2.8 对数函数(课时作业Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

**基本信息** 以单调性、复合函数、参数讨论为核心，通过换元法、分类讨论等方法构建对数函数解题体系，逻辑链从概念性质到综合应用，突出数学思维与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单调性应用|3（1,2,7）|单调性质判断最值、区间；复合函数内外层单调性分析|从对数函数单调性基础到绝对值、二次函数复合拓展| |比较大小|3（4,11,12）|换底公式转化；作差/平方比较；单调性比较|对数运算性质→不同底数对数大小比较→综合指数关系| |参数与分类讨论|2（3,10）|底数a分类讨论；零点问题转化为方程有解|指数与对数函数关系→含参不等式→参数范围确定| |综合应用|2（9,13）|换元法简化函数；恒成立问题转化为最值|奇函数性质→对数与二次函数结合→存在性与恒成立综合|

限时规范训练17　对数函数 (建议用时：60分钟　分值：96分) 1．若函数f(x)＝4＋log2x在区间[1，a]上的最大值为6，则a＝(　　) A．2　　　　　　　 B．4 C．6 D．8 解析：B　因为函数f(x)＝4＋log2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，又函数f(x)在区间[1，a]上的最大值为6，所以f(a)＝4＋log2a＝6，即log2a＝2，所以a＝22＝4.故选B. 2．函数y＝|lg (x＋1)|的单调递增区间是(　　) A．(－1，0] B．[1，＋∞) C．(－1，＋∞) D．[0，＋∞) 解析：D　y＝|lg (x＋1)|＝的图象如图， 显然y＝|lg (x＋1)|的单调递增区间为[0，＋∞)．故选D. 3．已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(3)·g(3)<0，则f(x)与g(x)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 解析：C　因为f(3)·g(3)<0，所以可排除B、D，当0<a<1时，f(x)与g(x)同为减函数，当a>1时，f(x)与g(x)同为增函数，排除A．故选C. 4．已知a＝log23，b＝log46，c＝log49，则(　　) A．a＝b<c B．a<b<c C．a＝c>b D．a>c>b 解析：C　因为a＝log23＝ ＝log49＝c，又因为y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，所以log46<log49，所以a＝c>b.故选C. 5．(多选)(2025·安徽合肥三模)已知m>0且m≠1，则函数f(x)＝＋3的图象一定经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：AB　由f(x)＝＋3＝2logm＋3，m>0且m≠1，得f(0)＝2logm＋3＝－2＋3＝1，即函数f(x)过点(0，1)，当m>1时，函数f(x)单调递增，过第一、二、三象限；当0<m<1时，函数f(x)单调递减，过第一、二、四象限，故f(x)的图象一定经过第一、二象限．故选AB. 6．(多选)已知函数f(x)＝ln ，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的定义域为(－1，1) B．f(x)为奇函数 C．f(x)在定义域上是增函数 D．f(x)的值域为(0，＋∞) 解析：AB　对于A，由>0，解得－1<x<1，即f(x)的定义域为(－1，1)，故A正确；对于B，f(x)的定义域关于原点对称，f(－x)＝ln ＝－ln ＝－f(x)，即f(x)为奇函数，故B正确；对于C，f(x)＝＝ln ＝ln ，在(－1，1)上，y＝－1＋单调递减，根据复合函数的单调性可知，f(x)在定义域上是减函数，故C错误；对于D，因为f(x)的定义域为(－1，1)，所以－1＋∈(0，＋∞)，所以ln ∈(－∞，＋∞)，故D错误．故选AB. 7．(5分)若log0.5(m－2)>log0.5(4－m)，则m的取值范围是________. 解析：若log0.5(m－2)>log0.5(4－m)，则解得2<m<3，则m的取值范围是(2，3)． 答案：(2，3) 8．(5分)函数f(x)＝ln x＋ln (4－x)的单调递增区间为______. 解析：令4－x>0且x>0，解得0<x<4，可知函数的定义域为(0，4)，因为f(x)＝ln x＋ln (4－x)＝ln (－x2＋4x)，且u＝－x2＋4x在(0，2]内单调递增，在(2，4)内单调递减，y＝ln u在定义域内单调递增，根据复合函数单调性知，函数在(0，2]内单调递增，在(2，4)内单调递减，所以函数的单调递增区间为(0，2]. 答案：(0，2] 9．(13分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若g(x)＝f(x)·f，x∈[1，8]，求函数g(x)的值域． 