专题05 圆15大题型（期中专项训练）高二数学上学期北师大版选择性必修第一册

专题05 圆 基础·固本强基 题型 1 圆的方程识别 题型 2 求圆的标准方程（待定系数法） 题型 3 点与圆的位置关系判断 题型 4 直线与圆位置关系基础判定 题型 5 圆的对称问题 提升·进阶突破 题型 6 直线截圆弦长计算（几何法为主） 题型 7 过点求圆的切线方程 题型 8 两圆的位置关系（公切线、圆心距） 题型 9 两圆公共弦方程与公共弦长 题型 10 阿波罗尼斯圆 题型 11 圆上点到直线距离的点的个数问题 拔高·压轴破难 题型 12 圆上动点距离、线性式最值 题型 13 切线长与切点弦（极线）问题 题型 14 动直线恒过定点 题型 15 圆中的面积最值问题 2 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 圆的方程识别 【模型】 一般方程：，表示圆条件：； 配方转化标准式，得到圆心(a,b)、半径r。 【步骤】 ①判断确认是圆； ②配方法化为标准方程，读出圆心、半径。 1．（期中，安徽）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般式整理为标准式，写出圆的圆心以及半径，根据题意，建立不等式组，可得答案. 【详解】由，化简可得， 因为圆心在第二象限，则，所以， 解得，所以实数a的取值范围为. 故选：D. 2．（期中，河南）若方程表示圆，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二元二次方程表示圆的条件求解即可. 【详解】由题意，得， 解得. 故选：D. 3．（期中，河南）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 【答案】ACD 【分析】化一般方程为标准方程，再结合选项逐个判断即可. 【详解】对于A：由得：，显然该方程表示圆心为， 半径为的圆，所以A正确； 对于B：将点代入圆的方程得：，显然该圆不过坐标原点，所以B错误； 对于C：因为圆心始终在直线上，所以C正确； 对于D：由得：， 所以，解得或， 所以该方程表示的圆恒过两点， 因为这两点到原点的距离都为1， 所以圆上总存在两点到原点的距离为1，所以D正确. 故选：ACD. 题型 2 求圆的标准方程（待定系数法） 【模型】已知条件：过三点；已知圆心 + 圆上一点；圆心在某直线上；与坐标轴相切。 【步骤】 ①设标准式； ②根据条件列方程组，求解a,b,r； ③写出圆方程。 1．（期中，安徽）已知圆与轴相切，且经过两点，，则圆的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】求出的垂直平分线方程为，设，则，再根据半径，列方程求出，进而得到圆的方程. 【详解】，，中点坐标为，， 所以的垂直平分线方程为， 设圆心为，则半径为，故， 所以，即， 解得或， 所以方程为或． 故选：BC． 2．（期中，福建）已知圆C的圆心在直线上，且与x轴相切于点，则圆C的标准方程是_____. 【答案】/ 【分析】设圆心坐标为，半径为，依题意求出，从而求出圆的标准方程. 【详解】设圆心，半径为， 由题意，，则， 则圆的标准方程为：， 故答案为：. 3．（期中，河南）已知点，，. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）根据两点间距离公式求底边，再代入点到直线的距离公式求高，即可求解； （2）将三点坐标代入圆的一般方程，即可求解. 【详解】（1）直线的方程为，即， 点到直线的距离，         ，             所以的面积. （2）设外接圆的方程为，         由题意得             解得                 故的外接圆的方程为. 4．（期中，安徽）已知,圆经过三点. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设出圆的一般方程，再将点代入求解即可； （2）设直线的方程时要注意考虑斜率存在与斜率不存在两种情况，再根据圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】（1）依题意可设圆的方程为，由圆经过三点知， ，解得； 所以圆的方程为，其标准方程为. （2）若过点的直线的斜率不存在，其方程为， 经检验恰与圆相切，满足题意. 若过点的直线的斜率存在，且设为，其方程为， 即，由直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于2， 得，即，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 5．（期中，福建）已知点，，直线过点，且为直线的方向向量；圆过点，且直线与圆相切于点. (1)求直线的一般式方程； (2)求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线的方向向量可求斜率，再结合所过点求点斜式方程，化成一般式即可； （2）设圆心，半径为R，由直线与圆相切于点可得，以及圆过点，列方程组求解即可. 【详解】（1）∵为直线的方向向量，∴直线的斜率， 又过点，∴直线的方程为：， 化简得直线的一般式方程为：. （2）设圆的圆心，半径为， ∵圆过点，且直线与圆相切于点， ∴，且， ∴， ∴，解得：，∴， 因此圆的标准方程为：. 6．（期中，福建）已知圆经过和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若直线l过点，与圆交于M，N两点，，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的方程，列方程组求解即可； （2）由可得出弦长为2，由弦长公式求直线即可，注意讨论斜率是否存在. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆C经过和，且圆心在直线上， 所以， 解得： ， 所以圆C的方程为：． （2），且=弦长， ①当l斜率不存在时，l的方程为， 易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意． ②当l斜率存在时，设l的方程为，即， 又直线l被圆C所截得的弦长为2，所以，则． 所以，解得， 所以直线l的方程为，即． 综上，l的方程为或．    7．（期中，河南）已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点. (1)求圆的方程； (2)过原点的直线交圆于A，B两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意求出圆心坐标和半径，得解； （2）利用弦心距、弦和半径的关系求出弦心距的长，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况，利用点到直线的距离公式列方程求解即可. 【详解】（1）设，圆与直线相切于点，故， 又圆在直线上，故， 所以圆心的坐标为，半径， 所以圆的方程为. （2）由，，则圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时，直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线，即， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为； 综上，直线的方程为或. 题型 3 点与圆的位置关系判断 【模型】点，圆； |PC|>r点在圆外；|PC|=r点在圆上；|PC|<r点在圆内。 【步骤】计算点到圆心距离，和半径比较。 1．