培优增分3 导数与不等式(课时作业Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

**基本信息** 以构造函数为核心方法，系统整合导数应用与不等式证明，通过分类讨论与单调性分析构建逻辑链条，培养推理能力与创新意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数应用基础|1题|求导讨论单调性、最值法|导数性质→函数单调性→最值求解| |不等式证明综合|2题|构造辅助函数、求导分析|函数构造→导数判断单调性→不等式证明| |参数范围与充要条件|1题|分类讨论、奇函数性质|导数工具→参数分类→充要条件论证|

画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 限时规范训练26导数与不等式 (建议用时：45分钟分值：60分) 1.(13分)已知函数fx)=c(x十a)一1nx(a∈R) (I)讨论函数x)的单调性： (2)证明：当a>0时，x)≥3na十2. 解：0依题意得0，回=a-,当a≤0时，0； 当a0时，白f0得片，由0得0君 1 即当a≤0时，函数x是减函数；当a0时，函数x在0， 上上单调递诚， 在 /+∞上单调递星 (②)证明：由(1)知，当a0时，的最小值为a=1++na, 1+a2+na-(31na+2)=2-2lna-1,设g(x)=x2-2nx-1(x0),则g'(x =2x-2=2x-1x+1 X 当0<<1时，g'(x大0，当x>1时，g'(x)P>0, 所以函数gx)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 即gw)的最小值为g1)=12-21n1-1=0,即gw≥g(1)=0,所以g()≥0， 即网曲最小值为后 =1+2+1na≥3na+2, 所以x)≥31na+2. 2.(15分)已知函数=2ex+(a-2)e-2ax(a∈R) (I)当a=2时，求x)的单调区间： ②当a=0时，求证：对在意的x0,十，人十4e2+恒成立. 独家授权侵权必究 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b.ZxXk.c0m 您身边的互联网+教辅专家 解：()当a=2时，=7ex-4x,则f69=e-4. 令f(x)大0，得x<ln2;令fx)0,得x>ln2. 所以函数x的单调递减区间是(-∞，1n2),单调递增区间是(n2,+∞) 2)证明：当a=0时，)=2e-2e 要证网+4e2e中多，即江c+2g-2x-号0 令40-2e+28-2r-26e0. 则h(x=e2x+2e-4x. 令x)=ex+2e-4x(x>0),则m'(x)=2e2x+2e"-4=2(e-1)(e+2).当x>0 时，'(x)>0, 所以函数(x在(0，+o)上单调递增，则(x)>(0)=3>0,即h'(x>0, 可知函数(x)在(0，十∞)上单调递增， 则0-0=0,2+2e-2x-号0，即+4e2r+ 3.(15分)(2023·新课标Ⅱ卷T22节选)证明：当0<r<1时，x一x2<$inx 证明：构造F)=x-nx,x∈(0,1)，则F()=1-cosx>0对Hx∈(0,1)恒 成立， 则Fx在0,1上单调递增，可得Fx)>F0=0, 所以当x∈(0,1)时，>sinx, 构造G()=sinx-x-x2=x2-x+sinx,x∈0,1， 则G(w)=2x-1+cosx,x∈0,1， 令g(x)=G(x),x∈0,1，则g'(x)=2-sin>0对Vx∈(0,1恒成立， 则g(x)在0,1上单调递增， 独家授权侵权必究 。学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 可得g(x)>g0=0, 即G(x)>0对x∈0,1恒成立， 则G(x在0,1上单调递增， 可得G(x>G0=0, 所以当x∈(0,1)时，sinx>x-x2, 综上所述，当0<<1时，x-x2<simx<x. 4.(17分)（课标变化题）已知函数x)=sinx一ax cos x,a∈R. (1)当a=0,x≥0时，证明：x)≤x; (2)记p:0,使得对Hx∈(0，)，都有x)≤2x;4:>0,使得对x∈( t,),都有x)≤2xl (i)证明：p是q的充要条件： (ii)若q成立，求实数a的取值范围. 解：(I)证明：令F(x=w-x=sinx-x,x≥0，则F(x)=cosx-1≤0， 所以F(x)在[O,十∞)上单调递减，所以Fx)≤FO)=0,即x)≤x. (2)(i)证明：必要性：若q成立，即存在0，使得对任意x∈（一t,),都有 x≤2x,则对任意x∈(0，)，x≤2=2x,即卫p成立. 充分性：若卫成立，即存在0，使得对任意x∈(0，)，都有x)≤2x 当x∈(0，)时，有x)≤2x=2x；当x=0时，有x)=2x=0; 当x∈(-t,0)时，-x∈(0,0，由-x)=sin(-x)-a(-x)cos(-x)=- x), 知x是奇函数.所以=|一人-x)=-x≤2一x=2 于是对任意x∈(-t,),都有x)≤2x,即q成立.所以p是q的充要条件. (i)由(i)知，只需考虑p成立，即存在>0，使得对任意x∈(0，)，都有 ◆独家授权侵权必究 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 x)≤2x,等价于-2x≤x)≤2x 令g)=x)+2x,h(x)=x-2x,则需gx)≥0，h(x)≤0在x∈(0，)上恒成 立， 不妨取12，即g的≥0，h网≤0在x∈0， 上恒成立. a.由g(x)=sinx-ax cOS x+2x,得g'(x)=ax sin x+(1-d)cos x十2，x∈ 0,引，则 ①当a≤0时，gx)>0,符合题意； ②当0时，g)0,g)在0，引上单调递增，故g6g0=0符合题 1 意； ③当a≥2时，令p)=g'(w),则p'()=(2a-1))sin+acos0,p(w=gw 在0， 2上单调递增； 若g0-3-a≥0，即a≤3，则gg0≥0，g)在0，罗上单调递增， 同②符合题意； 吉80-3-0，即心3，由g020,知容在∈0，引，使得 g'(x)=0 当x∈(0，x)时，g)g(x)=0,g(x)在(0，x)上单调递减，故g水gO)= 0,不符合题意.于是≤3. b.由h(x)=sinx-ax coS x-2x,得h'(x)=ax sin x+(1-a)cosx-2,x∈ 0, 2 Ag(x)=h'(x),g'(x)=(2a-1)sin x+ax cos x, ·独家授权侵权必究· 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 ①当0<a≤3时，h(x)=snx-ax cos x-2x<x-ax cos x--2x=-x(1+acos x)<0,符合题意. ②当a≤0时，0，=在0，引上单洞递减， 若O)=-a-1≤0，即a≥-1，则hwhO≤0，h在0，号引上单调递 减，故h(x)<h(0)=0,符合题意； 若o=-a-10,即ak-1,白h32a-20,知存在0,2， 使得h'(x)=0,当x∈(0，x)时，h'(x)>h'(x)=0,h(x在(0，x)上单调递增，故 h(x)>h(0)=0,不符合题意.于是a≥-1. 综上，实数a的取值范围为[-1,3] 独家授权侵权必究