2.10 函数的零点与方程的解(课时作业Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

**基本信息** 聚焦函数零点与方程解，以代数求解、性质分析、数形结合构建方法体系，知识逻辑从基础定义到综合应用递进，培养数学思维与直观想象。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础求解|1-4题|分区间解方程、零点存在定理|从零点定义出发，结合函数单调性判断零点个数与区间| |性质应用|5-8题|数形结合、奇偶性周期性|利用函数图象与性质（对称、周期）分析交点问题，深化性质应用| |综合交汇|9-14题|参数范围讨论、多函数交点|综合函数性质与方程思想，解决含参、复合函数零点问题，提升数学语言表达能力|

限时规范训练19　函数的零点与方程的解 (建议用时：45分钟　分值：72分) 1．函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：C　当x≤1时，令f(x)＝0，即－x2－3x－2＝0，解得x＝－1或－2；当x>1时，令f(x)＝0，即2x-2－4＝0，解得x＝4.综上可知，函数f(x)有3个零点．故选C. 2．函数f(x)＝ln x＋2x－5的零点为x0，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：C　因为函数f(x)＝ln x＋2x－5在(0，＋∞)上单调递增提示：由于函数y＝ln x与函数y＝2x－5在定义域内均为增函数，根据增函数＋增函数＝增函数，知f(x)为增函数，且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3＋1>0，即x0∈(2，3)，所以k＝2.故选C. 3．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(0，2) C．(－1，0) D．(1，2) 解析：A　作出函数图象，其中当x≤0时，f(x)＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，其顶点为(－1，1)．由y＝f(x)与直线y＝m有3个交点，知m的取值范围是(0，1)．故选A． 4．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，3) B．(1，3) C．(1，2) D．[2，＋∞) 解析：A　因为函数y＝2x，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上单调递增，由函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内得f(1)＝－a<0，f(2)＝3－a>0，解得0<a<3.故选A． 5．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有3个零点，则实数k的取值范围是(　　) A．(－2，0) B．(1，3) C．(0，3) D．(－2，3) 解析：C　由题意可知，g(x)＝f(x)－k＝0有3个实数根，即y＝f(x)和y＝k有3个交点，画出函数y＝f(x)的图象，若y＝k与y＝f(x)有3个交点，则0<k<3.故选C. 6．设f(x)＝ex＋ln x，满足f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c)．设函数f(x)的零点为x0，则(　　) A．x0<a B．x0>a C．x0<c D．x0>c 解析：B　因为f(x)＝ex＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，且0<a<b<c，所以f(a)<f(b)<f(c)．因为f(a)f(b)f(c)<0，所以f(a)<0，f(b)>0，f(c)>0或f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0关键：根据函数的单调性及同号相乘得正，异号相乘得负判断出函数值的符号.若f(a)<0，f(b)>0，f(c)>0，由零点存在定理可知x0∈(a，b)；若f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0，由函数零点存在定理可知x0∈(c，＋∞)．综上所述，x0>a.故选B. 7．已知a，b，c分别是函数f(x)＝ex－，g(x)＝ln x－，h(x)＝x2－的零点，则(　　) A．c<a<b B．a<c<b C．c<b<a D．a<b<c 解析：B　令f(x)＝ex－＝0，g(x)＝ln x－＝0，h(x)＝x2－＝0，得ex＝，ln x＝y＝，y＝ln x的图象，如图所示， 由图象知：a<1<b，即a<c<b.故选B. 8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4.则x1＋x2＋x3＋x4等于(　　) A．－12 B．－6 C．－8 D．4 解析：C　已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，因为f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，所以f(x)是周期为8的周期函数；又因为f(x)是R上奇函数，所以由f(x－4)＝－f(x)，得f(4－x)＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称；再结合f(x)在区间[0，2]上是增函数和以上信息，作出函数图象． 根据图象，可得x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.故选C. 9．(多选)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　) A．y＝x(2x＋2－x) B．