培优增分4 导数与函数的零点(课时作业Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

**基本信息** 聚焦导数与函数零点，通过分离参数、分类讨论、导数分析单调性等方法，构建从概念到应用的逻辑链条，培养数学思维与解决问题能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |零点与参数范围|1|分离参数转化为图象交点|导数→单调性→最值→交点个数| |切线与零点证明|1|分类讨论单调性结合零点存在定理|导数几何意义→单调性分析→零点唯一性| |复杂函数零点|1|导数研究单调性与极值判断零点|导数→导函数符号→单调区间→零点存在| |极值与零点综合|1|极值分析与区间零点个数关系|极值求解→区间端点值→零点个数条件|

限时规范训练27　导数与函数的零点 (建议用时：45分钟　分值：60分) 1．(13分)已知函数f(x)＝ln x－ax2＋ax. 若函数g(x)＝f(x)－ax有两个零点，求实数a的取值范围． 解：g(x)＝f(x)－ax＝ln x－ax2(x>0)， 由g(x)＝0得a＝，则y＝a，y＝的图象有2个交点， 令h(x)＝(x>0)，h′(x)＝，当0<x< 时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 当x> 时，h′(x)<0，h(x)单调递减，所以 h(x)≤h＝， 且x>1时，h(x)>0，h(1)＝0， 所以当0<x<1时，h(x)<0，所以h(x)的大致图象如图所示， 所以若函数g(x)＝f(x)－ax有两个零点，则0<a<， 所以实数a的取值范围为. 2．(15分)(2025·安徽淮北二模)已知函数f(x)＝x2－2x＋a ln x. (1)若a＝1，求函数f(x)在x＝1处的切线方程； (2)求证：当a≥0时，f(x)有且仅有一个零点． 解：(1)若a＝1，则f(x)＝－2x＋ln x，f′(x)＝x－2＋， 所以f′(1)＝0，f(1)＝－，函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝－. (2)证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－2＋， 当a＝0时，f(x)＝－2x，f(x)有且仅有一个零点4； 当a≥1时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增，由f(1)<0，f(4)＝a ln 4>0，知f(x)存在唯一零点x0∈(1，4)； 当0<a<1时，令f′(x)＝0得x1＝1－ ，x2＝1＋ ，0<x1<1<x2， 当x∈(0，x1)时f′(x)>0，函数f(x)单调递增： 当x∈(x1，x2)时f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x∈(x2，＋∞)时f′(x)>0，函数f(x)单调递增； 当x∈(0，1]时，－2x<0，a ln x≤0，所以f(x)<0，函数f(x)无零点； 因为当x∈(1，x2)时，f(x)单调递减，当x∈(x2，＋∞)时，f(x)单调递增， 且f(x2)<f(1)<0，f(4)＝a ln 4>0，所以f(x)存在唯一零点x0∈(1，4)． 综上所述，当a≥0时，f(x)有且仅有一个零点． 3．(15分)已知函数f(x)＝ex＋a cos x的图象在x＝0处的切线方程为y＝x＋2. (1)求实数a的值； (2)探究f(x)在区间上的零点个数，并说明理由． 解：(1)因为函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝x＋2，所以切点为(0，2) 把点(0，2)代入f(x)＝ex＋a cos x，得e0＋a cos 0＝2，所以a＝1. (2)法一：第一步：研究f(x)在上的零点个数 由(1)可知，f(x)＝ex＋cos x，则f′(x)＝ex－sin x， 令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝ex－cos x， 当x∈时，g′(x)>0，则g(x)在区间上单调递增． 因为g＝－1<0，g(－π)＝e－π>0， 所以由函数零点存在定理可知，存在x0∈＝0， 所以当x∈时，f′(x)<0，则f(x)在区间上单调递减； 当x∈(x0，－π)时，f′(x)>0，则f(x)在区间(x0，－π)上单调递增． 因为f＝＋cos >0，f(－π)＝e－π－1<0， 所以f(x)在区间上有且仅有一个零点． 第二步：研究f(x)在[－π，＋∞]上的零点个数 当x∈[－π，0)时，f′(x)＝ex－sin x>0； 当x∈[0，＋∞)时，f′(x)＝ex－sin x>e0－1＝0. 所以f(x)在区间[－π，＋∞]上单调递增． 因为f(－π)＝e－π－1<0，f(0)＝e0＋1>0， 所以由函数零点存在定理可知，当x∈[－π，＋∞]时存在唯一零点x2∈[－π，0]，使得f(x2)＝0. 第三步：总结 综上，f(x)在区间上有两个零点． 法二：当x>－时，ex＋cos x＝0⇒ex＝－cos x，所以f(x)的零点个数即函数h(x)＝ex的图象与g(x)＝－cos x的图象的交点个数． 作出函数h(x)与函数g(x)的大致图象，如图， 所以h(x)的图象与g(x)的图象在上有两个交点， 所以f(x)在上有两个零点． 4．(17分)(2025·甘肃甘南模拟)已知函数f(x)＝ln (1＋x)－mx. (1)求函数f(x)的极值； (2)若函数f(x)在区间[0，e2－1]上恰有两个零点，求m的取值范围． 解：(1)f(x)＝ln (1＋x)－mx的定义域为(－1，＋∞)，则f′(x)＝－m(x>－1)， 当m≤0时，f′(x)＝－m>0恒成立， 此时f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极大值和极小值， 当m>0时，－1>－1， 由f′(x)＝－m>0得－1<x<－1，由f′(x)＝－m<0得x>－1， 此时f(x)在上单调递增，在上单调递减， 所以f(x)的极大值为f＝ln －m×＝m－1－ln m，无极小值． (2)由(1)可知，当m≤0时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在[0，e2－1]上单调递增，不可能有两个零点， 当m>0时，f(x)的极大值为f＝m－1－ln m， 因为f(0)＝0，所以x＝0是f(x)的一个零点， 若函数f(x)在区间[0，e2－1]上恰有两个零点，则即 可得≤m<1， 所以m的取值范围为{m≤m<1}． 学科网（北京）股份有限公司 $