(　　) A．“菱形是正方形”是全称量词命题 B．“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2<0” C．命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除” D．“A＝B”是“sin A＝sin B”的必要不充分条件 解析：AB　对于A，“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全称量词命题，故A正确；对于B，由全称量词命题的否定知其否定是“∃x，y∈R，x2＋y2<0”，故B正确；对于C，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数都能被3整除”，故C错误；对于D，因为A＝B时，sin A＝sin B成立，而sin A＝sin B时，A＝B不一定成立，如A＝，故“A＝B”是“sin A＝sin B”的充分不必要条件，故D错误．故选AB. 角度2　含量词的命题的真假判断 例3　(2024·新课标Ⅱ卷T2)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x.则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 解析：B　因为∀x∈R，|x＋1|≥0，所以命题p为假命题，所以¬p为真命题．因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x(x2－1)＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题．故选B. 角度3　含量词的命题的应用 例4　已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为________． 解析：由命题p为真，得a≤0.由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1.综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]. 答案：(－∞，－2] 含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是利用等价命题求参数的范围． 1．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．∀x∈R，－x2－1＜0 B．∀n∈Z，∃m∈Z，nm＝m C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D．存在实数x，使得 解析：ABC　∀x∈R，－x2≤0，所以－x2－1＜0，故A项是真命题；当m＝0时，nm＝m恒成立，故B项是真命题；任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C项是真命题；因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，所以＜，故D项是假命题．故选ABC. 2．已知命题p：∃x∈(0，＋∞)，使得x2－λx＋1＜0成立．若p为假命题，则实数λ的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：A　因为p为假命题，所以¬p为真命题，故∀x∈(0，＋∞)，x2－λx＋1≥0，即∀x∈(0，＋∞)，λ≤x＋.又当x∈(0，＋∞)时，x＋ ＝2，当且仅当x＝1时等号成立，所以实数λ的取值范围是(－∞，2].故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $