2.7 指数函数(课时作业Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

**基本信息** 聚焦指数函数核心素养，通过典例系统提炼定义应用、单调性分析、复合函数等解题方法，构建“概念-性质-应用”逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|3题|定点求法（令指数为0）、图象识别（直线x=1交图象比较底数）|从指数函数定义出发，推导定点坐标，关联底数与图象关系| |性质应用|6题|单调性比较（利用单调性比大小）、复合函数“同增异减”、换元法（t=2^x转化二次函数）|以单调性为核心，延伸至复合函数、值域问题，体现性质的迁移应用| |综合应用|5题|奇偶性判断（定义法）、不等式求解（转化指数不等式）、数形结合（图象交点分析）|整合函数性质与方程不等式，培养推理能力与数学语言表达|

限时规范训练16　指数函数 (建议用时：60分钟　分值：100分) 1．(2025·北京海淀一模)函数f(x)＝a2x-1＋1(a>0)的图象一定经过点(　　) A．　　　　　　 B． C．(0，2) D．(0，1) 解析：A　令2x－1＝0，则x＝，则f＝1＋1＝2，所以函数f(x)＝a2x-1＋1(a>0)的图象一定过点.故选A． 2．(2025·辽宁大连二模)已知a＝20.3，b＝0.20.3，c＝0.20.6，则(　　) A．b>a>c B．a>c>b C．b>c>a D．a>b>c 解析：D　对于a，b，因为y＝20.3>20＝1.0.20.3<0.20＝1，所以20.3>0.20.3，对于b，c，由于y＝0.2x在R上单调递减，故0.20.3>0.20.6，所以a>b>c.故选D. 3．设指数函数C1：y＝ax，C2：y＝bx，C3：y＝cx的图象如图所示，则(　　) A．0<c<1<b<a B．0<a<1<b<c C．c<b<a D．0<c<1<a<b 解析：A　如图，做直线x＝1，与三个指数函数图象的交点坐标分别为(1，a)，(1，b)，(1，c)，由图可知：0<c<1<b<a.故选A． 4．已知函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．[4，＋∞) B．(4，＋∞) C．(－∞，4] D．(－∞，4) 解析：C　因为函数g(x)＝x为R上的减函数提示：指数函数g(x)＝ax(a>0且a≠1)，当0<a<1时，指数函数g(x)单调递减，当a>1时，指数函数g(x)单调递增，根据复合函数的单调性可知，要使函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上单调递减，则函数h(x)＝2x2－ax在区间(1，＋∞)上单调递增．根据二次函数的性质可知，函数h(x)＝2x2－ax＝22－在 上单调递增，所以≤1提示：对于二次函数，当函数的图象开口向上时，函数在对称轴的右侧单调递增，即a≤4.故选C. [易错警示]对于形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性的判断，常用复合函数法．复合函数的单调性：当a>1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． 5．(多选)已知非零实数a，b满足等式a＝b，则下列结论不可能成立的是(　　) A．0<b<a B．a<b<0 C．0<a<b D．b<a<0 解析：CD　法一：在同一直角坐标系中作出函数y＝x与y＝x的图象如图所示，设a＝b＝M，当M>1时，结合图象可得，a<b<0；当M＝1时，结合图象可得，a＝b＝0；当0<M<1时，结合图象可得，a>b>0.综上，故选CD. 法二：等式a＝b两边同时取对数，得a ln ＝b ln ，即a ln 2＝b ln 3，b≠0时，得.故选CD. 6．(多选)已知函数f(x)＝ ，则(　　) A．函数f(x)的图象恒过定点(0，9) B．当a＝2时，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 C．当a＝5时，函数f(x)的单调递减区间为 D．若函数f(x)的值域为[1，＋∞)，则实数a的取值范围为(－∞，－4]∪[4，＋∞) 解析：ABD　对于A，由f(0)＝9，可得函数f(x)的图象恒过定点(0，9)，故A正确；对于B，当a＝2时，f(x)＝ ，定义域为R，又f(2－x)＝ ＝ ＝f(x)，可得f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B正确；对于C，当a＝5时，f(x)＝3 ，令x2－5x＋4≥0，解得x≥4或x≤1，因为y＝3u是R上的增函数，u＝ 在(－∞，1]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1]，故C错误；对于D，由f(x)的值域为[1，＋∞)，可得y＝ 的值域为[0，＋∞)，则Δ＝a2－16≥0，解得a≤－4或a≥4，故D正确．