第1章 第3节 等式性质与不等式性质(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学讲义聚焦等式与不等式性质高考核心考点，涵盖作差法比较大小、不等式性质及应用等内容，按“基础方法—性质拓展—综合应用”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，助力学生构建知识体系，突破比较大小、性质判断等难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如用构造函数法比较对数式大小，借特殊值法验证不等式性质，设置基础巩固、能力提升分层练习，确保高效复习，提升学生逻辑推理与问题解决能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第3节　等式性质与不等式性质 课标解读 1．理解用作差法比较两个实数大小的理论依据．　2.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用． 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c； (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； (5)同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； (6)同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (7)同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 1．倒数性质 若ab＞0，则a＞b⇒＜；若ab＜0，则a＞b⇒＞. 2．分数性质 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)真分数性质：＜；＞(b－m＞0)； (2)假分数性质：＞；＜(b－m＞0)． 1．(人A必修一P43习题T3(2)改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　) A．M ＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N 解析：A　因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N.故选A. 2．(人A必修一P42练习T2改编)设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是(　　) A．ac＞bc B．＜ C．a2＞b2 D．a＋c＞b＋c 解析：D　对于A，当c≤0时，不等式ac＞bc不成立，故A错误；对于B，当a＞0，b＜0时，不等式＜不成立，故B错误；对于C，当a＝－1，b＝－2时，不等式a2＞b2不成立，故C错误，D正确．故选D. 3．(人B必修一P81习题B组T3改编)已知2＜a＜3，1＜b＜2，则2a－b的取值范围是________． 解析：因为2＜a＜3，所以4＜2a＜6.又1＜b＜2，所以－2＜－b＜－1，所以2＜2a－b＜5. 答案：(2，5) 4．(人A必修一P43习题T12改编)火车站有某公司待运的甲种货物1530 t，乙种货物1150 t．现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物．已知35 t甲种货物和15 t乙种货物可装满一节A型货厢，25 t甲种货物和35 t乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有________种方案． 解析：设安排A型货厢x节，B型货厢y节，总运费为z，所以 所以解得x≥28且x≤30.又因为x∈N*，所以或或所以共有3种方案． 答案：3 考点一　比较数(式)的大小(自主练透) 1．已知0＜a＜，且M＝，则M，N的大小关系是(　　) A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定 解析：A　因为0＜a＜，所以1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0.所以M－N＝＞0，所以M＞N.故选A. 2．设a，b∈[0，＋∞)，A＝ ＋ ，B＝ ，则A，B的大小关系是(　　) A．A≤B B．A≥B C．A＜B D．A＞B 解析：B　由题意得，B2－A2＝－2 ≤0，又A≥0，B≥0，所以A≥B.故选B. 3．已知c＞1，且x＝ － ，y＝ － ，则x，y之间的大小关系是(　　) A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 解析：C　由题设，易知x，y＞0，又<1，所以x＜y.故选C. 4．(一题多解)若a＝，则(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 解析：B　法一：易知a，b，c都是正数，＝log8164＜1，所以a＞b；＞1，所以b＞c.即c＜b＜a. 法二：构造函数f(x)＝，则f′(x)＝，由f′(x)＞0，得0＜x＜e；由f′(x)＜0，得x＞e.所以f(x)在区间(0，e)上单调递增，在区间(e，＋∞)上单调递减．所以f(3)＞f(4)＞f(5)，即a＞b＞c.故选B. 数(式)比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数法：利用函数的单调性比较大小． 考点二　不等式的基本性质(师生共研) 例1　(1)(2025·北京海淀区期中)若a，b，c为非零实数，且a>c，b>c，则(　　) A．a＋b>c B．ab>c2 C．a＋b>2c D．> 解析：C　令a＝b＝－1，c＝－2，则a>c，b>c，因为此时a＋b＝－2＝c，故A不成立；ab＝1<(－2)2＝c2，故B不成立；＝－2<－1＝，故D不成立；根据不等式的基本性质：a>c，b>c⇒a＋b>2c，故C成立．故选C. (2)(多选)设a，b∈R，若－1<b<a<0，则下列不等式中正确的是(　　) A．a2<b2 B．< C．ab<b2 D．a＋b>－1 解析：ABC　因为－1<b<a<0，则1>－b>－a>0，则b2>a2，A选项正确；因为－1<b<a<0，则b－a＜0，ab＞0，则<0，B选项正确；因为－1<b<a<0，则a－b>0，b<0，则ab－b2＝b(a－b)<0，C选项正确；取b＝－0.75，a＝－0.5，a＋b＝－1.25，所以a＋b<－1，D选项错误．故选ABC. 利用不等式的性质判断命题真假的两种方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 1．(多选)设a，b，c∈R，则下列选项中正确的是(　　) A．若a>b，则a－c>b－c B．若a2>b2，则a>b C．若c＞a＞b＞0，则＜ D．若a>b，则a3>b3 解析：ACD　对于A，由a>b，得a－c>b－c，故A正确；对于B，取a＝－2，b＝1满足a2>b2，而a>b不成立，故B错误；对于C，由c＞a＞b＞0，则＜0，所以＜，故C正确；对于D，由a>b，得a－b>0，则a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)[2＋]>0，故D正确．故选ACD. 2．(多选)若＜＜0，则下列不等式正确的是(　　) A．＜ B．|a|＋b＞0 C．a－＞b－ D．ln a2＞ln b2 解析：AC　由＜＜0，可知b＜a＜0.对于A，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0，则＜，故A正确；对于B，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0，故－b＞＜＜0，则－＞－＞0，所以a－＞b－，故C正确；对于D，因为b＜a＜0，所以b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以＞ln a2，故D错误．故选AC. 考点三　不等式性质的综合应用(师生共研) 例2　(1)(多选)已知－1<a<5，－3<b<1，则以下结论正确的是(　　) A．－15<ab<5 B．－4<a＋b<6 C．－2<a－b<8 D．当b≠0时，－<<5 解析：ABC　由题知－1<a<5，因为－3<b<1，所以－1<－b<3，对于A，若则－15<ab<3，若则ab＝0，若则－1<ab<5，综上可得－15<ab<5，故A正确；对于B，－4＝－3－1<a＋b<1＋5＝6，故B正确；对于C，－2＝－1－1<a－b<3＋5＝8，故C正确；对于D，当a＝4，b＝时，＝8，故D错误．故选ABC. (2)已知a－b∈[5，27]，a＋b∈[6，30]，则7a－5b的取值范围是(　　) A．[－24，192] B．[－24，252] C．[36，252] D．[36，192] 解析：D　设7a－5b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，所以解得所以7a－5b＝6(a－b)＋(a＋b)．又a－b∈[5，27]，a＋b∈[6，30]，所以7a－5b＝6(a－b)＋(a＋b)∈[36，192].故选D. 利用不等式性质求代数式的取值范围的注意点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 1．已知0＜β＜α＜，则α－β的取值范围是________． 解析：因为0＜β＜，所以－＜－β＜0，又0＜α＜，所以－＜α－β＜，又β＜α，所以α－β＞0，即0＜α－β＜，即α－β的取值范围为. 答案： 2．已知3<a＋b<4，1<a－b<2，则2ab的取值范围是________． 解析：因为 所以 即 所以则5<4ab<15，所以<2ab<. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $