第11讲 古典概率（知识详解+6典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（沪教版必修第三册）

第11讲 古典概率（知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：古典概型 知识点02：古典概型的概率公式 知识点03：概率的性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：计算古典概型问题的概率 题型02：有放回与无放回问题的概率 题型03：判断所给事件是否是互斥关系 题型04：利用对立事件的概率公式求概率 题型05：互斥事件的概率加法公式 题型06：利用互斥事件的概率公式求概率 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 【例1】判断下列两个随机试验是否为古典概型，并说明理由。 （1）抛掷一枚质地均匀的硬币，观察正面、反面朝上的结果； （2）向圆形靶面随机射击，观察弹着点的位置。 【知识点02】古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝ 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 【例2】从1,2,3,4,5这5个整数中随机抽取1个数，求抽到奇数的概率。 【题型01】计算古典概型问题的概率 【典例1-1】（25-26高二上·上海·单元测试）一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积为2的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二下·上海静安·期末）以连续抛掷两次正方体骰子分别得到的点数作为点的坐标，，则点落在直线和两坐标轴所围成的三角形区域（包括边界）的概率是（    ） A． B． C． D．. 【变式1-2】（25-26高二上·上海金山·期末）将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，则出现“正面向上的点数等于3”的概率是______． 【变式1-3】（24-25高二下·上海嘉定·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片． (1)若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和小于8的概率； (2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，再放回后再抽取1张卡片，求这三次抽取的卡片上的数字的极差大于2的概率． 【题型02】有放回与无放回问题的概率 【典例2-1】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·上海青浦·阶段检测）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是__________. 【变式2-2】三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取． （1）最后一名同学抽到中奖奖券的概率是__________； （2）若已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，则最后一名同学抽到奖券的概率是__________． 【变式2-3】（25-26高二上·上海金山·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中表示第一次取出的标签上的数字，表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，求的概率． 【题型03】判断所给事件是否是互斥关系 【典例3-1】（24-25高二·上海·课堂例题）抛掷一颗骰子，设事件A：落地时向上的点数是奇数，事件B：落地时向上的点数是偶数，事件C：落地时向上的点数小于3，事件D：落地时向上的点数大于5，则下列每对事件中，不是互斥事件的为是（    ） A．A与B； B．B与C； C．A与D； D．C与D． 【变式3-1】掷一颗骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数，事件：落地时向上的点数是偶数，事件：落地时向上的点数是的倍数，事件：落地时向上的点数是．则下列每对事件中，不是互斥事件的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式3-2】某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有__________（填序号）． ①恰有1名男生和全是男生； ②至少有一名男生和至少有一名女生； ③至少有一名男生和全是男生； ④至少有一名男生和全是女生． 【变式3-3】（24-25高二上·上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有________ . ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”. 【题型04】利用对立事件的概率公式求概率 【典例4-1】（24-25高二下·上海·阶段检测）某小组有学生10人，则该小组中至少有两个出生的月份相同的概率为______．（答案精确到0.001） 【变式4-1】（25-26高二上·上海普陀·阶段检测）已知事件A，其对立事件记为，若，则_________． 【变式4-2】（25-26高二上·上海奉贤·阶段检测）设两个事件与都不发生的概率为，则事件与事件至少有一个发生的概率为______. 【变式4-3】（24-25高二·上海·课堂例题）抛掷三枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率； (1)恰有1枚正面朝上； (2)至少2枚正面朝上； (3)至多2枚正面朝上. 【题型05】互斥事件的概率加法公式 【典例5-1】（25-26高二上·上海·单元测试）设A、B为任意两个随机事件，则下列各式中一定不成立的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【变式5-1】（25-26高二下·上海·期中）已知事件与事件互斥，且，，则________. 【变式5-2】（25-26高二下·上海徐汇·期末）已知事件与事件为互斥事件，且，，则______． 【变式5-3】（24-25高二上·上海·期末）、两人在玩一个商业模拟游戏.现在游戏进行到了最后一轮，暂时领先3分.接下来可以掷两颗骰子，如果两颗骰子的点数都是偶数，则“投资”失败，“投资”的分值记为0分，游戏结束；否则，可以进行“投资”，他可以选择其中一个点数为奇数的骰子，将其点数作为“投资”的分值.“投资”结束后，该游戏结束.、两人中分值较高者获胜，若分值相同，则两人打平. (1)求获胜的概率； (2)若在掷骰子之前可以对的“投资”行为进行干扰，他可以选择以下两种方式之一：①让的分值直接减1；②当掷出骰子后，将点数较大的骰子变为1点，另一个不变（如果掷出的两颗骰子点数相同，则将其中一个变为1点）.为了使自己获胜的概率更大，会选择哪种方式进行干扰?说明理由. 【题型06】利用互斥事件的概率公式求概率 【典例6-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知随机事件互斥，且，，则等于（   ） A． B．0.4 C．0.5 D．0.7 【变式6-1】（24-25高二下·上海·阶段检测）若事件、互斥，则______． 【变式6-2】（25-26高二上·上海静安·期末）甲、乙两人下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.8，则他们下成和棋的概率为________． 【变式6-3】（2025高二·上海·专题练习）某商店日收入（单位：元）在下列范围内的概率如下表所示： 日收入 概率 0.12 a b 0.14 已知日收入在 （元）范围内的概率为0.67，求日收入在 （元）范围内的概率. 知识点01古典概型核心概念梳理 古典概型是高中概率最基础、最常考的概率模型，也称为等可能概型，所有计算题、判断题均围绕两大核心判定条件展开，缺一不可。 1. 两大必备条件 （1）有限性：随机试验的所有基本事件个数为有限个； （2）等可能性：每一个基本事件发生的概率完全相等。 2. 基本事件定义 基本事件是随机试验中不可再拆分的最简单结果，任意两个基本事件互斥，一次试验有且仅有一个基本事件发生。 3. 非古典概型常见情况 ① 结果无限（几何概型、随机落点问题）；② 结果有限但概率不相等（投篮、射击命中问题）。 知识点02古典概型核心概率公式（必考） 仅适用于满足有限性、等可能性的古典概型试验，是本章唯一计算核心公式。 1. 标准公式（微软格式） 参数说明： ：试验全部基本事件的总个数； ：随机事件所包含的基本事件个数； 取值范围：。 2. 规范解题四步骤 步骤1：判模型——判断试验是否为古典概型（有限、等可能）； 步骤2：算总数——求出基本事件总数 ； 步骤3：算事件数——求出目标事件包含的基本事件数 ； 步骤4：代公式——代入 计算并化简结果。 知识点03概率的基本性质（全公式梳理） 适用于所有随机事件，不限于古典概型，是判断概率大小、正误辨析题的核心依据。 1. 概率取值范围 对任意随机事件 ： 2. 特殊事件概率 必然事件 （一定发生）： 不可能事件 （一定不发生）： 3. 事件包含单调性 若事件 发生一定导致事件 发生，即 ，则： 4. 补充基础性质（拓展） 对立事件概率和为1： 互斥事件加法公式：若，则 知识点04本章核心易错点总结（预习必看） 易错点1：只看结果有限，忽略等可能性，误判古典概型。 易错点2：计算 时标准不统一，导致概率计算错误（必须统一基本事件选取标准）。 易错点3：认为“概率为0的事件是不可能事件、概率为1的事件是必然事件”（仅古典概型中成立，广义概率不成立）。 易错点4：忽略事件包含关系，误用概率大小比较。 一、填空题 1．（24-25高二下·上海·阶段检测）事件A与事件B为对立事件，已知，则_____________. 2．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知事件，其对立事件记为，若，则__________． 3．（25-26高二下·上海·期末）若等可能的样本空间，则事件发生的概率________． 4．（25-26高二下·上海·期末）已知事件与事件互斥，，，则________． 5．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知事件A与事件B互斥，如果，，那么______． 6．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则________． 7．（25-26高一上·上海普陀·期末）已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则_____． 8．（24-25高二下·上海·期中）已知事件、互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率，则事件、至少有一个发生的概率为________． 9．（25-26高二下·上海松江·期中）祖冲之是我国古代的数学家，他曾将圆周率精确到和之间．在8张质地相同的卡片上分别写有数字3，1，4，1，5，9，2，6，从中有放回地随机抽取2张，则两次都抽到写有数字1的卡片的概率为______． 10．（24-25高二·上海·课堂例题）已知集合，在M中可重复地依次取出三个数，则“以为边长恰好构成三角形”的概率是________． 11．（24-25高二·上海·课堂例题）从一批产品中取出三件产品，设A：三件产品全不是正品，B：三件产品全是正品，C：三件产品不全是正品．①A与C对立；②B与C互斥；③任何两个均互斥；④任何两个均不互斥.则以上结论中正确的序号是________． 12．（24-25高二上·上海·课后作业）①若事件与事件是对立事件，则事件与事件互斥；②若事件与事件互斥，则事件与事件是对立事件；③若事件与事件是对立事件，则事件为必然事件；④若事件为必然事件，则事件与事件互斥． 上述命题中真命题有________． 二、单选题 13．（24-25高二上·上海黄浦·期末）同时掷两颗骰子，则所得点数互不相等的概率是（   ）. A． B． C． D． 14．（25-26高二下·上海·期中）设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·上海松江·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，为两个事件，则 B．若事件，，两两互斥，则 C．若事件，满足，则与相互对立 D．若，为相互对立事件，则与一定互斥 16．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 三、解答题 17．（24-25高二·上海·课堂例题）盒子里装有大小与质地相同的红球与白球，从中任取两色均有的4个球．设事件A：4个球中有3个红球、1个白球，事件B：4个球中有1个红球、3个白球．已知，，求“4个球中红球与白球个数不同”的概率． 18．（24-25高二·上海·课堂例题）投掷两颗骰子，求点数之和为下列条件的概率． (1)5或10； (2)小于5或大于10． 19．（24-25高二·上海·随堂练习）现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品： （1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续次取出的都是正品的概率； （2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率． 20．（24-25高二下·上海·期中）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共8个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)随机试验：从盒中不放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由． 21．（25-26高二下·上海·期中）设m为一个至少为2的正整数．在两个罐子中，各有m个形状和质地均相同的小球，都分别标记为1到m号．现在两个罐子中各任取一个小球，记两球上的数字的乘积可以被m整除的概率为， (1)当时，求两小球上的数字的乘积为奇数的概率； (2)求； (3)若恒成立，且有无数个m可以使得等号成立，求的表达式，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 古典概率（知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：古典概型 知识点02：古典概型的概率公式 知识点03：概率的性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：计算古典概型问题的概率 题型02：有放回与无放回问题的概率 题型03：判断所给事件是否是互斥关系 题型04：利用对立事件的概率公式求概率 题型05：互斥事件的概率加法公式 题型06：利用互斥事件的概率公式求概率 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 【例1】判断下列两个随机试验是否为古典概型，并说明理由。 （1）抛掷一枚质地均匀的硬币，观察正面、反面朝上的结果； （2）向圆形靶面随机射击，观察弹着点的位置。 解：（1）抛硬币试验 ① 有限性：试验结果只有“正面朝上”“反面朝上”2个基本事件，结果有限； ② 等可能性：硬币质地均匀，两个结果发生的概率相等； 同时满足两个条件，属于古典概型。 （2）打靶试验 弹着点在圆形靶面上有无数个位置，基本事件个数无限，不满足有限性； 不属于古典概型。 解题总结：古典概型判定核心：有限结果、等可能发生。 【知识点02】古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝ 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 【例2】从1,2,3,4,5这5个整数中随机抽取1个数，求抽到奇数的概率。 解：步骤1：判定古典概型 抽取结果有限，且每个数被抽取的可能性相等，符合古典概型定义。 步骤2：求总基本事件数 总共有5个不同整数，基本事件总数 。 步骤3：求事件包含基本事件数 设事件为“抽到奇数”，符合条件的数为：1,3,5，共3个，即 。 步骤4：代入公式计算 最终答案：抽到奇数的概率为 【知识点03】概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 常用结论： 概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 【例3】从1~8这8个自然数中随机取一个数，设事件：取出的数大于2；事件：取出的数大于5。 （1）判断两个事件的包含关系；（2）计算 、，验证概率单调性。 解：若取出的数大于5，则一定大于2，可得：，根据概率性质应有 。 从8个数中随机取1个，基本事件总数 。 事件包含数字：3,4,5,6,7,8，共6个， 事件包含数字：6,7,8，共3个， ，即 ，完全符合概率单调性质。 最终答案：，满足概率单调性 【题型01】计算古典概型问题的概率 【典例1-1】（25-26高二上·上海·单元测试）一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积为2的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型概率公式即可求解. 【详解】将这个小正方体抛掷2次，所有基本事件的个数为， 向上的数之积，则需要第一次抛1，第二次抛2，或者第一次抛2，第二次抛1，故共有种情况，所以 ， 故选：C 【变式1-1】（25-26高二下·上海静安·期末）以连续抛掷两次正方体骰子分别得到的点数作为点的坐标，，则点落在直线和两坐标轴所围成的三角形区域（包括边界）的概率是（    ） A． B． C． D．. 【答案】D 【分析】先求出点的总个数，再列举出满足条件的点，即可得答案. 【详解】由题意可得点共有个， 而满足条件的点有： ，，，，，共6个点， 故所求概率为. 【变式1-2】（25-26高二上·上海金山·期末）将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，则出现“正面向上的点数等于3”的概率是______． 【答案】 【分析】利用古典概型来计算概率即可. 【详解】将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，则出现正面向上的点数一共有6种可能， 所以出现“正面向上的点数等于3”的概率是， 故答案为： 【变式1-3】（24-25高二下·上海嘉定·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片． (1)若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和小于8的概率； (2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，再放回后再抽取1张卡片，求这三次抽取的卡片上的数字的极差大于2的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列出符合题意的基本事件，再由古典概型的概率公式计算可得； （2）列出符合题意的基本事件，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】（1）一次抽取3张卡片所得的样本空间是，共有4个样本点，它们是等可能的， 其中样本点、的数字之和小于8， 则3张卡片上数字之和小于8的概率是． （2）这三次抽取的卡片上的数字的总的结果有种情况，每一种情况是等可能的． 极差大于2的情况，一定有1、4，、各有3种，、各有6种，共18种， 则概率为． 因此，这三次抽取的卡片上的数字的极差大于2的概率是． 【题型02】有放回与无放回问题的概率 【典例2-1】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出试验的样本空间和事件（“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”）的样本点个数，由古典概型计算即可. 【详解】记2个红球和3个黄球分别为和， 记为随机试验的样本点，分别表示第一次和第二次摸到的球， 则从中不放回地依次随机摸出两个球的试验的样本空间为 ，共20个样本点， 记事件“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”， 则共6个样本点. 所以. 故选：C 【变式2-1】（24-25高二下·上海青浦·阶段检测）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】两次抽取的试验的样本空间，共16个， 两次抽取的卡片数字之和大于6的事件，共3个， 所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是， 则不大于6的概率为. 故答案为：. 【变式2-2】三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取． （1）最后一名同学抽到中奖奖券的概率是__________； （2）若已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，则最后一名同学抽到奖券的概率是__________． 【答案】 / 【分析】利用中奖概率和抽取顺序无关，即可求解；第一名同学没有抽到中奖券后剩下2张奖券，1张能中奖，由题意可得中奖概率和抽取顺序无关，即可求解. 【详解】因为三张奖券中只有一张能中奖，且无放回地抽取，第一、二名未能中奖概率分别为，所以最后一名同学抽到中奖奖券的概率是； 又因为第一名同学没有抽到中奖券，则问题变为张奖券，1张能中奖，故最后一名同学抽到中奖券的概率是. 故答案为：，. 【变式2-3】（25-26高二上·上海金山·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中表示第一次取出的标签上的数字，表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，求的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）通过不放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率； （2）通过有放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率. 【详解】（1）若标签的选取是不放回的，则样本空间为： ，共12种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率为； （2）若标签的选取是有放回的，则样本空间为： ，共16种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率． 【题型03】判断所给事件是否是互斥关系 【典例3-1】（24-25高二·上海·课堂例题）抛掷一颗骰子，设事件A：落地时向上的点数是奇数，事件B：落地时向上的点数是偶数，事件C：落地时向上的点数小于3，事件D：落地时向上的点数大于5，则下列每对事件中，不是互斥事件的为是（    ） A．A与B； B．B与C； C．A与D； D．C与D． 【答案】B 【分析】根据互斥事件的定义逐个分析判断. 【详解】对于A，因为落地时向上的点数是奇数与落地时向上的点数是偶数不可能同时发生， 所以事件A与B是互斥事件，所以A错误， 对于B，因为落地时向上的点数是偶数与落地时向上的点数小于3可能同时发生，如落地时向上的点数为2， 所以事件B与C不是互斥事件，所以B正确， 对于C，因为落地时向上的点数是奇数与落地时向上的点数大于5不可能同时发生， 所以事件A与D是互斥事件，所以C错误， 对于D，因为落地时向上的点数小于3与落地时向上的点数大于5不可能同时发生， 所以事件C与D是互斥事件，所以D错误. 故选：B 【变式3-1】掷一颗骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数，事件：落地时向上的点数是偶数，事件：落地时向上的点数是的倍数，事件：落地时向上的点数是．则下列每对事件中，不是互斥事件的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】判断选项中的两个事件是否可以同时发生即可. 【详解】对于A，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是偶数”不可能同时发生， ∴，事件与事件互斥，故选项A不正确； 对于B，“落地时向上的点数是偶数”与“落地时向上的点数是的倍数”同时发生即“落地时向上的点数是”， ∴“落地时向上的点数是”，事件与事件不是互斥事件，故选项B正确； 对于C，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生， ∴，事件与事件互斥，故选项C不正确； 对于D，“落地时向上的点数是的倍数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生， ∴，事件与事件互斥，故选项D不正确. 故选：B. 【变式3-2】某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有__________（填序号）． ①恰有1名男生和全是男生； ②至少有一名男生和至少有一名女生； ③至少有一名男生和全是男生； ④至少有一名男生和全是女生． 【答案】①④ 【分析】由互斥事件的概念逐一判断即可. 【详解】某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，有以下情形： 两名男生，一名男生一名女生，两名女生． 恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生，故①是互斥事件； 至少有一名男生即： 两名男生，一名男生一名女生； 至少有一名女生即：一名男生一名女生，两名女生， 至少有一名男生和至少有一名女生有同时发生的情形：一名男生一名女生，故②不是互斥事件； 至少有一名男生即：两名男生，一名男生一名女生；全是男生即：两名男生， 至少有一名男生和全是男生有同时发生的情形：两名男生，故③不是互斥事件； 至少有一名男生即：两名男生，一名男生一名女生，则至少有一名男生与全是女生不可能同时发生，故④是互斥事件． 故答案为：①④. 【变式3-3】（24-25高二上·上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有________ . ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”. 【答案】②③ 【分析】对于①，写出两个事件的基本事件，两事件均包含2件次品，1件正品，故不是互斥事件，①错误；对于②，两事件不可能同时发生，②正确；对于③，写出两个事件的基本事件，得到③正确；对于④，两事件为同一事件，故不是互斥事件，④错误. 【详解】对于①，A：“所取3件中至多2件次品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； B：“所取3件中至少2件为次品”包含2个基本事件，即3件次品；2件次品，1件正品； 两事件均包含2件次品，1件正品，故不是互斥事件，①错误； 对于②，A：“所取3件中有一件为次品”，和B：“所取3件中有二件为次品”不可能同时发生，为互斥事件，②正确； 对于③，B：“所取3件中至少有一件为次品”包含3个基本事件，即1件次品，2件正品；2件次品，1件正品；3件次品； 与A：“所取3件中全是正品”不可能同时发生，故为互斥事件，③正确； 对于④，A：“所取3件中至多有2件次品”，包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； B：“所取3件中至少有一件是正品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； 两事件为同一事件，故不是互斥事件，④错误. 故答案为：②③ 【题型04】利用对立事件的概率公式求概率 【典例4-1】（24-25高二下·上海·阶段检测）某小组有学生10人，则该小组中至少有两个出生的月份相同的概率为______．（答案精确到0.001） 【答案】0.996 【分析】根据对立事件和古典概型的概率公式得到结果. 【详解】该小组中至少有两个出生的月份相同的概率为． 故答案为：. 【变式4-1】（25-26高二上·上海普陀·阶段检测）已知事件A，其对立事件记为，若，则_________． 【答案】0.7/ 【分析】根据对立事件的性质即可求解． 【详解】事件A的对立事件为，， 则． 故答案为：0.7． 【变式4-2】（25-26高二上·上海奉贤·阶段检测）设两个事件与都不发生的概率为，则事件与事件至少有一个发生的概率为______. 【答案】 【分析】利用对立事件的概率公式可求得结果. 【详解】如下图所示：    由图可知，且， 所以事件与事件至少有一个发生的概率为. 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高二·上海·课堂例题）抛掷三枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率； (1)恰有1枚正面朝上； (2)至少2枚正面朝上； (3)至多2枚正面朝上. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）找出符合要求的情况，再利用古典概型公式求解即可. （2）按要求找出符合要求的情况，再利用古典概型公式求解即可. （3）先求出对立事件的概率，按要求找出符合要求的情况，再利用古典概型公式求解即可. 【详解】（1）总情况为种，且设三个硬币分别为， 硬币为正记为，硬币为反记为， 符合条件的情况包含，共3种， 且设概率为，所以. （2）总情况为种，且设三个硬币分别为， 硬币为正记为，硬币为反记为， 符合条件的情况包含，共4种， 且设概率为，所以. （3）总情况为种，且设三个硬币分别为， 硬币为正记为，硬币为反记为， 至多2枚正面朝上的对立事件为有超过2枚正面朝上， 符合条件的情况包含，共1种， 且设概率为，所以. 【题型05】互斥事件的概率加法公式 【典例5-1】（25-26高二上·上海·单元测试）设A、B为任意两个随机事件，则下列各式中一定不成立的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】根据即可求解. 【详解】由于，所以ABC都有可能，D不可能， 故选：D 【变式5-1】（25-26高二下·上海·期中）已知事件与事件互斥，且，，则________. 【答案】0.2/ 【分析】根据互斥事件的加法公式求解即可. 【详解】. 【变式5-2】（25-26高二下·上海徐汇·期末）已知事件与事件为互斥事件，且，，则______． 【答案】/ 【详解】由题意知，事件与事件互斥，且，， 可得，所以. 【变式5-3】（24-25高二上·上海·期末）、两人在玩一个商业模拟游戏.现在游戏进行到了最后一轮，暂时领先3分.接下来可以掷两颗骰子，如果两颗骰子的点数都是偶数，则“投资”失败，“投资”的分值记为0分，游戏结束；否则，可以进行“投资”，他可以选择其中一个点数为奇数的骰子，将其点数作为“投资”的分值.“投资”结束后，该游戏结束.、两人中分值较高者获胜，若分值相同，则两人打平. (1)求获胜的概率； (2)若在掷骰子之前可以对的“投资”行为进行干扰，他可以选择以下两种方式之一：①让的分值直接减1；②当掷出骰子后，将点数较大的骰子变为1点，另一个不变（如果掷出的两颗骰子点数相同，则将其中一个变为1点）.为了使自己获胜的概率更大，会选择哪种方式进行干扰?说明理由. 【答案】(1)(2) 应选择② 【分析】（1）获胜的概率即为输的概率，求得得分小于3分的概率即可得结论； （2）选择①时，求得输的概率，选择②：求得输的概率，比较可得结论. 【详解】（1）获胜的概率即为输的概率； 掷两颗骰子，掷第一颗骰子有6种点数，掷第二颗骰子有6种点数， 所以掷两颗骰子共有36种不同的结果； 两颗骰子的点数都是偶数的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是奇数且两个奇数均为1的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数且奇数为1的概率为， 所以输的概率为； 所以获胜的概率； （2）应选择②，理由如下： 选择①： 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是偶数的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是奇数且两个奇数均小于5的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数且奇数小于5的的概率为， 所以输的概率为； 所以获胜的概率； 选择②： 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是偶数的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是奇数， 即改后输， 所以两颗骰子的点数都是奇数且改后输的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数时， 即改后输， 所以两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数改后输的概率为， 所以输的概率为； 所以获胜的概率； 故为了使自己获胜的概率更大，会选择②方式进行干扰. 【题型06】利用互斥事件的概率公式求概率 【典例6-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知随机事件互斥，且，，则等于（   ） A． B．0.4 C．0.5 D．0.7 【答案】D 【分析】因为和互斥，由求出，再由，可得到答案. 【详解】因为和互斥， 所以， 又，所以， 因为， 所以. 故选：D. 【变式6-1】（24-25高二下·上海·阶段检测）若事件、互斥，则______． 【答案】0 【分析】由互斥事件的概念即可求解； 【详解】因为事件、互斥， 所以 ， 故答案为：0 【变式6-2】（25-26高二上·上海静安·期末）甲、乙两人下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.8，则他们下成和棋的概率为________． 【答案】0.4 【分析】设事件，分析事件的关系，即可求得结果. 【详解】“甲获胜”为事件，“甲、乙和棋”为事件， 则，∴ 所以 故答案为：0.4 【变式6-3】（2025高二·上海·专题练习）某商店日收入（单位：元）在下列范围内的概率如下表所示： 日收入 概率 0.12 a b 0.14 已知日收入在 （元）范围内的概率为0.67，求日收入在 （元）范围内的概率. 【答案】0.55. 【分析】设日收入在，，，内的事件依次为：，然后由互斥事件概率加法公式可得答案. 【详解】设日收入在，，，分别为事件：，由题可得之间两两互斥，， ，则. 即日收入在内的概率为. 知识点01古典概型核心概念梳理 古典概型是高中概率最基础、最常考的概率模型，也称为等可能概型，所有计算题、判断题均围绕两大核心判定条件展开，缺一不可。 1. 两大必备条件 （1）有限性：随机试验的所有基本事件个数为有限个； （2）等可能性：每一个基本事件发生的概率完全相等。 2. 基本事件定义 基本事件是随机试验中不可再拆分的最简单结果，任意两个基本事件互斥，一次试验有且仅有一个基本事件发生。 3. 非古典概型常见情况 ① 结果无限（几何概型、随机落点问题）；② 结果有限但概率不相等（投篮、射击命中问题）。 知识点02古典概型核心概率公式（必考） 仅适用于满足有限性、等可能性的古典概型试验，是本章唯一计算核心公式。 1. 标准公式（微软格式） 参数说明： ：试验全部基本事件的总个数； ：随机事件所包含的基本事件个数； 取值范围：。 2. 规范解题四步骤 步骤1：判模型——判断试验是否为古典概型（有限、等可能）； 步骤2：算总数——求出基本事件总数 ； 步骤3：算事件数——求出目标事件包含的基本事件数 ； 步骤4：代公式——代入 计算并化简结果。 知识点03概率的基本性质（全公式梳理） 适用于所有随机事件，不限于古典概型，是判断概率大小、正误辨析题的核心依据。 1. 概率取值范围 对任意随机事件 ： 2. 特殊事件概率 必然事件 （一定发生）： 不可能事件 （一定不发生）： 3. 事件包含单调性 若事件 发生一定导致事件 发生，即 ，则： 4. 补充基础性质（拓展） 对立事件概率和为1： 互斥事件加法公式：若，则 知识点04本章核心易错点总结（预习必看） 易错点1：只看结果有限，忽略等可能性，误判古典概型。 易错点2：计算 时标准不统一，导致概率计算错误（必须统一基本事件选取标准）。 易错点3：认为“概率为0的事件是不可能事件、概率为1的事件是必然事件”（仅古典概型中成立，广义概率不成立）。 易错点4：忽略事件包含关系，误用概率大小比较。 一、填空题 1．（24-25高二下·上海·阶段检测）事件A与事件B为对立事件，已知，则_____________. 【答案】/ 【分析】利用对立事件的概率公式即可求解. 【详解】由对立事件概率公式，因为事件A与事件B为对立事件， 所以， 故答案为： 2．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知事件，其对立事件记为，若，则__________． 【答案】0.8/ 【分析】根据对立事件的性质即可求解. 【详解】事件的对立事件为， ,则． 故答案为：0.8． 3．（25-26高二下·上海·期末）若等可能的样本空间，则事件发生的概率________． 【答案】/ 【详解】已知等可能的样本空间， 则事件发生的概率． 4．（25-26高二下·上海·期末）已知事件与事件互斥，，，则________． 【答案】0.7/ 【详解】由事件互斥，则， 所以. 5．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知事件A与事件B互斥，如果，，那么______． 【答案】/ 【分析】根据互斥事件的概率加法公式求解. 【详解】因为事件A与事件B互斥， 所以， 故答案为： 6．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则________． 【答案】 【分析】利用对立事件和互斥事件的概率公式求解即可． 【详解】因为事件和互斥，， 所以， 因为事件和都不发生的概率为， 所以，所以， 所以． 7．（25-26高一上·上海普陀·期末）已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则_____． 【答案】/0.9375 【分析】根据所给条件，利用互斥事件和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】因为事件与事件互斥，且， 所以， 又因为事件与事件都不发生的概率为， 所以，解得， 所以， 故答案为： 8．（24-25高二下·上海·期中）已知事件、互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率，则事件、至少有一个发生的概率为________． 【答案】 【分析】利用互斥事件的概率加法公式可求得结果. 【详解】因为事件、互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率， 则事件、至少有一个发生的概率为. 故答案为：. 9．（25-26高二下·上海松江·期中）祖冲之是我国古代的数学家，他曾将圆周率精确到和之间．在8张质地相同的卡片上分别写有数字3，1，4，1，5，9，2，6，从中有放回地随机抽取2张，则两次都抽到写有数字1的卡片的概率为______． 【答案】 【详解】因为是有放回地抽取，所以第一次和第二次抽到写有数字1的卡片的概率均为：， 则两次都抽到写有数字1的卡片的概率为：. 10．（24-25高二·上海·课堂例题）已知集合，在M中可重复地依次取出三个数，则“以为边长恰好构成三角形”的概率是________． 【答案】/0.625 【分析】先得到基本事件数，再得到不能构成三角形的事件数，利用古典概型公式结合对立事件概率公式求解即可. 【详解】从两个数里取三次，共有种情况， 只有三种情况无法构成三角形， 且设概率为，所以. 故答案为： 11．（24-25高二·上海·课堂例题）从一批产品中取出三件产品，设A：三件产品全不是正品，B：三件产品全是正品，C：三件产品不全是正品．①A与C对立；②B与C互斥；③任何两个均互斥；④任何两个均不互斥.则以上结论中正确的序号是________． 【答案】② 【分析】利用互斥、对立事件的定义判断即可. 【详解】事件A与C能同时发生， A与C不互斥，不对立，①③错误； 事件B与C不能同时发生， B与C互斥，②正确，④错误. 所以给定结论中正确的序号是②. 故答案为：② 12．（24-25高二上·上海·课后作业）①若事件与事件是对立事件，则事件与事件互斥；②若事件与事件互斥，则事件与事件是对立事件；③若事件与事件是对立事件，则事件为必然事件；④若事件为必然事件，则事件与事件互斥． 上述命题中真命题有________． 【答案】①③ 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念分别判断. 【详解】对于①，对立事件首先互斥，故①为真命题； 对于②，两事件互斥不一定是对立事件，如将一枚硬市拋掷两次，共出现（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）四种结果，事件“两次出现正面”与事件“只有一次出现反面”互斥，但不是对立事件，故②为假命题； 对于③，事件，为对立事件，则在一次试验中，一定有一个发生，故③为真命题； 对于④，事件表示事件，至少有一个要发生，，不一定互斥，故④为假命题； 故答案为：①③. 二、单选题 13．（24-25高二上·上海黄浦·期末）同时掷两颗骰子，则所得点数互不相等的概率是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用列举法求古典概型的概率. 【详解】掷两颗骰子，所有情况如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 由上表，一共有36种情况，所得点数互不相等有30种情况， 所以所求概率为. 故选：B 14．（25-26高二下·上海·期中）设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】事件互斥，则不能同时发生． A选项：，所以A正确； B选项：，所以B正确； C选项：互斥事件，所以，所以C错误； D选项：互斥，，所以D正确. 15．（25-26高二上·上海松江·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，为两个事件，则 B．若事件，，两两互斥，则 C．若事件，满足，则与相互对立 D．若，为相互对立事件，则与一定互斥 【答案】D 【分析】根据对立事件和互斥事件的定义，结合对立事件和互斥事件的概率公式进行逐一判断即可. 【详解】对A：只有事件互斥时，才有，故A错误； 对B：当事件两两互斥，则，故B错误； 对C：若且事件互斥时，才有与相互对立，故C错误； 对D： 对立事件一定互斥，故D正确. 故选：D 16．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】C 【分析】应用古典概型计算各个选项即可. 【详解】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故B错误； 颜色不全相同的结果有 24种,其概率为，故C正确； 无红球的结果有 8种，其概率为，故D错误． 故选：C 三、解答题 17．（24-25高二·上海·课堂例题）盒子里装有大小与质地相同的红球与白球，从中任取两色均有的4个球．设事件A：4个球中有3个红球、1个白球，事件B：4个球中有1个红球、3个白球．已知，，求“4个球中红球与白球个数不同”的概率． 【答案】 【分析】理解题意，弄清所求事件与已知事件之间的关系，利用相关概率公式计算即得. 【详解】因为试验为“从中任取两色均有的4个球”，则试验结果包括: 3个红球、1个白球；2个红球，2个白球和1个红球、3个白球三种， 故事件“4个球中红球与白球个数不同”包括：3个红球、1个白球和1个红球、3个白球两种结果， 可表示为：，因事件与事件互斥， 故其概率为： 18．（24-25高二·上海·课堂例题）投掷两颗骰子，求点数之和为下列条件的概率． (1)5或10； (2)小于5或大于10． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件和，根据古典概型概率公式计算和，接着利用互斥事件的概率加法公式计算即得; （2）设事件和，计算出，接着利用互斥事件的概率加法公式计算即得. 【详解】（1）因投掷两颗骰子这个试验的样本空间为 ， 设事件A：点数之和为5，则, ， 设事件B：点数之和为10，则,， 因事件与互斥，故 （2）设事件C：点数之和小于5，则,， 事件D：点数之和大于10，则， 因事件与互斥，故. 19．（24-25高二·上海·随堂练习）现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品： （1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续次取出的都是正品的概率； （2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率． 【答案】（1）;（2） 【分析】（1）根据古典概型中有放回问题的概率计算问题来计算即可； （2）根据古典概型的概率公式来计算即可. 【详解】(1)有放回地抽取3次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x,y,z都有10种可能, 所以基本事件总数为10×10×10=103(种); 设事件A为“连续3次都取正品”,则包含的基本事件共有8×8×8=83种,因此P(A)==0.512. (2)可以看作不放回抽样3次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z), 则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能, 所以基本事件总数为10×9×8. 设事件B为“3件都是正品”, 则事件B包含的基本事件总数为8×7×6, 所以P(B)= 20．（24-25高二下·上海·期中）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共8个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)随机试验：从盒中不放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2、3、3； (2)游戏不公平，理由如下： 记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件， 则，所以, 所以此游戏不公平． 【分析】（1）利用古典概型公式通过方程组思想求解即可； （2）先利用古典概型公式计算甲胜的概率，如果概率不等于，那就是不公平的. 【详解】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件， 因为为两两互斥事件， 由已知得，解得． 盒中红球,黄球,蓝球的个数分别是； （2）略 21．（25-26高二下·上海·期中）设m为一个至少为2的正整数．在两个罐子中，各有m个形状和质地均相同的小球，都分别标记为1到m号．现在两个罐子中各任取一个小球，记两球上的数字的乘积可以被m整除的概率为， (1)当时，求两小球上的数字的乘积为奇数的概率； (2)求； (3)若恒成立，且有无数个m可以使得等号成立，求的表达式，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）设两小球上的数字的乘积为奇数为事件A，根据题意求出即可； （2）设取出两数为，乘积能被10整除的情况可分类计数：至少一个数为10；两数均不为10，计算概率即可； （3）不妨设取出小球编号为有序数对， 分类讨论取m为质数和m为合数即可． 【详解】（1）由题意，时，抽取一个小球为奇数的概率为，设两小球上的数字的乘积为奇数为 事件A，则，故乘积为奇数的概率为． （2）设取出两数为，乘积能被10整除的情况可分类计数： 1、至少一个数为10，共有种， 2、两数均不为10，则一个为5，另一个为偶数，共有种， 共计种，故． （3）由题意，满足两球数字的乘积可以被整除的有序数对个数为， 设，根据题意对所有恒成立， 且无数个使得， 故不妨设取出小球编号为有序数对，，，，m为ab的因数， 当为质数时，由整除可得整除或整除，又因为， 所以，故， 故取，则此时成立； 当m为合数时，必然存在，，使之成立，故， 故此时，故恒成立满足题意，故． 1 学科网（北京）股份有限公司 $