解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0. 因为x>0时，f(x)＝log2x， 所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)， 所以f(x)＝ (2)由题意得g(x)＝(log2x)·＝(log2x)·(log2x－2)＝(log2x)2－2log2x，x∈[1，8]， 令log2x＝t，t∈[0，3]，问题等价于求h(t)＝t2－2t，t∈[0，3]的值域， 因为函数h(t)＝t2－2t图象开口向上，对称轴为直线t＝1， 所以h(t)在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增， 因为h(1)＝1－2＝－1，h(0)＝0，h(3)＝9－6＝3， 所以h(t)min＝－1，h(t)max＝3， 所以函数g(x)的值域为[－1，3]. 10．(15分)(2025·天津南开二模)设a>0且a≠1，函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(2x＋t)(t∈R)． (1)当t＝1时，求不等式2f(x)≤g(x)的解集； (2)若函数h(x)＝af(x)＋tx2＋2t＋2在区间(1，3]上有零点，求t的取值范围． 解：(1)当t＝1时，不等式2f(x)≤g(x)可化为2loga(x－1)≤loga(2x＋1)， 若0<a<1易错点：底数范围不同决定了函数单调性不同，所以一定要对底数进行讨论.则解得x≥4， 若a>1，则解得1<x≤4， 综上所述，当0<a<1时，不等式2f(x)≤g(x)的解集为[4，＋∞)； 当a>1时，不等式2f(x)≤g(x)的解集为(1，4]. (2)由题意可知h(x)＝aloga(x－1)＋tx2＋2t＋2＝tx2＋x＋2t＋1， 令tx2＋x＋2t＋1＝0，即t(x2＋2)＝－(x＋1)， 因为x∈(1，3]，所以x＋1∈(2，4]， 所以t≠0，所以将函数零点问题转化为方程有解问题，设m＝x＋1∈(2，4]， 则＝－＋2， 因为函数y＝－＋2在(2，4]上单调递减， 所以－<－，所以－<t≤－. 故t的取值范围是. 11．若a＝ln ，b＝ ，c＝ln ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c<a<b B．a<b<c C．c<b<a D．b<a<c 解析：D　a2＝2＝2＝>＝b2，又a>0，b>0，则a>b，因为6<3e，则ln <ln ，故a<c，综上所述，b<a<c.故选D. 12．(多选)已知a＝log210，b＝log3，则(　　) A．ab<0 B．4a·9b＝1 C．>1 D．log56＝ 解析：ABD　因为a＝log210>log21＝0，b＝log3<log31＝0，所以ab<0，故A正确；因为4a·9b＝ ＝2＝1，故B正确；因为＝lg 2－(－lg 3)＝lg 6<lg 10＝1，故C错误；因为＝log56，故D正确．故选ABD. 13．(15分)已知函数f(x)＝log2(x2－ax＋1)． (1)若f(x)为偶函数，求a的值； (2)若f(x)在(2，4)上单调递增，求a的取值范围； (3)设g(x)＝4x－2x+1，若对于任意x1∈(0，1)，存在x2∈[－1，1]，使得不等式f(x1)≥g(x2)成立，求a的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即log2(x2＋ax＋1)＝log2(x2－ax＋1)． 又因为函数y＝log2x是增函数， 所以x2＋ax＋1＝x2－ax＋1，即得2ax＝0对于函数f(x)定义域内任意的x都成立， 所以a＝0. (2)令t＝x2－ax＋1，则y＝log2t. 因为函数y＝log2t在(0，＋∞)上单调递增，f(x)在(2，4)上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得：函数t＝x2－ax＋1在(2，4)上单调递增， 且t≥0在(2，4)上恒成立，所以解得a≤. 故a的取值范围为. (3)因为对于任意x1∈(0，1)，存在x2∈[－1，1]，使得不等式f(x1)≥g(x2)成立，所以f(x)≥g(x)min. 令u＝2x，x∈[－1，1]，因为g(x)＝4x－2x+1＝(2x)2－2×2x, 所以y＝u2－2u，u∈. 又因为二次函数y＝u2－2u的图象开口向上，对称轴为直线u＝1， 所以当u＝1时，函数y＝u2－2u有最小值－1，故当x∈[－1，1]时，g(x)min＝－1. 所以f(x)≥－1对于任意x∈(0，1)恒成立，即x2－ax＋1≥对于任意x∈(0，1)恒成立， 故a≤x＋对于任意x∈(0，1)恒成立． 由基本不等式可得：x＋ ，当且仅当x＝时等号成立， 所以a≤ ，故a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $