第1章 第3节 等式性质与不等式性质(课件PPT)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦“等式性质与不等式性质”专题，依据高考评价体系梳理了作差法比较大小、不等式性质应用等核心考点，通过知识梳理与考点突破，归纳比较数式大小、取值范围确定等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题改编训练+解题方法归纳”，如以教材习题改编题为例，用构造函数法分析ln3/3等大小比较，培养学生数学思维与推理能力。规律总结提炼作差、作商法等技巧，助力学生掌握答题方法，教师可据此高效指导复习。

第3节　等式性质与不等式性质 返回 ‹#› 1．理解用作差法比较两个实数大小的理论依据．　2.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用． 课标解读 返回 ‹#› 1 再研教材 夯实基础 3 限时规范训练　 栏 目 导 引 2 考点突破 通法悟道 返回 ‹#› 再研教材 夯实基础 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 返回 ‹#› 2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔_____； (2)传递性：a>b，b>c⇒_____； (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； (4)可乘性：a>b，c>0⇒_______；a>b，c<0⇒_______； (5)同向可加性：a>b，c>d⇒_____________； (6)同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒_______； (7)同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． b<a a>c ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd 返回 ‹#› 1．倒数性质 若ab＞0，则a＞b⇒＜；若ab＜0，则a＞b⇒＞. 2．分数性质 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)真分数性质：＜；＞(b－m＞0)； (2)假分数性质：＞；＜(b－m＞0)． 返回 ‹#› 1．(人A必修一P43习题T3(2)改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有 (　　) A．M ＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N 解析：A　因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N.故选A. A 返回 ‹#› 2．(人A必修一P42练习T2改编)设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是(　　) A．ac＞bc B．＜ C．a2＞b2 D．a＋c＞b＋c 解析：D　对于A，当c≤0时，不等式ac＞bc不成立，故A错误；对于B，当a＞0，b＜0时，不等式＜不成立，故B错误；对于C，当a＝－1，b＝－2时，不等式a2＞b2不成立，故C错误，D正确．故选D. D 返回 ‹#› 3．(人B必修一P81习题B组T3改编)已知2＜a＜3，1＜b＜2，则2a－b的取值范围是________． 解析：因为2＜a＜3，所以4＜2a＜6.又1＜b＜2，所以－2＜－b＜－1，所以2＜2a－b＜5. 答案：(2，5) 返回 ‹#› 4．(人A必修一P43习题T12改编)火车站有某公司待运的甲种货物1530 t，乙种货物1150 t．现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物．已知35 t甲种货物和15 t乙种货物可装满一节A型货厢，25 t甲种货物和35 t乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有________种方案． 解析：设安排A型货厢x节，B型货厢y节，总运费为z，所以 返回 ‹#› 所以解得x≥28且x≤30.又因为x∈N*，所以或或所以共有3种方案． 答案：3 返回 ‹#› 考点突破 通法悟道 考点一　比较数(式)的大小(自主练透) 1．已知0＜a＜，且M＝，则M，N的大小关系是(　　) A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定 解析：A　因为0＜a＜，所以1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0.所以M－N＝＞0，所以M＞N.故选A. A 返回 ‹#› 2．设a，b∈[0，＋∞)，A＝ ＋ ，B＝ ，则A，B的大小关系是(　　) A．A≤B B．A≥B C．A＜B D．A＞B 解析：B　由题意得，B2－A2＝－2 ≤0，又A≥0，B≥0，所以A≥B.故选B. B 返回 ‹#› 3．已知c＞1，且x＝ － ，y＝ － ，则x，y之间的大小关系是(　　) A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 解析：C　由题设，易知x，y＞0，又<1，所以x＜y.故选C. C 返回 ‹#› 4．(一题多解)若a＝，则(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 解析：B　法一：易知a，b，c都是正数，＝log8164＜1，所以a＞b；＞1，所以b＞c.即c＜b＜a. 法二：构造函数f(x)＝，则f′(x)＝，由f′(x)＞0，得0＜x＜e；由f′(x)＜0，得x＞e.所以f(x)在区间(0，e)上单调递增，在区间(e，＋∞)上单调递减．所以f(3)＞f(4)＞f(5)，即a＞b＞c.故选B. B 返回 ‹#› 数(式)比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数法：利用函数的单调性比较大小． 返回 ‹#› 考点二　不等式的基本性质(师生共研) 例1　(1)(2025·北京海淀区期中)若a，b，c为非零实数，且a>c，b>c，则 (　　) A．a＋b>c B．ab>c2 C．a＋b>2c D．> 解析：C　令a＝b＝－1，c＝－2，则a>c，b>c，因为此时a＋b＝－2＝c，故A不成立；ab＝1<(－2)2＝c2，故B不成立；＝－2<－1＝，故D不成立；根据不等式的基本性质：a>c，b>c⇒a＋b>2c，故C成立．故选C. C 返回 ‹#› (2)(多选)设a，b∈R，若－1<b<a<0，则下列不等式中正确的是(　　) A．a2<b2 B．< C．ab<b2 D．a＋b>－1 解析：ABC　因为－1<b<a<0，则1>－b>－a>0，则b2>a2，A选项正确；因为－1<b<a<0，则b－a＜0，ab＞0，则<0，B选项正确；因为－1<b<a<0，则a－b>0，b<0，则ab－b2＝b(a－b)<0，C选项正确；取b＝－0.75，a＝－0.5，a＋b＝－1.25，所以a＋b<－1，D选项错误．故选ABC. ABC 返回 ‹#› 利用不等式的性质判断命题真假的两种方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 返回 ‹#› 1．(多选)设a，b，c∈R，则下列选项中正确的是(　　) A．若a>b，则a－c>b－c B．若a2>b2，则a>b C．若c＞a＞b＞0，则＜ D．若a>b，则a3>b3 ACD 返回 ‹#› 解析：ACD　对于A，由a>b，得a－c>b－c，故A正确；对于B，取a＝－2，b＝1满足a2>b2，而a>b不成立，故B错误；对于C，由c＞a＞b＞0，则＜0，所以＜，故C正确；对于D，由a>b，得a－b>0，则a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)[2＋]>0，故D正确．故选ACD. 返回 ‹#› 2．(多选)若＜＜0，则下列不等式正确的是(　　) A．＜ B．|a|＋b＞0 C．a－＞b－ D．ln a2＞ln b2 AC 返回 ‹#› 解析：AC　由＜＜0，可知b＜a＜0.对于A，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0，则＜，故A正确；对于B，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0，故－b＞＜＜0，则－＞－＞0，所以a－＞b－，故C正确；对于D，因为b＜a＜0，所以b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以＞ln a2，故D错误．故选AC. 返回 ‹#› 考点三　不等式性质的综合应用(师生共研) 例2　(1)(多选)已知－1<a<5，－3<b<1，则以下结论正确的是(　　) A．－15<ab<5 B．－4<a＋b<6 C．－2<a－b<8 D．当b≠0时，－<<5 ABC 返回 ‹#› 解析：ABC　由题知－1<a<5，因为－3<b<1，所以－1<－b<3，对于A，若则－15<ab<3，若则ab＝0，若则－1<ab<5，综上可得－15<ab<5，故A正确；对于B，－4＝－3－1<a＋b<1＋5＝6，故B正确；对于C，－2＝－1－1<a－b<3＋5＝8，故C正确；对于D，当a＝4，b＝时，＝8，故D错误．故选ABC. 返回 ‹#› (2)已知a－b∈[5，27]，a＋b∈[6，30]，则7a－5b的取值范围是(　　) A．[－24，192] B．[－24，252] C．[36，252] D．[36，192] 解析：D　设7a－5b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，所以解得所以7a－5b＝6(a－b)＋(a＋b)．又a－b∈[5，27]，a＋b∈[6，30]，所以7a－5b＝6(a－b)＋(a＋b)∈[36，192].故选D. D 返回 ‹#› 利用不等式性质求代数式的取值范围的注意点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 返回 ‹#› 1．已知0＜β＜α＜，则α－β的取值范围是________． 解析：因为0＜β＜，所以－＜－β＜0，又0＜α＜，所以－＜α－β＜，又β＜α，所以α－β＞0，即0＜α－β＜，即α－β的取值范围为. 答案： 返回 ‹#› 2．已知3<a＋b<4，1<a－b<2，则2ab的取值范围是________． 解析：因为 所以 即 所以则5<4ab<15，所以<2ab<. 答案： 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 2 限时规范 训练(三)　等式性质与不等式性质 14 15 (建议用时：45分钟　分值：78分) 本训练单项选择题5分，多项选择题6分，填空题5分． 1．已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．M≥N 解析：B　因为0＜a1＜1，0＜a2＜1，所以－1＜a1－1＜0，－1＜a2－1＜0，所以M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)＞0，所以M ＞N.故选B. B 返回 ‹#› 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2．(2026·四川绵阳模拟预测)已知a，b，c均为实数，则下列说法正确的是 (　　) A．若a>b，则ac>bc B．若a>b，则c－a>c－b C．若b<a<0，则< D．若a>b，c≠0，则< 解析：C　对于A，若c＝0，则ac＝bc＝0，故A错误；对于B，由题设－a<－b，所以c－a<c－b，故B错误；对于C，由b<a<0，则<，故C正确；对于D，因为c≠0，a>b，所以>，故D错误．故选C. 14 15 C 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 3．(2026·四川南充模拟)下列命题是真命题的是(　　) A．若a＜b，则ac2＜bc2 B．若a＜b，c＞d，则a－c＞b－d C．若a＞b＞0，m＞0，则＜ D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd 14 15 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 解析：C　当c2＞0时，若a＜b，则ac2＜bc2，这是真命题，但是当c2＝0时，显然ac2＝bc2，故A错误；由a＜b，c＞d可得，a＜b，－c＜－d，利用同向不等式可加性得：a－c＜b－d，故B错误；由，因为a＞b＞0，m＞0，所以＜0，即＜，故C正确；若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd，这里a＞b，c＞d，不妨取4＞1，－2＞－3，则4×(－2)＜1×(－3)，与ac＞bd相矛盾，故D错误．故选C. 14 15 返回 ‹#› 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 12 13 11 4．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．ac2＞bc2 B．＜ C．＞0 D．(a－b)c2≥0 解析：D　对于A，当c＝0时，由a＞b不能推出ac2＞bc2，故A错误；对于B，当a＞0，b＜0时，由a＞b不能推出＜，故B错误；对于C，当c＝0时，由a＞b不能推出＞0，故C错误；对于D，由a＞b⇒a－b＞0，又c2≥0，所以≥0，故D正确．故选D. 14 15 D 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 5．“0＜a＜b”是“a－＜b－”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　因为y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调递增，所以当0＜a＜b时，a－＜b－，充分性成立；当a＜b＜0时，a－＜b－成立，而a－＜b－不能推出0＜a＜b，必要性不成立，所以“0＜a＜b”是“a－＜b－”的充分不必要条件．故选A. 14 15 A 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 6．已知a>b>0>c，则(　　) A．ac>bc B．a(b－c)<b(a－c) C．< D．a2＋b2＋c2>2ab－2ac＋2bc 解析：C　对于A，a>b，c<0，则ac<bc，故A错误；对于B，a>b>0>c，则c<0，b－a<0，则a(b－c)－b(a－c)＝c(b－a)>0，故B错误；对于C，a>b>0>c，则a＋c2>b＋c2>0，则<，故C正确；对于D，a2＋b2＋c2－(2ab－2ac＋2bc)＝(a＋c)2＋b2－2b(a＋c)＝(a＋c－b)2，故存在a＝2，b＝1，c＝－1，使得a2＋b2＋c2－(2ab－2ac＋2bc)＝0，故D错误．故选C. 14 15 C 返回 ‹#› 7 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 2 7．(多选)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论正确的是(　　) A．ad＞bc B．＜0 C．a－c＞b－d D．a(d－c)＞b(d－c) 解析：BCD　因为a＞0＞b，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，所以ad＜bc，故A错误；因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以a(－c)＞(－b)(－d)，所以ac＋bd＜0，cd＞0，所以＜0，故B正确；因为c＜d，所以－c＞－d，因为a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)，即a－c＞b－d，故C正确；因为a＞0＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)，故D正确．故选BCD. 14 15 BCD 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 8．(多选)设P＝ ，Q＝ － ，R＝ － ，则P，Q，R的大小关系是(　　) A．P>R B．R>Q C．P<R D．R<Q 解析：AB　因为P－R＝ － －＝2 － >0，所以P>R.因为R－Q＝ － － －＝ ＋－ ＋，又 ＋2＝9＋2 ， ＋2＝9＋2 ，所以 ＋ > ＋ ，所以R>Q.故选AB. 14 15 AB 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 9．(5分)若1＜α＜3，－4＜β＜2，则2α＋|β|的取值范围是________． 解析：因为－4＜β＜2，所以0≤|β|＜4，又1＜α＜3，所以2＜2α＜6，所以2＜2α＋|β|＜10. 答案：(2，10) 14 15 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10．(5分)已知a＋b＞0，则与的大小关系是____________________． 解析：－＝＝(a－b)·＝，因为a＋b＞0，(a－b)2≥0，所以≥0.所以. 答案： 14 15 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11．(2025·福建三明三模)已知a，b∈R，则“|a|＋|b|≤1”是“a2＋b2≤1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14 15 A 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 解析：A　若|a|＋|b|≤1，则a2＋b2≤a2＋b2＋2|a||b|＝(|a|＋|b|)2≤1，充分性成立； 设a＝b＝，则有a2＋b2＝2＋2＝1满足a2＋b2≤1， 此时有|a|＋|b|＝≤1，故必要性不成立， 综上所述，“|a|＋|b|≤1”是“a2＋b2≤1”的充分不必要条件．故选A. 14 15 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 12．(多选)已知实数x，y满足－1≤x＋y≤3，4≤2x－y≤9，则(　　) A．1≤x≤4 B．－2≤y≤1 C．2≤4x＋y≤15 D．≤x－y≤6 解析：AC　因为－1≤x＋y≤3，4≤2x－y≤9，所以3≤3x≤12，所以1≤x≤4，故A正确；因为所以－2≤－3y≤11，解得－，故B错误；因为4x＋y＝2(x＋y)＋(2x－y)，－2≤2(x＋y)≤6，4≤2x－y≤9，所以2≤4x＋y≤15，故C正确；因为x－y＝－(x＋y)＋(2x－y)，－1≤－(x＋y)≤(2x－y)≤6，所以，故D错误．故选AC. 14 15 AC 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13．(5分)给出三个不等式：①a2＞b2；②2a＞2b-1；＞ － .能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是________．(答案不唯一，写出一个即可) 解析：使三个不等式同时成立的一个条件是a＞b＞0.当a＞b＞0时，①②显然成立，对于③，2－ －2＝2 －2b＝2 －，因为a＞b＞0，所以－＞0，所以2－ －2＞0，即 ＞ － . 答案：a＞b＞0(答案不唯一) 14 15 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 14．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则的取值范围为(　　) A．(1，＋∞) B．(1，3) C．(0，2) D．(0，3) 13 15 C 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 解析：C　由已知及三角形三边关系得所以则两式相加得0<<4，所以0<<2.故选C. 15 返回 ‹#› 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 15．设a，b∈R，定义运算“”和“⊕”如下：a b＝a⊕b＝若m  n≥2，p⊕q≤2，则(　　) A．mn≥4且p＋q≤4 B．m＋n≥4且pq≥4 C．mn≤4且p＋q≥4 D．m＋n≤4且pq≤4 15 14 A 返回 ‹#› 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 15 14 解析：A　结合定义及mn≥2可得或即n≥m≥2或m＞n≥2，所以mn≥4，m＋n≥4；结合定义及p⊕q≤2，可得或即q＜p≤2或p≤q≤2，所以pq≤4，p＋q≤4.故选A. 返回 ‹#› 第3节　等式性质与不等式性质 点击进入WORD文档 按ESC键退出全屏播放 返回 ‹#› $