故选ABD. 7．(5分)的解集为________. 解析：由得：x2－4x<－3，解得1<x<3，即的解集为(1，3)． 答案：(1，3) 8．(5分)函数f(x)＝的值域为________. 解析：由于x2＋2x＋＝(x＋1)2－，且函数y＝t在R上单调递减，故＝45，故函数f(x)＝的值域为(0，45]. 答案：(0，45] 9．(5分)定义min{a，b}＝设f(x)＝min{2x，－x2＋3x＋1}，则f(x)的最大值为________. 解析：设m(x)＝2x，n(x)＝－x2＋3x＋1，作出函数m(x)，n(x)的图象，由图象可得，当x＝0或x＝2时，m(x)＝n(x)，当x<0时，m(x)>n(x)，当0<x<2时，m(x)<n(x)，当x>2时，m(x)>n(x)，所以f(x)＝ 画出f(x)图象，由图象可知f(x)max＝4. 答案：4 10．(13分)已知函数f(x)＝4x－a·2x－1. (1)当a＝1时，求f(x)在区间[－1，2]上的值域； (2)当a＝3时，解不等式f(x)＋3>0. 解：(1)当a＝1时，f(x)＝4x－2x－1＝(2x)2－2x－1，令t＝2x，因为x∈[－1，2]，所以t∈，令g(t)＝t2－t－1＝2－，则函数g(t)在t∈上单调递增，所以当t＝时，g(t)有最小值g＝－，当t＝4时，g(t)有最大值g(4)＝11，所以函数g(t)在区间上的值域为. 故a＝1时，f(x)在区间[－1，2]上的值域为. (2)当a＝3时，f(x)＝4x－3·2x－1. 由f(x)＋3>0，得4x－3·2x＋2>0，即(2x－1)(2x－2)>0， 解得2x>2或2x<1， 所以x>1或x<0， 所以不等式f(x)>0的解集为{x|x>1或x<0}． 11．(15分)已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝81，g(x)＝. (1)求g(x)的解析式； (2)判断g(x)的奇偶性； (3)求函数g(x)的值域． 解：(1)由f(x)＝3x，f(a＋2)＝81，可得3a+2＝81⇒a＝2， 所以g(x)＝. (2)g(x)的定义域为R，关于原点对称， g(－x)＝＝－g(x)，故g(x)是奇函数． (3)g(x)＝， 因为2x>0，所以2x＋1>1，所以0<<1，即0<<2，所以－1<－1<1，故函数g(x)的值域为(－1，1)． 12．已知函数f(x)＝则f(x)图象上关于原点对称的点有(　　) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 解析：C　作出f(x)的图象，再作出函数y＝x，x≥0，关于原点对称的图象如图所示． 因为函数y＝x，x≥0关于原点对称的图象与y＝－|x2＋2x|，x<0的图象有三个交点，故f(x)图象上关于原点对称的点有3对．故选C. 13．(5分)设a>0，平行于x轴的直线l：y＝a分别与函数y＝2x和y＝2x+1的图象交于点A，B，若函数y＝2x的图象上存在点C，满足△ABC为等边三角形，则a＝________. 解析：如图所示，由2x＝a，得x＝log2a，即点A(log2a，a)，由2x+1＝a，得x＝log2a－1，即点B(log2a－1，a)敲黑板：根据指数式与对数式的互化求出点A，B的坐标，所以|AB|＝1，取AB的中点D，连接CD，由△ABC为等边三角形，得CD⊥AB，|CD|＝. 易知点C不可能在直线l的上方，因此点又点C在函数y＝2x的图象上，所以a－， 即a－提示：log2a－＝＝log2，解得a＝ ＋，所以满足题意的a的值为 ＋. 答案： ＋ 14．(15分)已知指数函数y＝f(x)，且f(－2)＝，定义在R上的函数g(x)＝是奇函数． (1)求f(x)和g(x)的解析式； (2)若对任意的t∈R，不等式g(t2＋1)＋g(2t2＋2kt)<0恒成立，求实数k的取值范围． 解：(1)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，f(－2)＝a-2＝， 可得a＝3，f(x)＝3x，即g(x)＝是定义在R上的奇函数，因此 即n＝1，(3－m)(3x－1)＝0对x∈R恒成立，解得所以g(x)＝. (2)易知g(x)＝， 因此可得g(x)为定义在R上的减函数； 因为g(t2＋1)＋g(2t2＋2kt)<0恒成立， 所以g(t2＋1)<－g(2t2＋2kt)＝g(－2t2－2kt)恒成立， 即t2＋1>－2t2－2kt恒成立，因此3t2＋2kt＋1>0恒成立， 可得Δ＝4k2－12<0，解得k∈，. 学科网（北京）股份有限公司 $