2.11 函数模型的应用(课时作业Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

**基本信息** 聚焦函数模型实际应用，通过生活与科技场景构建“概念理解-模型建立-问题解决”逻辑链，强化数学眼光与建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图像分析|2题|运动轨迹/电量变化图像识别|从几何直观到函数关系，培养数学观察能力| |指数模型|5题|溶解/资金增长/半衰期计算|基于指数函数定义，建立实际问题的量化模型| |对数模型|3题|声强级/学习率/利润计算|结合对数运算性质，解决多参数函数应用问题| |综合应用|4题|企业盈利/酒驾检测等方案设计|整合函数性质与优化思想，提升数学语言表达能力|

限时规范训练20　函数模型的应用 (建议用时：60分钟　分值：99分) 1．小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的(　　) 　　　图1　　　　　　　　　　　图2　 A．点M　　　　　　 B．点N C．点P D．点Q 解析：D　由题图知固定位置到A点距离大于到点C距离，所以舍去N，M点，排除A、B；若是P点，则从最高点到C点依次递减，与题图1矛盾，因此取Q.故选D. 2．(2025·北京石景山一模)经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则k＝(　　) A． B． C．ln 2 D．ln 3 解析：A　由题意，当t＝0时，S＝a＝7，当t＝5时，S＝7e-5k＝3.5，则e-5k＝，则－5k＝ln ＝－ln 2，即k＝.故选A． 3．(2025·广东深圳模拟)为了给地球减负，提高资源利用率，2025年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．某市2025年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是______.(参考数据：lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301)(　　) A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 解析：D　设2025年后第x年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元，则5000(1＋20%)x>12 800，即1.2x>2.56，则x·lg 1.2>lg 2.56＝lg ＝lg 256－2＝8lg 2－2，即x>≈5.16.所以x＝6，即2031年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元．故选D. 4．(2025·广东广州二模)声强级LI(单位：dB)由公式LI＝10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2)．轻柔音乐的声强一般在10-8～10-6 W/m2之间，则轻柔音乐的声强级范围是(　　) A．0～20 dB B．20～40 dB C．40～60 dB D．60～80 dB 解析：C　依题意可得10-8≤I≤10-6，所以104≤≤106，所以4≤lg ≤6，所以40≤10lg ≤60，即轻柔音乐的声强级范围是40～60 dB.故选C. 5．(多选)对某智能手机进行游戏续航能力测试(测试6小时结束)，得到了剩余电量y(单位：百分比)与测试时间t(单位：h)的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有(　　) A．测试结束时，该手机剩余电量为85% B．该手机在5 h时电量为0 C．该手机在0 h～3 h内电量下降的速度比3 h～5 h内下降的速度更快 D．该手机在5 h～6 h进行了充电操作 解析：ACD　对于A，充电结束时，由图象可知，电量是85%，故A正确；对于B，由图象可知，5 h时，剩余电量为30%，故B错误；对于C，由图象可知，0 h～3 h内电量下降的平均速度为≈16.7%/h，3 h～5 h内下降的平均速度为≈10 %/h，前者更快，故C正确；对于D，由于5 h～6 h期间电量上涨，可知进行了充电操作，故D正确．故选ACD. 6．(多选)(2025·甘肃定西模拟)声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质(如固体、液体、气体)中进行传播．在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I(W/cm2)．但在实际生活中，常用声音的声强级D(dB)来度量，声强级D(dB)与声强I(W/cm2)的关系近似满足D＝a lg I＋b，经过多次测定，得到如下数据： 声强I(W/cm2) 10-11 10-10 m 声强级D(dB) 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在(90，100)，其声强为I1；鞭炮的噪声的声强级一般在(100，110)，其声强为I2；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在(135，145)，其声强为I3，则(　　) A．b－a＝110 B．m＝10-8 C．<I2< D． 解析：ACD　由题意可得即解得所以b－a＝110，故A正确；因为D＝10lg I＋120，所以30＝10lg m＋120，解得m＝10-9，故B错误；由100<10lg I2＋120<110，得<I2<，故C正确；设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为D1，D2，D3，由题意知90<D1<100，100<D2<110，135<D3<145，所以D1＋D3>2D2，所以10lg I1＋120＋10lg I3＋120>2(10lg I2＋120)，所以lg I1＋lg I3>，所以，故D正确．故选ACD. 7．(5分)(2025·湖北武汉二模)为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y(单位：万块)满足模型y＝，其中N为饱和度，y0为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为10%，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约________万块．(结果四舍五入保留到整数，参考数据：e-0.5≈0.61，e-0.6≈0.55，e-0.7≈0.50) 解析：根据题意，所给模型中y0＝20，N＝1020，p＝10%＝0.1，x＝6，则2030年底该地区光伏太阳能板的保有量为y＝，因为e-0.6≈0.55，所以y＝≈36，所以2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约36万块． 答案：36 8．