2.2 第一课时 函数的单调性(课时作业Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

**基本信息** 聚焦函数单调性判定与应用，通过分层题型构建从具体函数到抽象函数的解题方法体系，强化逻辑推理与数学抽象素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单调性判定|3题|函数类型法、定义法、图象法|从一次/二次/幂函数到含绝对值复合函数，构建"定义→图象→性质"认知链| |单调区间求解|3题|分段讨论法、导数法（隐性）|衔接函数定义域与单调性，体现数形结合思想| |参数范围确定|3题|分段单调+端点衔接法|融合函数连续性，深化单调性整体性理解| |单调性证明|2题|定义作差法、抽象函数赋值法|从具体到抽象，培养严谨推理能力| |新定义与综合|3题|信息转化法、性质迁移法|关联函数性质与创新情境，提升应用意识|

限时规范训练9　函数的单调性 (建议用时：60分钟　分值：99分) 1．下列函数中在区间(0，＋∞)上与函数y＝|x|单调性不一致的是(　　) A．y＝2x－1　　　　　　 B．y＝ C．y＝ D．y＝x2 解析：B　由y＝|x|得，y＝ 所以函数y＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增，对于A，由一次函数的图象可知，y＝2x－1在(0，＋∞)上单调递增，故A不合题意；对于B，由反比例函数的图象可知，y＝在(0，＋∞)上单调递减，故B符合题意；对于C，y＝ ＝，由幂函数的图象可知，y＝ 在(0，＋∞)上单调递增，故C不合题意；对于D，由二次函数的图象可知，y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，故D不合题意．故选B. 2．函数f(x)＝(1－x)·|2－x|的单调递增区间为(　　) A． B． C． D． 解析：A　函数f(x)＝(1－x)·|2－x|＝当x≥2时，f(x)＝－x2＋3x－2在[2，＋∞)上单调递减，当x<2时，f(x)＝x2－3x＋2在上单调递减，在上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为.故选A． 3．(2025·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)＝在R上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A． C．[1，2] D．[2，＋∞) 解析：B　因为x≥1时，f(x)＝－2x单调递减，又f(x)在R上单调递减，所以x<1时，f(x)＝x2－2ax＋1单调递减，则只需满足解得1≤a≤.故选B. 4．(2025·河北保定二模)若函数f(x)＝|2x－m|在[1，2]上单调，则m的取值范围是(　　) A．(0，2] B．[4，＋∞) C．(－∞，2]∪[4，＋∞) D．(0，2]∪[4，＋∞) 解析：C　当x∈[1，2]时，根据指数函数y＝2x在R上单调递增，可知2x∈[2，4].当m∈(－∞，2]时，2x－m≥0，所以f(x)＝|2x－m|＝2x－m，f(x)在[1，2]上单调递增；当m∈(2，4)时，f(x)＝|2x－m|＝(x)在[1，2]上不单调；当m∈[4，＋∞)时，2x－m≤0，所以f(x)＝|2x－m|＝m－2x，f(x)在[1，2]上单调递减．综上，m∈(－∞，2]∪[4，＋∞)．故选C. 5．(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论正确的是(　　) A．>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．若x1<x2，则f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D．>0 解析：ABD　对于ABD选项，因为f(x)在[a，b]上是增函数，对任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，不妨设x1<x2，则f(x1)<f(x2)，则>0，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，<f(x2)≤f(b)，C错误．故选ABD. 6．(多选)已知函数f(x)＝下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)是减函数 B．∀a∈R，f(a2)>f(a－1) C．若f(a－4)>f(3a)，则a的取值范围是(－2，＋∞) D．在区间[1，2]上的最大值为0 解析：ACD　由题意，可作出函数的图象如图所示， 由图象知f(x)在定义域上单调递减，故A正确；因为a2－(a－1)＝a2－a＋1＝2＋>0，所以a2>a－1，又因为函数f(x)是减函数，所以f(a2)<f(a－1)，故B错误；因为函数f(x)是减函数，所以a－4<3a，解得：a>－2，故C正确；由图象可知D正确．故选ACD. 7．(5分)已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0，4)都成立，则f(x)在(0，4)上单调递增”．能说明命题p为假命题的一个函数是________. 解析：由题意知，f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)，则函数f(x)的图象在(0，4)上先单调递减再单调递增，当x＝1时，函数值最小，且f(x)<f(4)，满足题意，所以函数f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)可以说明命题p为假命题． 答案：f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)(答案不唯一，如f(x)＝只要满足题意即可) 8．(5分)函数f(x)＝的单调递减区间为________. 解析：f(x)的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞)，且f(x)＝.而对任意x1<x2<4，根据4－x1>4－x2>0可知<，即>f(x1)＝<0.又对任意<，故f(x2)－f(x1)＝<0.因此f(x)在(－∞，4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递减，故函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，4)和(4，＋∞)． 答案：(－∞，4)和(4，＋∞) 9．(5分)已知函数f(x)＝|x＋a|在区间(－∞，－1)上是单调函数，则实数a的取值范围是________. 解析：作出f(x)的大致图象如图所示， 由图可知－a≥－1，即a≤1. 答案：(－∞，1] 10．(13分)证明：函数f(x)＝1－是增函数． 证明：设x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝＝，因为x1<x2， 所以>0， 故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)是R上的增函数． 11．(13分)给定函数f(x)＝x，g(x)＝－x2＋4x＋1，x∈R. (1)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象； (2)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，试判断M(x)在区间(－∞，a]上的单调性． 解：(1)f(x)，g(x)的图象如图所示． (2)由(1)及M(x)的定义得，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减， 所以当a≤0时，M(x)在(－∞，a]上单调递减； 当0<a≤2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，a]上单调递增； 当a>2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，在[2，a]上单调递减． 12．已知函数f(x)＝在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0)∪(1，2024] B．(－∞，0)∪(0，2024] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，1) 解析：A　若a<0，则当x∈[0，1]时，函数y＝ 单调递增，又<0，所以函数f(x)＝在[0，1]上单调递减；若a>0，则当x∈[0，1]时，函数y＝ 单调递减，只有>0时，才有可能使函数f(x)＝在[0，1]上单调递减，所以解得1<a≤2024， 综上，实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1，2024].故选A． 13．(多选)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有>0，则称函数f(x)为“理想函数”．给出下列四个定义域为(0，＋∞)的函数，其中能被称为“理想函数”的有(　　) A．f(x)＝1 B．f(x)＝x2 C．f(x)＝x2＋1 D．f(x)＝x2＋x 解析：BD　由题可得，f(x)应满足当x1≠x2时，恒有>0，令x1>x2，则x2f(x1)－x1f(x2)>0，又f(x)的定义域为(0，＋∞)，故>，即在(0，＋∞)上单调递增．对于A，在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，＝x在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故C错误；对于D，＝x＋1在(0，＋∞)上单调递增，故D正确．故选BD. 14．(15分)已知函数f(x)对任意的实数m，n，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，且当x>0时，有f(x)>1. (1)求f(0)的值； (2)求证：f(x)在R上为增函数． 解：(1)由题可知，f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1， 令m＝n＝0，则f(0)＝2f(0)－1，则f(0)＝1. (2)证明：设x1，x2是R上任意两个实数，且x1<x2，令m＝x2－x1，n＝x1， 则f(x2)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1， 由x1<x2得x2－x1>0，所以f(x2－x1)>1，故f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)， 故函数f(x)在R上为增函数． 学科网（北京）股份有限公司 $