y＝log2x2 C．y＝lg (1－x)＋lg (1＋x) D．y＝ 解析：BC　对于A，由y＝f(x)＝x(2x＋2－x)，得f(1)＝≠－＝f(－1)，故y＝x(2x＋2－x)不是偶函数，故A错误；对于B，由x2>0，解得x≠0，所以y＝g(x)＝log2x2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又g(－x)＝log2(－x)2＝log2x2＝g(x)，所以y＝log2x2是偶函数，而g(1)＝log21＝0，所以y＝log2x2是偶函数又存在零点，故B正确；对于C，由解得－1<x<1，所以函数y＝h(x)＝lg (1－x)＋lg (1＋x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称，又h(－x)＝lg (1＋x)＋lg (1－x)＝h(x)，所以y＝lg (1－x)＋lg (1＋x)是偶函数，而lg (1－0)＋lg (1＋0)＝0，所以y＝lg (1－x)＋lg (1＋x)存在零点x＝0，所以y＝lg (1－x)＋lg (1＋x)是偶函数又存在零点，故C正确；对于D，由x－1≠0，解得x≠1，所以y＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，因为定义域不关于原点对称，所以y＝不是偶函数，故D错误．故选BC. 10．(多选)已知函数f(x)＝2x－x2，其零点所在的区间为(　　) A．(－1，0) B．(1，3) C．(3，5) D．(5，6) 解析：ABC　f(x)＝2x－x2，因为f(－1)＝－，f(0)＝1，所以区间(－1，0)内存在零点；因为f(1)＝1，f(3)＝－1，所以区间(1，3)内存在零点；因为f(3)＝－1，f(5)＝7，所以区间(3，5)内存在零点；作出y＝x2与y＝2x的图象，结合y＝x2与y＝2x的图象的交点情况可知区间(5，6)内没有零点．故选ABC. 11．(5分)若函数f(x)＝2x－＋a在区间(1，2)上存在零点，则实数a的取值范围为________. 解析：因为y＝2x，y＝－在(1，2)上均为增函数，所以函数f(x)＝2x－＋a在区间(1，2)上为增函数，且函数图象连续不间断，若f(x)在区间(1，2)上存在零点，则 解得－<a<－1.故实数a的取值范围为. 答案： 12．(5分)(2025·北京海淀三模)已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x－2)，且f(x)＝方程2f(x)＝x的实数解的个数为______. 解析：由函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x－2)，则f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，可得f(x)的图象如图， 方程2f(x)＝x的解，即为f(x)与g(x)＝x的交点横坐标，计算可得：f(0)＝2>g(0)＝0，f(1)＝0<g(1)＝，所以在[0，1]内有一个交点，f(2)＝g(2)＝1，f(4)＝g(4)＝2，且当x>4时，g(x)＝x>2，无交点．由图可知两图象交点个数为4，即方程2f(x)＝x的实数解的个数为4. 答案：4 13．(2025·四川宜宾三模)设函数f(x)＝(x－x1)(x－x2)(x－x3)，其中x1<x2<x3，若f(1＋x)f(3－x)≤0，则xi＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：C　已知x1，x2，x3是f(x)的零点，在f(1＋x)f(3－x)≤0中令x＝1得f2(2)≤0，即f(2)＝0，所以x1，x2，x3中有一个为2，设另两个为a，b(a<b)，则f(x)＝(x－2)(x－a)(x－b)，所以f(1＋x)f(3－x)＝－(x－1)2(x＋1－a)(x＋1－b)(3－x－a)(3－x－b)＝－(x－1)2(x＋1－a)(x＋1－b)(x＋a－3)(x＋b－3)，由f(1＋x)f(3－x)≤0得(x＋1－a)(x＋1－b)(x＋a－3)(x＋b－3)≥0恒成立，1－a>1－b，1－a≠a－3，所以1－a＝b－3且1－b＝a－3，所以a＋b＝4，所以x1＋x2＋x3＝a＋b＋2＝6.故选C. 14．若函数y＝f(x)满足对∀x∈R都有f(x)＋f(2－x)＝2，且y＝f(x)－1为R上的奇函数，当x∈(－1，1)时，f(x)＝2x－＋sin x＋1，则集合A＝{x|f(x)＝log3x}中的元素个数为(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 解析：C　由y＝f(x)－1为R上的奇函数，得f(－x)－1＝－[f(x)－1]，即f(x)＋f(－x)＝2，又f(x)＋f(2－x)＝2，则f(2－x)＝f(－x)，即f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的函数．又f(x)＋f(2－x)＝2，将x＝1代入得f(1)＋f(1)＝2，即f(1)＝1.当x∈(－1，1)时，f(x)＝2x－＋sin x＋1，则f(0)＝1，所以当x∈Z时，f(x)＝1.又当x∈(－1，1)时，f(x)＝2x－＋sin x＋1单调递增，且－1<f(x)<3.故可作出函数y＝f(x)，y＝log3x的大致图象如图所示． 而集合A中的元素个数为函数y＝f(x)与y＝log3x图象交点的个数，由以上分析结合函数y＝log3x的性质可知，3为集合A中的一个元素，且y＝f(x)与y＝log3x在(1，3)，(3，5)，…，(23，25)中的图象各有一个交点，所以集合A＝{x|f(x)＝log3x}中的元素个数为13.故选C. [易错警示]：利用函数图象求零点(或交点)个数时，需要在作出图象简图的同时注意以下要点：一是函数图象增长趋势，最简单的就是函数的单调性；二是注意特值，尤其是零点和最值．把握以上两个要点，便可准确作图求出零点(或交点)个数． 学科网（北京）股份有限公司 $