(5分)(2025·甘肃平凉模拟预测改编)我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年(即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半)，经过t年后，碳14的含量可表示为N＝N0kt(N0为碳14的初始含量，k为常数)，则碳14含量由原来的80%衰减为60%大约需要经过________年．(结果保留整数，参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1) 解析：依题意，当t＝5730时，N＝N0，即＝5730k，解得k＝，设经过t1年碳14含量衰减为原来的80%，经过t2年碳14含量衰减为原来的60%，则即所以t2－t1＝.8＝＝5730log2＝5730(log24－log23)＝5730≈5730×≈2456. 答案：2456 9．(5分)某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增．已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025年1月为第1个月，第n(n∈N*)个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元，则n的最小值是__________.(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) 解析：由题意可得20×(1＋20%)n-1≥40，则1.2n-1≥2，所以(n－1)lg 1.2≥lg 2，所以n－1≥＝≈3.810，所以n≥4.810.因为n∈N*，所以n的最小值为5. 答案：5 10．(13分)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P mg/L与时间t h间的关系为P＝P0e－kt(其中P0，k是大于0的常数)．已知在前5个小时消除了10%的污染物． (1)求k的值(精确到0.01)； (2)求污染物减少50%需要花费的时间(精确到0.1 h)？(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 5≈1.61) 解：(1)在P＝P0e－kt中，当t＝5时，P＝(1－10%)P0，则0.9P0＝P0e-5k， 解得k＝－ln 0.9， 所以k＝ln ＝0.02. (2)由(1)知，P＝P0e-0.02t，当P＝0.5P0时，0.5P0＝P0e-0.02t，即0.5＝e-0.02t， 则t＝50ln 2≈34.5. 所以污染物减少50%需要花费的时间约为34.5 h. 11．(13分)某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前x(x∈N*)年的维护成本为(800x2－400x)万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元． (1)写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利； (2)使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种． 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理．问哪种方案更合理？并说明理由． 解：(1)由题意可得y＝7600x－(800x2－400x)－7200＝－800(x2－10x＋9)(x∈N*)， 由y>0得1<x<9且x∈N*，所以该企业从第2年开始盈利． (2)方案二更合理，理由如下： 方案一：因为y＝－800(x2－10x＋9)＝－800(x－5)2＋12 800， 所以当x＝5时y取到最大值12 800， 若此时处理掉智能机器人，总利润为12 800＋2000＝14 800(万元)， 方案二：年平均盈利额＝－800＋8000≤－1600 ＋8000＝3200(万元)，当且仅当x＝3时，年平均盈利额最大， 若此时处理掉智能机器人，总利润为3200×3＋5200＝14 800(万元)， 综上，两种方案总利润都是14 800万元，但方案一需要五年，方案二仅需三年即可，故方案二更合理． 12．(多选)新的酒驾检验标准实施后，只要每100 mL血液中乙醇含量大于或等于20 mg，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于80 mg则认定为醉驾，属于犯罪行为．张师傅某次饮酒后，若其血液中的乙醇含量y(单位：mg/mL)与酒后代谢时间x(单位：h)的数量关系满足y＝.则张师傅此次饮酒后(　　) A．当代谢时间x＝0.5时，血液中的乙醇含量最低 B．血液中的乙醇含量开始是代谢时间x的增函数，然后是代谢时间x的减函数 C．若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为 D．若执意驾车，饮酒后0.5 h接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾 解析：BD　由题意可知：x>0，则y＝，由对勾函数可知：y＝x＋在(0，0.5)上单调递减，在(0.5，＋∞)上单调递增，则y＝在(0，0.5)上单调递增，在(0.5，＋∞)上单调递减，故B正确；当x＝0.5时，y＝取到最大值1，即当代谢时间x＝0.5时，血液中的乙醇含量最高为1 mg/mL，即每100 mL血液中乙醇含量为100 mg，故A错误；因为100>80，可知饮酒后0.5 h接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾，故C错误，D正确．故选BD. 13．(课标变化题)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下(不含0.05)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)(　　) A．11 B．22 C．227 D．481 解析：D　由于L＝，所以L＝，依题意0.45＝，解得D＝，则L＝，由L＝<0.05得<lg lg <－1，G·(lg 9－lg 10)<－22，G·(lg 10－lg 9)>22，G>，G>≈480.35，所以所需的训练迭代轮数至少为481轮．故选D. 14．(15分)根据某高科技公司多年的经营数据，发现该公司每年的利润y(单位：万元)与研发投入x(单位：万元)满足函数关系式y＝klog2，且当x＝200时，y＝350. (1)若该公司想要明年的利润为700万元，则明年的研发投入应该为多少万元？ (2)若该公司想要明年的利润相比今年增加175万元，则明年的研发投入相比今年应该怎样变化？ 解：(1)当x＝200时，y＝350，所以350＝klog2，解得k＝350， 所以y＝350log2， 令y＝700，可得700＝350log2，解得x＝400， 所以明年的研发投入应该为400万元． (2)设今年的研发投入为x1万元，利润为y1万元，明年的研发投入为x2万元，利润为y2万元， 所以y1＝350log2，y2＝350log2， 根据题意可得350log2－350log2＝y2－y1＝175， 所以log2＝，所以log2，所以 ，所以x2＝ x1. 所以明年的研发投入相比今年应该提高至今年的 倍． 学科网（北京）股份有限公司 $