（期中，安徽）已知点，直线，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点间距离公式由得到点的轨迹方程，再利用圆心到直线的距离小于或等于半径可得. 【详解】设点， 因为，所以， 整理得点的轨迹方程为， 根据题意可得直线与点的轨迹有公共点， 所以，即，解得． 故选：D． 2.（期中，福建）已知圆的方程为，点在圆内. (1)求圆的圆心和半径； (2)求实数的取值范围； (3)求过点且与圆相切的直线l的方程. 【答案】(1)圆心，半径 (2) (3)或 【分析】（1）利用配方法将圆的方程化成标准方程，可明确圆心和半径. （2）根据点在圆内列式，可求的取值范围. （3）分所求直线有无斜率，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求直线的方程. 【详解】（1）由. 所以圆心，半径. （2）因为点在圆内，所以. 所以实数的取值范围为. （3）如图： 当过点的直线不存在斜率时，其方程为， 此时圆心到直线的距离为2，直线与圆相切； 当过点的直线存在斜率时，设斜率为，则直线：，即， 因为直线与圆相切，所以， 所以切线方程为：即. 综上，过点与圆相切的直线为：或. 题型 4 直线与圆位置关系基础判定 【模型】计算圆心到直线距离d； d>r相离；d=r相切；d<r相交。 【步骤】 ①求圆心、半径； ②点到直线距离公式算d； ③d与r比较大小。 1．（期中，安徽）已知直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的一般式方程整理为标准方程，确定其圆心及半径，使圆心到直线的距离小于半径即可. 【详解】圆的方程可整理为：， 因此圆心，半径. 因为直线与圆相交，故圆心到直线的距离， 得，即. 故选：C. 2．（期中，河南）已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】设直线的方程，利用直线与圆相切得，再利用直线的垂直关系列方程求解即可. 【详解】由题意直线的斜率存在，设过点的直线的斜率为， 则它的方程为，即. 因为直线和圆相切，所以，解得. 因为直线与直线垂直，所以，解得. 故选：A 3．（期中，河南）已知直线：，则下列说法正确的是（   ） A．在轴上的截距为2 B．与直线垂直 C．与直线之间的距离为 D．与圆相离 【答案】BC 【分析】令，解得的值就是直线在轴上的截距为；直线的斜率为，直线的斜率为，由得到与直线垂直；易知与直线平行，利用两平行线间的距离公式求解；求出圆心到直线的距离得到与圆相交. 【详解】对于A，令，则，解得， 所以在轴上的截距为，A错误； 对于B，直线：的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与直线垂直，B正确； 对于C，易知与直线平行，所以它们之间的距离为，C正确； 对于D，因为圆心到直线的距离，所以与圆相交，D错误. 故选：BC. 4．（期中，安徽）已知直线l：，圆C：，其中，则下列说法正确的是（   ） A．直线l与圆C相离 B．当时，直线l的斜率不存在 C．若点为圆C上任意一点，则的最大值为2 D．过直线l上一点P作圆C的切线，切点为A，的最小值为 【答案】AD 【分析】根据点到直线的距离公式即可判断A；根据直线方程即可判断B；根据点与圆的位置关系，结合两点间距离即可判断C；根据直线与圆的位置关系可知当时，取得最小值，即可判断D. 【详解】对于A， 圆C的圆心为，半径为1， 所以圆心到直线l：的距离， 所以直线l与圆C相离，故A正确； 对于B， 当时，l:，斜率为0，故B错误； 对于C， 因为原点在圆C上，所以， 所以的最大值为4，故C错误； 对于D， 因为，所以当最小时，取得最小值， 当时，由A知,的最小值为，所以，故D正确. 故选：AD. 题型 5 圆的对称问题 【模型】圆对称：半径不变，只求圆心关于直线的对称点。 【步骤】 ①原圆心(a,b)，求关于直线对称点(a',b')：垂直 + 中点在对称轴； ②半径不变写新圆标准方程。 1．（期中，福建）与圆关于直线对称的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆心关于直线对称的圆心，根据点关于直线的对称点的求法求出，即可得对称圆的标准方程. 【详解】已知圆心，设其关于直线对称的圆心， 则有，解得，即. 又因为圆和圆的半径相同， 所以圆关于直线对称的圆的标准方程为. 故选：D 2．（期中，安徽）圆关于直线对称的圆的方程为_______ 【答案】 【分析】求出圆心关于直线的对称点，即对称圆的圆心，两对称圆的半径相等，再根据圆的标准方程求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设关于直线的对称点为， 则，解得， 所以圆关于直线的对称的圆的方程为. 故答案为：. 提升·进阶突破 题型 6 直线截圆弦长计算（几何法为主） 【模型】垂径定理：，d是圆心到直线距离。 【步骤】 ①求圆心到直线距离d； ②代入垂径公式计算弦长。 1．（期中，河南）直线与圆相交于，两点，且，则实数的值为（    ） A．1 B．5 C．或5 D．1或 【答案】D 【分析】结合圆的方程求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合题意建立方程求出参数值即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，    由题意得圆的圆心，半径， 由，得圆心到直线的距离为， 则，即，解得或，故D正确. 故选：D 2．（期中，河南）已知圆与直线：相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】由为正三角形，得到圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】圆C：， 即，圆心为，半径， 因为圆与：相交于两点，且为正三角形， 所以圆心到直线的距离，， 则，解得. 故选：A 3．（期中，福建）过点且斜率为3的直线与圆：相交于点，，则______. 【答案】 【分析】先写出直线的点斜式方程，转化为一般式方程，求出圆心到直线的距离，由几何法求得弦长. 【详解】由题可知，直线的方程为，即. 由圆：得，圆心，半径. 则圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：. 4．（期中，河南）已知圆的半径为，圆心在直线上，，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若直线 被圆截得的弦的长度为，求实数的值. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）通过直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径求解； （2）使用直线与圆相交弦的几何法求解. 【详解】（1）由题意知圆心到直线的距离为：， 解得或（舍），所以圆的标准方程为：. （2）由（1）知圆心到直线的距离为：， 则直线被圆截得的弦长为：， 解得：或. 5．（期中，河南）已知，两点都在圆M上，且圆M的圆心在直线上． (1)求圆M的方程； (2)过点的直线l与圆M交于C，D两点，且，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心为，由可求得的值，可得出圆心的坐标和圆的半径，即可得出圆的方程； （2）分直线斜率是否存在两种情况讨论.若存在时，设直线l的方程为，由题意可得，求解即可. 【详解】（1）∵圆M的圆心在直线上，∴可设圆心M的坐标为， 由，得，解得， ∴圆心M的坐标为，半径． ∴圆M的方程为． （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心M到直线l的距离， 解得或， ∴直线l的方程为或； 当当直线l的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，所以弦长为，故不符合题意； 综上所述：直线l的方程为或. 6．（期中，河南）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线经过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用几何法联立直线方程得圆心，即可求解， （2）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题设，线段的中点为且， 由知， 所以直线方程为，即， 联立，解得，即得， 而， 所以圆的方程为. （2）因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离. ①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为0，不符合题意 ②当直线的斜率存在时，设，即 所以， 解得或. 直线的方程为或． 7．（期中，安徽）已知圆的圆心为，且过点,点在斜率为的直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于两点，且,求直线的方程； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）已知圆心和圆上一点即可求半径，继而得解； （2）先设出直线的点斜式，已知弦长，可根据垂径定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列出方程求解出,即可得解. 【详解】（1）设圆, 由圆过点,可得,解得， 所以圆的标准方程为． （2）设直线,圆心到的距离, 因为,所以,整理得, 所以或, 所以直线的方程为或． 题型 7 过点求圆的切线方程 【模型】 ①点在圆上：只有 1 条切线，切线与半径垂直； ②点在圆外：两条切线；必须讨论斜率存在、斜率不存在。 【步骤】 ①先判断点在圆上还是圆外； ②斜率不存在：验证是否为切线； ③斜率存在设点斜式，利用圆心到直线距离等于半径求斜率。 1．（期中，河南）已知圆的圆心在直线上，圆与直线相交于两点，且． (1)求圆的方程； (2)已知直线过点且与圆相切，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据题意求出圆心，取中点为，求出，在直角中结合三角函数值求出半径，即可得出答案； （2）分为直线的斜率是否存在两种情况，再结合直线与圆相切的条件即可求解. 【详解】（1）由圆的方程得圆心， 因为圆心在直线上，所以，解得， 故圆心坐标为， 取中点为，连接，所以， 圆心到直线的距离， 因为，所以， 在直角中，，即， 所以圆的方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为， 此时直线与圆相切，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 2．（期中，福建）已知圆经过，，三点. (1)求圆的标准方程； (2)求过点并与圆相切的直线的一般式方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题可知，线段垂直平分线的方程为，圆心在上，设出圆心坐标，由解得圆心坐标及半径，从而得到圆的标准方程；或根据圆经过，，三点.，用待定系数法求得圆的一般方程，再转化为圆的标准方程. （2）当过点的切线斜率不存在时，方程为，到圆心的距离为半径经，满足题意，当切线斜率存在时，设其点斜式方程，化为一般方程，根据圆心到切线的距离为半径，可求得斜率，从而得到切线方程. 【详解】（1）（方法一）因为圆经过点，，所以线段垂直平分线的方程为， 所以圆心的横坐标为4，设， 则由，可得， 解得，， 所以圆的标准方程为. （方法二）设的一般方程为， 则，解得 所以的一般方程为， 所以的标准方程为. （2）由（1）可知，圆的圆心坐标为，半径为5. 由，知点在圆外，过点并与圆相切的直线有两条. 若的斜率不存在，则的方程为，此时圆心到的距离为5，与圆相切； 若的斜率存在，则设的方程为，即. 因为与圆相切，所以， 解得， 的方程为. 综上所述，的一般式方程为或. 3．（期中，福建）已知圆经过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程： (2)若直线过点．当直线与圆相切时，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据给定条件，求出线段的中垂线方程，进而求出圆心、半径即可. （2）按直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式分类求解. 【详解】（1）由点和点，得线段的中点，直线的斜率， 因此线段的中垂线方程为，即， 由，解得，因此圆心，半径， 所以圆的方程为. （2）点到直线的距离为3，即直线与圆相切，直线方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由直线与圆相切，得，解得，直线方程为， 所以直线的方程为或. 4．（期中，河南）已知圆经过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求过点，且与圆相切的直线方程； (3)过点的直线与圆相交于，两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据题意，设圆心，由圆心在直线以及圆上的点到圆心的距离相等求解即可. （2）对直线斜率是否存在进行讨论，并由圆心到切线的距离等于半径进行求解即可. （3）由，可得为等腰直角三角形可得到圆心到直线的距离为，进行求解即可. 【详解】（1）设，由题意可得， 由圆上的点到圆心的距离相等可得， 解得，，半径， 故圆的方程为. （2）当直线斜率不存在时，此时与圆相切， 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径可得，解得， 故切线方程为， 所以过点，且与圆相切的直线方程为或. （3）斜率不存在时，直线为，所以，，，所以，，，不符合题意，舍. 斜率存在时，设直线的方程为，即， 由可得为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或. 题型 8 两圆的位置关系（公切线、圆心距） 【模型】外离，4 条公切线；外切，3 条公切线；相交，2 条公切线；内切，1 条公切线；内含，无公切线。 【步骤】 ①分别求出两个圆圆心、半径； ②计算圆心距； ③对比半径和、差判断位置关系，得到公切线条数。 1．（期中，安徽）若圆与圆外切，则为（    ） A．1 B．2 C．5 D．1或5 【答案】A 【分析】由两圆外切得圆心距等于两圆半径之和，列方程，求出. 【详解】圆的圆心和半径分别为. 圆的标准方程为，其圆心和半径分别为. 由两圆外切，得，所以，解得. 故选：A. 2．（期中，福建）若圆：和圆：有且仅有3条公切线，则（    ） A．1 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据两圆的位置关系即可求解． 【详解】由题意知，圆与圆外切， ∴圆心距为两圆半径之和， ∴， 解得． 故选：A． 3．（期中，安徽）已知圆与、正半轴分别交于点、，半径为的圆与圆外切，则圆心变动时，的值（   ） A．不是定值 B．恒为 C．恒为 D．恒为 【答案】D 【分析】求出点、的坐标，设，则，再利用两点间距离公式化简即可得出的值. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径， 在圆的方程中，令，可得，解得或， 令可得，解得或，则点、， 因为圆与圆外切，所以， 设，则， . 故选：D． 4．（期中，福建）在平面直角坐标系中，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有（　　）． A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】将问题转化为求以点为圆心，以1为半径的圆和以点为圆心，以2为半径的圆的公切线的条数求解. 【详解】与点距离为1的直线可看作以为圆心，为半径的圆的切线， 同理与点距离为的直线可看作以B为圆心，2为半径的圆的切线， 故所求直线为两圆的公切线， 又， 故两圆外离，所以公切线有4条， 故选：D 题型 9 两圆公共弦方程与公共弦长 【模型】两圆一般方程直接相减得到公共弦所在直线；再用垂径定理算弦长。 【步骤】 ①两圆一般式相减得到公共弦直线； ②取其中一个圆，算圆心到公共弦直线距离； ③垂径定理求弦长。 1．（期中，福建）已知圆与圆的公共弦所在的直线与直线平行，则的值为（   ） A．2 B． C．2或0 D．或0 【答案】B 【分析】求出圆与圆的公共弦所在直线方程，再由平行关系求出并验证即得. 【详解】圆与圆的方程相减得，即为圆与圆的公共弦所在直线方程， 由直线与直线平行，得，解得（公共弦方程不成立，舍去）或， 当时，圆，即圆心，半径， 圆的圆心，半径，，符合题意， 所以的值为. 故选：B 2．（期中，河南）已知圆：和圆：相交于A，B两点，则（   ） A．直线AB的方程为 B． C．四边形的面积为 D．圆：与圆和圆都相切 【答案】ABD 【分析】A.由两圆的方程相减求解；B.利用圆的弦长公式求解；C.由求解；D.由圆与圆的位置关系求解. 【详解】由和两式相减得：，故A正确； 圆心到直线的距离为， 则，故B正确； ， 则，故C错误； ， 而，故圆与圆和圆都相外切，故D正确； 故选：ABD 题型 10 阿波罗尼斯圆 1．（期中，安徽）已知点，点P在圆C：上，且满足，则点P的个数为（    ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】设，则，根据题意，化简可得，根据圆心距可得两圆的位置关系，即可得答案. 【详解】设，则， 因为，所以在以为直径的圆上，圆心，半径为，即． 因为， 所以圆与圆相交， 所以点P的个数为2． 故选：C. 2．（期中，河南）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，则下列说法正确的是（    ） A．圆C的方程是 B．过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为 C．若x，y满足圆C的方程，则的最大值是 D．过直线上的一点P向圆C引切线，则四边形的面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于A，设点坐标，代入化简即可判断；对于B，设切线夹角为，可得；对于C，设，由题意直线与圆有公共点，列式求解即可；对于D，由条件得四边形面积的表达为，求最小值即可． 【详解】对于A，设，因为，，，则， 化简得，即，故A错误； 对于B，因为，圆心，半径， ，点在圆外， 设两条切线的夹角为， 所以，又，解得，则，故B正确； 对于C，设，由题意直线与圆有公共点， 则圆心到直线的距离，即， 解得，故的最大值是，故C正确； 对于D，由题意可得四边形的面积为 ， 故只需求的最小值即可， 的最小值为点C到直线的距离，即． 所以四边形的面积的最小值为，故D正确． 故选：BCD． 3．（期中，安徽）阿波罗尼斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他的姓名命名的阿波罗尼斯圆，是指平面内到两定点的距离的比值为常数（，）的动点轨迹.已知，，动点满足. (1)求动点所在的阿波罗尼斯圆的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. (3)设直线经过点，且与（1）所求的圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)最小值是，最大值是. (3)或 【分析】（1）设，把条件用坐标表示出来，化简即可. （2）数形结合，根据点和圆的位置关系，分析点与圆上的点的距离的最值. （3）根据斜率存在与否进行分类讨论，结合点到直线的距离公式，即可求出直线方程. 【详解】（1）设动点，则就是， 即，整理得，. 故动点所在的阿波罗尼斯圆的方程为. （2）就是，其半径是4， 圆心是，. 显然在圆外，故的最小值是，最大值是. （3）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离，直线与圆相切，满足题意. ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离， 解得，则直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 4．（期中，安徽）已知，，动点P与点A距离是它到点B距离的2倍． (1)求点P的轨迹C的方程，并判断其形状； (2)求的取值范围． 【答案】(1)，是以为圆心，为半径的圆； (2)． 【分析】（1）由已知得，结合两点间距离公式，进行化简整理便可得到点P的轨迹方程； （2）通过计算可知A在圆E的外部，直线AE的方程与联立，可得的取值范围，从而得解. 【详解】（1）设点P的坐标为， 则，， 由已知得，所以， 化简整理得， 所以轨迹C的方程为． 配方得：， 故轨迹C是以为圆心，为半径的圆． （2）由已知得， 由，且，所以A在圆E的外部． 直线AE的方程为． 由与联立得， 整理得，解得，， 所以直线AE与圆有两个交点为，． 求得，， ， 即， 题型 11 圆上点到直线距离的点的个数问题 【模型】已知半径r，求圆上到直线距离等于m的点的个数；看圆心到直线距离d与的大小关系。 【步骤】 ①计算圆心到直线距离d； ②比较d与r+m、|rm|，判断交点个数。 1．（期中，福建）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，将问题转化为圆心到直线的距离小于1求解即可. 【详解】圆的圆心，半径，直线即， 由圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个， 如图： 得圆心到直线的距离，解得， 所以的取值范围为. 故选：B 2．（期中，河南）已知圆上到直线的距离等于1的点恰有两个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断圆心到直线的距离，利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【详解】圆的圆心是，半径， 而圆上恰有两个点到直线的距离等于1， 所以圆心到直线的距离，满足， 即，解得或. 故选：D. 3．（期中，河南）已知是圆C：上的动点，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】设，利用点到直线的距离可得，求解即可判断AB；设，利用点到直线的距离可得，求解即可判断CD. 【详解】由圆C：，可得圆心，半径， 设，则，因为在圆上，所以直线与圆C有公共点， 所以，所以， 整理得，解得， 所以的最大值为，最小值为，故A正确，B错误； 设，则，因为在圆上，所以直线与圆C有公共点， 所以，所以，解得， 所以的最大值为，最小值为，故CD正确. 故选：ACD. 4．