2.4 函数的对称性(课时作业Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

**基本信息** 聚焦函数对称性判定与应用，通过定义法、平移法、性质推导构建解题体系，逻辑链从具体函数到抽象性质，强化数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础对称判断|选择1-4|判断对称轴/中心|从绝对值、指数、分式函数入手，通过定义式f(a+x)=f(a-x)或平移变换推导对称性质| |综合性质应用|选择5-6、填空7-9|奇偶性与对称性结合、对称函数解析式|结合奇偶性推导对称关系，利用对称中心求交点坐标和，体现数学抽象与模型意识| |应用与拓展|解答10-14|单调性、不等式、周期综合|从对称性延伸至单调性分析、不等式求解及周期推导，形成"性质-应用-拓展"逻辑链，培养理性思维|

限时规范训练12　函数的对称性 (建议用时：60分钟　分值：100分) 1．函数y＝|3x＋2|的图象的对称轴是直线(　　) A．x＝2　　　　　 B．x＝－2 C．x＝ D．x＝－ 解析：D　记y＝f(x)＝＝＝|－3x－2|＝|3x＋2|＝f(x)，所以函数y＝|3x＋2|的图象的对称轴是直线x＝－.故选D. 2．函数y＝3x与y＝32-x的图象(　　) A．关于x＝对称 B．关于x＝对称 C．关于x＝1对称 D．关于x＝2对称 解析：C　设函数y＝3x与y＝32-x的图象关于直线x＝a对称，因为函数y＝3x图象关于x＝a对称的图象的函数解析式为y＝32a－x，所以32a－x＝32-x，解得a＝1.故选C. 3．已知函数f(x)＝的对称中心为(　　) A．(1，1) B．(－1，1) C．(－1，－1) D．(1，－1) 解析：C　因为f(x)＝.由y＝图象关于原点对称，将y＝向左平移1个单位，再向下平移1个单位，可得f(x)＝的图象，所以f(x)的对称中心为(－1，－1)．故选C. 4．已知函数f(x)＝x3－3x2，则f(x)的对称中心是(　　) A．(1，－2) B．(1，0) C．(－1，2) D．(－1，0) 解析：A　f(x)＝x3－3x2＝(x－1)3－3x＋1＝(x－1)3－3(x－1)－2，所以f(1＋x)＋f(1－x)＝x3－3x－2－x3＋3x－2＝－4，即f(x)关于(1，－2)中心对称．故选A． 5．(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)＝f(－x) B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0 C．f(3)＝f(5) D．f(x＋2)＝f(x－2) 解析：ABC　因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确；因为f(x)的图象关于点(2，0)对称，对于f(x)图象上的点(x，y)，关于点(2，0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x，得到f(4－(2＋x))＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确；由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＝1，则f(3)＝－f(1)，令x＝3，则f(5)＝－f(－1)＝－f(1)，则f(3)＝f(5)，故C正确；由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误．故选ABC. 6．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，则下列说法正确的是(　　) A．若f(x＋2)＝－f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 B．函数y＝－f(2－x)与函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 C．函数y＝f(－1＋x)－f(1－x)的图象关于点(1，0)对称 D．函数y＝f(1＋x)－f(1－x)的图象关于点(1，0)对称 解析：ABC　若f(x＋2)＝－f(－x)，即f(x＋2)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，故A正确；若点(x，y)在y＝f(x)上，则点(2－x，－y)在y＝－f(2－x)的图象上，且点(x，y)与点(2－x，－y)关于点(1，0)对称，则函数y＝－f(2－x)与函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，故B正确；设g(x)＝f(－1＋x)－f(1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f(1－x)－f(x－1)＋f(－1＋x)－f(1－x)＝0，故函数y＝f(－1＋x)－f(1－x)的图象关于点(1，0)对称，故C正确；令h(x)＝f(1＋x)－f(1－x)，则h(2－x)＋h(x)＝f(3－x)－f(x－1)＋f(1＋x)－f(1－x)不恒为0，故函数y＝f(1＋x)－f(1－x)的图象不关于点(1，0)对称，故D错误．故选ABC. 7．(5分)已知函数y＝f(x)与g(x)＝ln (－x－2)－x－2的图象关于点(－1，0)对称，则f(x)＝________. 解析：设M(x，y)是y＝f(x)图象上任意一点，且点M关于点(－1，0)的对称点为(m，n)，可得解得m＝－2－x，n＝－y，将其代入函数g(x)＝ln (－x－2)－x－2，可得－y＝ln x＋x，所以y＝－ln x－x，即f(x)＝－ln x－x. 答案：－ln x－x 8．(5分)写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝____________. ①f(x)是定义域为R的奇函数；②f(1＋x)＝f(1－x)；③f(1)＝2. 解析：由①②③可知函数f(x)是对称轴为x＝1，定义域为R的奇函数，且f(1)＝2，可写出满足条件的函数f(x)＝2sin x. 答案：2sin x(答案不唯一) 9．(5分)已知函数y＝f(x)－1是奇函数，若曲线y＝1＋与曲线y＝f(x)共有6个交点，分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，则(xi＋yi)＝________. 解析：因为y＝f(x)－1为奇函数，所以y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称．又y＝1＋的图象关于点(0，1)对称，所以x1＋x2＋…＋x6＝0，y1＋y2＋…＋y6＝3×2＝6，所以(xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋x6)＋(y1＋y2＋…＋y6)＝6. 答案：6 10．(13分)已知函数f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x. (1)判断并证明函数f(x)的对称性； (2)求f(x)的单调区间． 解：(1)f(x)的图象关于直线x＝2对称． 证明如下：由|x－2|>0，得x≠2，所以f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 因为f(2－x)＝log2|x|＋(2－x)2－4(2－x)＝log2|x|＋x2－4， f(2＋x)＝log2|x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝log2|x|＋x2－4，所以f(2＋x)＝f(2－x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称． (2)设y1＝log2|x－2|，y2＝x2－4x， 当x>2时，y1＝log2|x－2|＝log2(x－2)单调递增，y2＝x2－4x也单调递增， 故f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x在(2，＋∞)上单调递增． 又f(x)的图象关于直线x＝2对称， 故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)． 11．(15分)已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求a的值，并解关于x的不等式f(x)>； (2)求函数g(x)＝图象的对称中心． 解：(1)对任意的x∈R，2x＋2－x>0，故函数f(x)的定义域为R， 又因为函数f(x)＝为奇函数，则f(0)＝＝0，解得a＝1，所以f(x)＝， 下面验证函数f(x)＝为奇函数，f(－x)＝＝－f(x)，故函数f(x)＝为奇函数， 由f(x)＝>，得2·4x>4，即22x+1>22，所以2x＋1>2，解得x>， 因此不等式f(x)>的解集为. (2)g(x)＝，则g(－x)＝，所以g(x)＋g(－x)＝＝2， 因此函数g(x)＝图象的对称中心为(0，1)． 12．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝2－f(1－x)，若函数y＝与函数y＝f(x)的图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…(x9，y9)，则(xi＋yi)＝(　　) A．9 B． C．12 D． 解析：D　由已知得f(x)＋f(1－x)＝2，所以f(x)关于点对称，令g(x)＝，则g(x)＋g(1－x)＝＋1＝2，所以y＝关于点 对称，所以两函数图象的交点也关于点对称，(xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋x9)＋(y1＋y2＋…＋y9)＝[(x1＋x9)＋(x2＋x8)＋…(x9＋x1)＋(y1＋y9)＋(y2＋y8)＋…(y9＋y1)] ＝×(9＋18)＝.故选D. 13．(5分)已知函数f(x)对∀x∈R满足f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，且f(x)>0.若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，f(0)＝1，则f(2026)＝________. 解析：因为y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，所以y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即y＝f(x)是偶函数．对于f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，令x＝－1，可得f(1)·f(－1)＝2f(1)，又f(x)>0，所以f(－1)＝2，则f(1)＝f(－1)＝2，所以函数f(x)对∀x∈R满足f(x＋2)·f(x)＝4，所以f(x＋4)·f(x＋2)＝4，所以f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数．对于f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，令x＝0，可得f(2)·f(0)＝2f(1)，则f(2)＝4，故f(2026)＝f(506×4＋2)＝f(2)＝4. 答案：4 14．(15分)设函数f(x)＝ln ＋ax－b(a>0，b∈R)． (1)判断函数f(x)的单调性(无需证明)； (2)证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形； (3)若3a＝b，解关于实数t的不等式f(t2－2t＋3)＋f(3＋t)>0. 解：(1)f(x)的定义域为(0，6)， f(x)＝ln x－ln (6－x)＋ax－b， 当a>0时，y＝ln x，y＝－ln (6－x)，y＝ax－b都是增函数， 所以函数f(x)在(0，6)上单调递增． (2)证明：f(x)的定义域为(0，6)， 由于f(x)＋f(6－x)＝ln ＋ax－b＋ln ＋a(6－x)－b＝6a－2b， (或f(3＋x)＋f(3－x)＝ln ＋a(3＋x)－b＋ln ＋a(3－x)－b＝6a－2b) 所以f(x)关于点(3，3a－b)中心对称． (3)当3a＝b时，由(2)知，f(x)关于点(3，0)中心对称， 关于t的不等式f(t2－2t＋3)＋f(3＋t)>0等价于t2－2t＋3＋3＋t>6，即t2－t>0， 由解得所以不等式的解集为(－1，0)∪(1，3)． 学科网（北京）股份有限公司 $