3.1 导数的概念及其意义、导数的运算(课时作业Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

**基本信息** 聚焦导数概念、运算及几何意义，通过定义辨析、切线方程等题型构建“概念-运算-应用”逻辑链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数定义与运算|4题|定义应用、导数计算、运算辨析|从导数定义推导运算公式，强化符号意识| |导数几何意义应用|10题|切线方程、公切线、切线平行问题|以切线斜率为核心，构建导数几何意义的应用模型|

限时规范训练21　导数的概念及其意义、导数的运算 (建议用时：45分钟　分值：72分) 1．已知函数f(x)＝2ex，则＝(　　) A．2e　　　　　　　 B．－3e C．－6e D．3e 解析：B　由题意得f′(x)＝2ex，则 ＝－ ＝－f′(1)＝－×2e＝－3e.故选B. 2．某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为y＝则该弹簧振子在t＝3 s时的瞬时速度是________mm/s(　　) A．0 B．6π C．12π D．18π 解析：A　由题可得位移y是关于时间t的函数，且满足y＝s(t)＝－18cos t，则y′＝s′(t)＝18×sin t＝12πsin t，则该弹簧振子在t＝3s时的瞬时速度是s′(3)＝12πsin 2π＝0.故选A. 3．(2025·四川成都一模)函数f(x)＝x＋sin x的图象在点(，f处的切线方程为(　　) A．x＋y－π－1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＝0 解析：C　因为f(x)＝x＋sin x，所以f′(x)＝1＋cos x．所以f′＝1＋cos ＝1，而f＝＋sin ＋1.所以切线方程为y－，即x－y＋1＝0.故选C. 4．(2025·福建莆田二模)曲线y＝xex－x在点P处切线的斜率为－1，则点P的坐标为(　　) A．(－1，－1) B． C．(1，e－1) D．(1，2e－1) 解析：B　y′＝(x＋1)ex－1，令(x＋1)ex－1＝－1，则(x＋1)ex＝0，故x＝－1，当x＝－1时，y＝－e-1－(－1)＝1－，即点P的坐标为.故选B. 5．(2025·江西景德镇模拟)已知函数f(x)＝a(x－a)2(x－2a)，若曲线y＝f(x)在点(2a，0)处的切线方程为y＝x＋m，则m的值为(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析：C　因为f(x)＝a(x－a)2(x－2a)＝ax3－4a2x2＋5a3x－2a4，所以f′(x)＝3ax2－8a2x＋5a3，所以由题意得f′(2a)＝12a3－16a3＋5a3＝a3＝1⇒a＝1，所以切点为(2，0)，所以0＝2＋m⇒m＝－2.故选C. 6．(2025·河北沧州模拟)若曲线y＝x3＋2x在点(1，3)处的切线也与曲线y＝x2＋x＋m相切，则m＝(　　) A．4 B．－2 C．－4 D．2 解析：D　由y＝x3＋2x，得y′＝3x2＋2，所以y′|x＝1＝3＋2＝5，则曲线y＝x3＋2x在点(1，3)处的切线方程为y－3＝5(x－1)，即y＝5x－2.联立整理得x2－4x＋m＋2＝0，因为切线与曲线y＝x2＋x＋m相切，所以Δ＝16－4(m＋2)＝0，解得m＝2.故选D. 7．过坐标原点作曲线y＝ex-2＋1的切线，则切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝2x C．y＝x D．y＝ex 解析：A　由函数y＝ex-2＋1，可得y′＝ex-2，设切点坐标为(t，et-2＋1)，可得切线方程为y－(et-2＋1)＝et-2(x－t)，把原点(0，0)代入方程，可得0－(et-2＋1)＝et-2(0－t)，即(t－1)et-2＝1，解得t＝2，所以切线方程为y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x.故选A. 8．(2025·陕西咸阳三模)若曲线y＝|x＋3|－2与曲线y＝ln (x＋2)＋a相切，则a的值是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：B　当x≥－3时，y＝x＋3－2＝x＋1；当x<－3时，y＝－(x＋3)－2＝－x－5.因为y＝ln (x＋2)＋a的定义域为{x|x>－2}，所以两曲线的切点在y＝x＋1(x≥－3)上. 对y＝ln (x＋2)＋a求导得y′＝. 所以＝1.解得x＝－1. 把x＝－1代入y＝x＋1得y＝－1＋1＝0，所以切点坐标为(－1，0). 把切点(－1，0)代入y＝ln (x＋2)＋a得0＝ln (－1＋2)＋a，即0＝ln 1＋a.所以a＝0.故选B. 9．(多选)下列求导运算不正确的是(　　) A．′＝cos B．′＝1－ C．′＝ D．(ln (3x＋1))′＝ 解析：ACD　对于A，sin ，故′＝0≠cos ，故A错误；对于B，′＝1－，故B正确；对于C，′＝，故C错误；对于D，(ln (3x＋1))′＝·(3x＋1)′＝，故D错误．故选ACD. 10．(多选)已知函数f(x)＝x2＋2ln x的图象在A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是(　　) A．x1＋x2＝2 B．x1＋x2＝ C．x1x2＝1 D．x1x2＝ 解析：BC　因为f(x)＝x2＋2ln x，所以f′(x)＝2x＋，x>0，又f(x)在A，B两点处的切线相互平行，所以f′(x1)＝2x1＋＝f′(x2)＝2x2＋，整理得(x1－x2)＝0，因为x1≠x2，所以x1x2＝1，C正确，D错误；又x1＋x2≥2 ＝2，且x1≠x2，所以x1＋x2>2，A错误，B正确．故选BC. 11．(5分)已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则＝________. 解析：由f(x)＝f′cos x＋sin x得f′(x)＝－f′sin x＋cos x，则f′＝－f′sin ＋cos ，f′＝－f′·，解得f′＝. 答案： 12．(5分)(2025·福建福州三模)曲线y＝ex－1与y＝ln x＋1的一条公切线的方程为________.(只需写出其中一条公切线的方程) 解析：法一：设f(x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1.公切线与f(x)相切于点(m，em－1)，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)，因为f′(x)＝ex，g′(x)＝，则公切线斜率k＝em＝，所以公切线方程为y－em＋1＝em(x－m)或y－ln n－1＝整理得y＝emx－(m－1)em－1或y＝x＋ln n，所以 即 所以(m－1)em＋1－m＝(m－1)(em－1)＝0，解得m＝1或m＝0，所以公切线方程为ex－y－1＝0或x－y＝0. 法二：由曲线y＝ex与直线y＝x＋1相切知，曲线y＝ex－1与直线y＝x相切．由曲线y＝ln x与直线y＝x－1相切知，曲线y＝ln x＋1与直线y＝x相切．所以直线y＝x为曲线y＝ex－1与y＝ln x＋1的一条公切线． 答案：ex－y－1＝0或x－y＝0(写出其中一条即可) 13．(2025·陕西西安模拟)已知二次函数y＝－x2＋(b－a)x＋1的图象与x轴交于A，B两点，图象在A，B两点处的切线相交于点P.若a>0，b>0且ab＝1，则△ABP的面积的最小值为(　　) A．1 B． C．2 D．4 解析：C　设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1与x2是方程－x2＋(b－a)x＋1＝0的两根，则x1＋x2＝b－a，x1x2＝－1，|AB|＝|x1－x2|＝ ＝a＋b，又y′＝－2x＋b－a，则函数y＝－x2＋(b－a)x＋1在点A(x1，0)处的切线方程为y＝(－2x1＋b－a)(x－x1)，同理，函数y＝－x2＋(b－a)x＋1在点B(x2，0)处的切线方程为y＝(－2x2＋b－a)(x－x2)，则 解得 即点P，则S△ABP＝＝(a＋b)3≥3＝2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．故选C. 14．(5分)(2025·辽宁沈阳模拟)若曲线y＝ln 2x在点P(x1，y1)处的切线与曲线y＝e2x相切于点Q(x2，y2)，则＋x2＝__________. 解析：曲线y＝ln 2x在点P(x1，y1)处的切线与曲线y＝e2x相切于点Q(x2，y2)，因为(ln 2x)′＝，(e2x)′＝2e2x，所以曲线y＝ln 2x在点P(x1，y1)处的切线斜率k1＝，曲线y＝e2x在点Q(x2，y2)处的切线斜率k2＝，所以曲线y＝ln 2x在点P(x1，y1)处的切线方程为y＝(x－x1)＋y1＝x＋ln 2x1－1，或y＝(x－x2)＋y2＝，所以 即所以2x1(2x2＋1)＝2x2－1，易知2x2＋1≠0，所以2x1＝，所以. 答案：－ 学科网（北京）股份有限公司 $