（期中，河南）已知直线与，则下列说法正确的是（    ） A．若上恰有1个点到直线的距离为2，则 B．若上恰有2个点到直线的距离为2，则的取值范围是 C．若上恰有3个点到直线的距离为2，则 D．若上恰有4个点到直线的距离为2，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据圆上点的个数到直线的距离为2，数形结合得到圆心到直线的距离或距离范围，得到方程或不等式，求出答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， A选项，要想圆上恰有1个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离为， 即，解得，A正确； B选项，要想圆上恰有2个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离大于，小于， 即，解得，B错误； C选项，圆上恰有3个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离等于1， 即，解得，C正确； D选项，圆上恰有4个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离小于1， 即，解得，D正确. 故选：ACD． 5．（期中，福建）已知圆上恰有两个点到直线的距离为1，则正数的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据点与直线的位置关系可得圆心到直线的距离满足，从而列不等式求解即可得正数的取值范围. 【详解】易知圆的圆心为，半径为3， 且圆上恰有两个点到直线的距离为1， 所以到直线的距离满足， 由，得， 因为，所以正数的取值范围是. 故答案为：. 拔高·压轴破难 题型 12 圆上动点距离、线性式最值 【模型】圆上动点到定点距离：最大值|PC|+r，最小值||PC|r|；z=ax+by：转化直线截距，圆心到直线距离结合半径求最值。 【步骤】 ①定点P，圆心C； ②距离最值：； ③线性式：几何意义或者三角参数换元。 1．（期中，安徽）已知，圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)已知点为圆上一点，且，为垂足，求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出圆的一般式方程，利用待定系数法求出方程，再化成标准方程. （2）法一，利用三角代换及向量数量积的坐标表示，结合正弦函数性质求出最大值；法二，作出辅助线，利用直角三角形边角关系，结合二倍角的正弦及正弦函数性质求出最大值. 【详解】（1）依题意，设圆的方程为， 由圆经过三点，已知， 则，解得； 所以圆的方程为，其标准方程为. （2）法一：由（1）设，显然方向相同， ，， 则， 当且仅当时，取最大值.    法二：令圆与轴另一交点为，连接，设，， 依题意，，，则，， 因此，当且仅当时取等号， 所以取最大值. 题型 13 切线长与切点弦（极线）问题 【模型】圆外一点P引两条切线，切线长； 切点弦MN：以PC为直径作圆，两圆方程相减，直接得到切点弦直线方程。 【步骤】 ①求圆心C，半径r； ②切线长：勾股定理； ③切点弦：两圆相减得到直线。 1．（期中，河南）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点为，连接、，则，利用勾股定理和二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】设切点为，连接、，则， 易知圆心为，圆的半径为， 由勾股定理可得 ， 当且仅当时，等号成立，故切线长的最小值为. 故选：D. 2．（期中，安徽）已知圆，直线，过上的动点作圆的切线，切点分别为，则（    ） A．圆上的点到的距离最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为4 【答案】ACD 【分析】由圆心到直线的距离可判断ABD，对于C，根据解直角三角形可得，根据可算出的最大值为钝角，故可判断正误. 【详解】连接， 对于A，由题设有，圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 而，故直线与圆相离，故圆上的点到的距离最大值为，故A正确； 对于B，因为，而为到直线的距离， 故，故B错误； 对于C，因为，当且仅当时等号成立， 故，设且为锐角， 则由可得，而为锐角，故， 故，结合可得的最大值可为1， 故C正确； 对于D，由对称性可得， 故，其中为四边形的面积， 而， 由B的分析可得为到直线的距离，故， 故的最小值，当且仅当时取最小值，故D正确；    故选：ACD. 3．（期中，安徽）由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 __ ． 【答案】1 【分析】由切线的性质计算得出，设的坐标为，由切线长表示出，由二次函数求得最小值即可. 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径， 由直线上一点向圆引两条切线，切点为、， 则，，且， 可得， 设的坐标为， 则， 当时，， 则的最小值为1． 故答案为：1. 4．（期中，河南）已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最大值为______. 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合圆切线的性质以及勾股定理，可得答案. 【详解】由题意，得圆C：的圆心到直线l：的距离， 所以l与圆C相离，如图，可知当取得最大值时，取最小值，的最小值为点C到l的距离，即， 此时，所以，故的最大值为.    故答案为：. 5．（期中，安徽）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，切点分别为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆坐标为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）由圆的切线的性质，得到点M，N在以PC为直径的圆上，求得以为直径的圆的方程，两圆的方程相减，即可求解. 【详解】（1）解：设圆坐标为， 因为圆经过，两点，且圆心在直线上， 可得，解得， 所以圆的标准方程为. （2）解：因为，所以点在以为直径的圆上， 以为直径的圆的方程为， 即，又由圆， 两圆的方程相减，可得，即为直线的方程为. 6．（期中，河南）已知圆． (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先判断点在圆外，再按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数值；进而得到直线方程即可. （2）先确定直线与圆相离，由切线长公式得到，再使分析最小的情况，只要求得圆心到直线的距离（为最小值）即可得切线长的最小值． 【详解】（1）由题意得，则点在圆外，故有2条切线， 若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为． 若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2， 即，解得，所以切线l的方程为， 综上，切线l的方程为或． （2）如图，作出符合题意的图形，且， 由题意得圆心到直线的距离为，可得直线m与圆C相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值． 当时，最小，最小值为， 故的最小值为． 题型 14 动直线恒过定点 【模型】含参数直线与圆相交，无论参数怎么变，直线恒过定点；把直线整理参数的合并式，令参数系数等于 0。 【步骤】 ①整理直线方程，把参数提公因式； ②令参数系数与常数项同时等于 0，解出定点坐标； ③验证定点在圆内 / 圆外。 1．（期中，福建）已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．当时，圆上只有两个点到直线的距离等于1 C．直线被圆截得的最小弦长为 D．若圆与圆恰有三条公切线，则 【答案】ABD 【分析】将直线方程变形，求出直线经过的定点，可判断A；利用点到直线的距离公式进行计算，可判断B；根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断C；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断D. 【详解】对于A，直线的方程为， 变形可得：， 令，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆，其圆心为，半径为， 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 由于，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B正确； 对于C，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故C不正确； 对于D，圆的方程，即， 其圆心为，半径为，需满足， 若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切， 则有，解得，故D正确. 故选：ABD. 2．（期中，河南）对于直线l：与圆C：，下列说法正确的是（    ） A．l过定点 B．C的半径为3 C．l与C可能相切 D．l被C截得的弦长最小值为 【答案】ABD 【分析】根据直线方程求定点坐标判断A项；根据圆的一般方程与标准方程的互化判断B项；根据直线所过定点在圆内判断C项；当直线l与过定点和圆心的直线垂直时，直线l被C截得的弦长最小，从而计算弦长最小值可判断D项． 【详解】对于A，可变形为， 由，得，所以直线l过定点，故A正确： 对于B，圆C：化为标准方程为， 所以圆C的圆心，半径为，故B正确； 对于C，因为，所以点)在圆C内部， 所以直线l与C不可能相切，故C错误； 对于D，设直线l所过定点为，则当直线时，直线l被C截得的弦长最小． 因为圆心，所以， 所以直线l的斜率，解得，此时直线． 因为圆心到直线l的距离， 所以弦长为，故D正确． 故选：ABD． 题型 15 圆中的面积最值问题 【模型】弦为底，点到直线距离为高；利用垂径定理、基本不等式求面积最大最小。 【步骤】 ①写出面积表达式； ②结合垂径定理，转化为关于距离的函数； ③函数或者基本不等式求最值。 1．（期中，河南）过点P的直线与圆交于A，B两点，若面积的最大值为，则点P的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设弦的中点为D，，先表示出的面积，由面积的最大值为可得的范围，分析可得点P为弦的中点D，且，代入选项验证可得结果. 【详解】由题意，圆C的圆心为，半径为2.设弦的中点为D，则. 设，则，的面积. 又，即，，解得或. 当时，无论点P在直线的什么位置，总存在过点P的直线l与圆C交于，两点， 使得圆心C到直线l的距离，此时的面积为2，不符合题意； 所以圆心C到过点P直线的距离最大值为1，即当面积最大时，点P为弦的中点D，且. 选项A中，；选项B中，； 选项C中，；选项D中，. 故选：B. 2．（期中，福建）已知直线与圆交于两点，则（    ） A．弦的长度为定值 B．圆上总有4个点到的距离为2 C．当为锐角时，直线与坐标轴围成的三角形的面积的最大值为1 D．存在一个定圆与直线总相切 【答案】ABD 【分析】求圆心到直线的距离，再结合弦长公式，判断A，比较圆心到直线的距离和半径，即可判断B，求直线的横，纵截距，再结合三角形的面积公式，以及三角函数的性质，判断C，利用原点到直线的距离为定值，可求定 圆，判断D. 【详解】对于A，因为圆心到直线的距离， 所以，故A正确； 对于B，因为圆心到直线的距离为1，而圆的半径为， 所以圆上有4个点到的距离为2，所以B正确； 对于C，因为为锐角，所以直线在轴上的截距，在轴上的截距， 所以所围成的三角形面积， 因为，所以，所以， 所以面积的最小值为1，所以C错误； 对于D，由选项A易知，圆的圆心到直线的距离为1，与半径相等，所以直线与圆始终相切，故D正确. 故选：ABD. 3．（期中，河南）已知圆的半径为，圆心在直线上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若圆位于第一象限内，直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. (3)若圆位于第四象限内，过作圆的两条切线，为实数，设这两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）根据题目要求，列方程求圆心即可； （2）求出圆心到直线的距离，由勾股定理表示弦长，解方程即可； （3）设切线方程，由相切关系得到切线距离等于圆的半径可列等式；得到关于的二次函数，根据韦达定理求出，，再根据弦长公式将表示出来，结合，，将转化为关于的函数，即可求最小值. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心为， 由题意得，解得或， 故圆的标准方程为或. （2）圆位于第一象限内，故圆心为， 所以圆心到直线的距离为，半径， 因为直线被圆截得的弦的长度为， 所以， 整理得，解得或. 故的值为或. （3）因为圆位于第四象限内，所以圆心为， 易知切线斜率均存在，设过作圆的切线方程为， 两切线的斜率分别为，，由圆心到切线的距离， 整理得， 所以，， 在切线方程中，令，则， 不妨取，， 则， 当时，取得最小值，为. 4．（期中，安徽）已知圆过点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)直线过点且与交于两点，的面积为2，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）设圆心坐标，由圆过的两点建立方程求出圆心半径即得. （2）求出直线方程及线段长，由三角形面积求得点到直线距离，由点到直线距离可得，再求出直线并与圆的方程联立求出点的坐标. 【详解】（1）由圆心在直线上，设点，由圆过点， 得，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）由点，得， 由的面积为2，得点到直线的距离为， 直线方程为，即，则点到直线的距离为， 而，即直线不可能过的中点，因此，直线方程为， 由，解得或， 所以或. 5．（专题02 直线和圆的方程04（期中，河南专用）高二数学上学期）在平面直角坐标系中，已知点，圆经过三点，直线的方程为. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)若直线与圆相交于两点，求的面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先由待定系数法求出圆的方程，再根据直线与圆相切可得； （2）先可得三角形一边的长，再计算圆上到这一边的距离的最大值即可得面积的最大值. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆经过点，所以， 解得，经检验，符合题意， 所以圆的方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为， 所以，解得； （2）可化为，即直线恒过点， 因为点在圆上，故不妨设为， 所以直线，且， 设点到直线的距离为， 所以的面积， 因为点在圆上，所以的最大值等于圆心到直线的距离加上半径， 所以. 所以. 故的面积的最大值为. $专题05 圆 基础·固本强基 题型 1 圆的方程识别 题型 2 求圆的标准方程（待定系数法） 题型 3 点与圆的位置关系判断 题型 4 直线与圆位置关系基础判定 题型 5 圆的对称问题 提升·进阶突破 题型 6 直线截圆弦长计算（几何法为主） 题型 7 过点求圆的切线方程 题型 8 两圆的位置关系（公切线、圆心距） 题型 9 两圆公共弦方程与公共弦长 题型 10 阿波罗尼斯圆 题型 11 圆上点到直线距离的点的个数问题 拔高·压轴破难 题型 12 圆上动点距离、线性式最值 题型 13 切线长与切点弦（极线）问题 题型 14 动直线恒过定点 题型 15 圆中的面积最值问题 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 圆的方程识别 【模型】 一般方程：，表示圆条件：； 配方转化标准式，得到圆心(a,b)、半径r。 【步骤】 ①判断确认是圆； ②配方法化为标准方程，读出圆心、半径。 1．（期中，安徽）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（期中，河南）若方程表示圆，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（期中，河南）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 题型 2 求圆的标准方程（待定系数法） 【模型】已知条件：过三点；已知圆心 + 圆上一点；圆心在某直线上；与坐标轴相切。 【步骤】 ①设标准式； ②根据条件列方程组，求解a,b,r； ③写出圆方程。 1．（期中，安徽）已知圆与轴相切，且经过两点，，则圆的方程可能是（    ） A． B． C． D． 2．（期中，福建）已知圆C的圆心在直线上，且与x轴相切于点，则圆C的标准方程是_____. 3．（期中，河南）已知点，，. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相切，求直线的方程. 5．（期中，福建）已知点，，直线过点，且为直线的方向向量；圆过点，且直线与圆相切于点. (1)求直线的一般式方程； (2)求圆的标准方程. 6．（期中，福建）已知圆经过和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若直线l过点，与圆交于M，N两点，，求直线l的方程． 7．（期中，河南）已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点. (1)求圆的方程； (2)过原点的直线交圆于A，B两点，且，求直线的方程. 题型 3 点与圆的位置关系判断 【模型】点，圆； |PC|>r点在圆外；|PC|=r点在圆上；|PC|<r点在圆内。 【步骤】计算点到圆心距离，和半径比较。 1．（期中，安徽）已知点，直线，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（期中，福建）已知圆的方程为，点在圆内. (1)求圆的圆心和半径； (2)求实数的取值范围； (3)求过点且与圆相切的直线l的方程. 题型 4 直线与圆位置关系基础判定 【模型】计算圆心到直线距离d； d>r相离；d=r相切；d<r相交。 【步骤】 ①求圆心、半径； ②点到直线距离公式算d； ③d与r比较大小。 1．（期中，安徽）已知直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（期中，河南）已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．3 3．（期中，河南）已知直线：，则下列说法正确的是（   ） A．在轴上的截距为2 B．与直线垂直 C．与直线之间的距离为 D．与圆相离 4．（期中，安徽）已知直线l：，圆C：，其中，则下列说法正确的是（   ） A．直线l与圆C相离 B．当时，直线l的斜率不存在 C．若点为圆C上任意一点，则的最大值为2 D．过直线l上一点P作圆C的切线，切点为A，的最小值为 题型 5 圆的对称问题 【模型】圆对称：半径不变，只求圆心关于直线的对称点。 【步骤】 ①原圆心(a,b)，求关于直线对称点(a',b')：垂直 + 中点在对称轴； ②半径不变写新圆标准方程。 1．（期中，福建）与圆关于直线对称的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．（期中，安徽）圆关于直线对称的圆的方程为_______ 提升·进阶突破 题型 6 直线截圆弦长计算（几何法为主） 【模型】垂径定理：，d是圆心到直线距离。 【步骤】 ①求圆心到直线距离d； ②代入垂径公式计算弦长。 1．（期中，河南）直线与圆相交于，两点，且，则实数的值为（    ） A．1 B．5 C．或5 D．1或 2．（期中，河南）已知圆与直线：相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 3．（期中，福建）过点且斜率为3的直线与圆：相交于点，，则______. 4．（期中，河南）已知圆的半径为，圆心在直线上，，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若直线 被圆截得的弦的长度为，求实数的值. 5．（期中，河南）已知，两点都在圆M上，且圆M的圆心在直线上． (1)求圆M的方程； (2)过点的直线l与圆M交于C，D两点，且，求直线l的方程． 6．（期中，河南）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线经过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 7．（期中，安徽）已知圆的圆心为，且过点,点在斜率为的直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于两点，且,求直线的方程； 题型 7 过点求圆的切线方程 【模型】 ①点在圆上：只有 1 条切线，切线与半径垂直； ②点在圆外：两条切线；必须讨论斜率存在、斜率不存在。 【步骤】 ①先判断点在圆上还是圆外； ②斜率不存在：验证是否为切线； ③斜率存在设点斜式，利用圆心到直线距离等于半径求斜率。 1．（期中，河南）已知圆的圆心在直线上，圆与直线相交于两点，且． (1)求圆的方程； (2)已知直线过点且与圆相切，求直线的方程． 2．（期中，福建）已知圆经过，，三点. (1)求圆的标准方程； (2)求过点并与圆相切的直线的一般式方程. 3．（期中，福建）已知圆经过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程： (2)若直线过点．当直线与圆相切时，求直线的方程． 4．（期中，河南）已知圆经过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求过点，且与圆相切的直线方程； (3)过点的直线与圆相交于，两点，若，求直线的方程. 题型 8 两圆的位置关系（公切线、圆心距） 【模型】外离，4 条公切线；外切，3 条公切线；相交，2 条公切线；内切，1 条公切线；内含，无公切线。 【步骤】 ①分别求出两个圆圆心、半径； ②计算圆心距； ③对比半径和、差判断位置关系，得到公切线条数。 1．（期中，安徽）若圆与圆外切，则为（    ） A．1 B．2 C．5 D．1或5 2．（期中，福建）若圆：和圆：有且仅有3条公切线，则（    ） A．1 B．3 C．4 D． 3．（期中，安徽）已知圆与、正半轴分别交于点、，半径为的圆与圆外切，则圆心变动时，的值（   ） A．不是定值 B．恒为 C．恒为 D．恒为 4．（期中，福建）在平面直角坐标系中，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有（　　）． A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型 9 两圆公共弦方程与公共弦长 【模型】两圆一般方程直接相减得到公共弦所在直线；再用垂径定理算弦长。 【步骤】 ①两圆一般式相减得到公共弦直线； ②取其中一个圆，算圆心到公共弦直线距离； ③垂径定理求弦长。 1．（期中，福建）已知圆与圆的公共弦所在的直线与直线平行，则的值为（   ） A．2 B． C．2或0 D．或0 2．（期中，河南）已知圆：和圆：相交于A，B两点，则（   ） A．直线AB的方程为 B． C．四边形的面积为 D．圆：与圆和圆都相切 题型 10 阿波罗尼斯圆 1．（期中，安徽）已知点，点P在圆C：上，且满足，则点P的个数为（    ） A．0 B． C．2 D．3 2．（期中，河南）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，则下列说法正确的是（    ） A．圆C的方程是 B．过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为 C．若x，y满足圆C的方程，则的最大值是 D．过直线上的一点P向圆C引切线，则四边形的面积的最小值为 3．（期中，安徽）阿波罗尼斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他的姓名命名的阿波罗尼斯圆，是指平面内到两定点的距离的比值为常数（，）的动点轨迹.已知，，动点满足. (1)求动点所在的阿波罗尼斯圆的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. (3)设直线经过点，且与（1）所求的圆相切，求直线的方程. 4．（期中，安徽）已知，，动点P与点A距离是它到点B距离的2倍． (1)求点P的轨迹C的方程，并判断其形状； (2)求的取值范围． 题型 11 圆上点到直线距离的点的个数问题 【模型】已知半径r，求圆上到直线距离等于m的点的个数；看圆心到直线距离d与的大小关系。 【步骤】 ①计算圆心到直线距离d； ②比较d与r+m、|rm|，判断交点个数。 1．（期中，福建）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（期中，河南）已知圆上到直线的距离等于1的点恰有两个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（期中，河南）已知是圆C：上的动点，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 4．（期中，河南）已知直线与，则下列说法正确的是（    ） A．若上恰有1个点到直线的距离为2，则 B．若上恰有2个点到直线的距离为2，则的取值范围是 C．若上恰有3个点到直线的距离为2，则 D．若上恰有4个点到直线的距离为2，则的取值范围是 5．（期中，福建）已知圆上恰有两个点到直线的距离为1，则正数的取值范围是________. 拔高·压轴破难 题型 12 圆上动点距离、线性式最值 【模型】圆上动点到定点距离：最大值|PC|+r，最小值||PC|r|；z=ax+by：转化直线截距，圆心到直线距离结合半径求最值。 【步骤】 ①定点P，圆心C； ②距离最值：； ③线性式：几何意义或者三角参数换元。 1．（期中，安徽）已知，圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)已知点为圆上一点，且，为垂足，求的最大值． 题型 13 切线长与切点弦（极线）问题 【模型】圆外一点P引两条切线，切线长； 切点弦MN：以PC为直径作圆，两圆方程相减，直接得到切点弦直线方程。 【步骤】 ①求圆心C，半径r； ②切线长：勾股定理； ③切点弦：两圆相减得到直线。 1．（期中，河南）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（期中，安徽）已知圆，直线，过上的动点作圆的切线，切点分别为，则（    ） A．圆上的点到的距离最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为4 3．（期中，安徽）由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 __ ． 4．（期中，河南）已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最大值为______. 5．（期中，安徽）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，切点分别为，求直线的方程. 6．（期中，河南）已知圆． (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 题型 14 动直线恒过定点 【模型】含参数直线与圆相交，无论参数怎么变，直线恒过定点；把直线整理参数的合并式，令参数系数等于 0。 【步骤】 ①整理直线方程，把参数提公因式； ②令参数系数与常数项同时等于 0，解出定点坐标； ③验证定点在圆内 / 圆外。 1．（期中，福建）已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．当时，圆上只有两个点到直线的距离等于1 C．直线被圆截得的最小弦长为 D．若圆与圆恰有三条公切线，则 2．（期中，河南）对于直线l：与圆C：，下列说法正确的是（    ） A．l过定点 B．C的半径为3 C．l与C可能相切 D．l被C截得的弦长最小值为 题型 15 圆中的面积最值问题 【模型】弦为底，点到直线距离为高；利用垂径定理、基本不等式求面积最大最小。 【步骤】 ①写出面积表达式； ②结合垂径定理，转化为关于距离的函数； ③函数或者基本不等式求最值。 1．（期中，河南）过点P的直线与圆交于A，B两点，若面积的最大值为，则点P的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 2．（期中，福建）已知直线与圆交于两点，则（    ） A．弦的长度为定值 B．圆上总有4个点到的距离为2 C．当为锐角时，直线与坐标轴围成的三角形的面积的最大值为1 D．存在一个定圆与直线总相切 3．（期中，河南）已知圆的半径为，圆心在直线上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若圆位于第一象限内，直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. (3)若圆位于第四象限内，过作圆的两条切线，为实数，设这两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 4．（期中，安徽）已知圆过点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)直线过点且与交于两点，的面积为2，求点的坐标． 5．（专题02 直线和圆的方程04（期中，河南专用）高二数学上学期）在平面直角坐标系中，已知点，圆经过三点，直线的方程为. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)若直线与圆相交于两点，求的面积的最大值. $